關(guān)于解三角形的結(jié)構(gòu)不良問題的探討

江蘇省蘇州市蘇苑高級中學(xué) (215128) 顧晶晶

“問題解決的過程是培養(yǎng)學(xué)生能力、發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過程.”新課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)課程和教學(xué)有新的指導(dǎo),同時(shí)也賦予了新高考許多新的意義和要求.新高考數(shù)學(xué)在題型和試卷結(jié)構(gòu)上有了創(chuàng)新性改革,其中題型的變化之一是引入了結(jié)構(gòu)不良問題.

所謂結(jié)構(gòu)不良問題是相對于結(jié)構(gòu)良好問題而言的,結(jié)構(gòu)良好指的是條件清晰明確,結(jié)論統(tǒng)一.但是,實(shí)際生活中我們遇到的問題往往結(jié)構(gòu)并不良好,可能是缺少解決問題的必要條件或者某個條件存在變數(shù),也可能是結(jié)論具有多樣性,甚至在某些特定條件下問題是無解的,而且問題的解決過程更是千差萬別[1].結(jié)構(gòu)不良問題以創(chuàng)新的呈現(xiàn)方式和開放的設(shè)問方式,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,全方位考查學(xué)生的探究意識和發(fā)散性思維,把對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查與問題的解決融為一體,對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示也是積極的、深刻的.本文將針對與解三角形有關(guān)的結(jié)構(gòu)不良問題,淺談對此新題型的解決策略與技巧的啟發(fā)與思考.

1.問題呈現(xiàn)

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計(jì)分.

分析：本題開門見山要求學(xué)生補(bǔ)充一個條件,說明本題屬于條件或數(shù)據(jù)缺失的結(jié)構(gòu)不良問題.題目看似給了考生選擇的自由,但實(shí)際上選擇也在試題考查的范疇.不同的選擇可能導(dǎo)致不同的結(jié)論,難度與用時(shí)也會有所區(qū)別.所以,在選擇條件之前應(yīng)先分析、簡化已有條件或選項(xiàng)條件，結(jié)合問題，有方向性地選擇有利于高效解題的條件.

解：選擇條件③.

點(diǎn)評：這道結(jié)構(gòu)不良問題條件是外顯的開放,結(jié)論是隱晦的開放,三角形存在與否是個不確定但可以作為“結(jié)果”的結(jié)論.而且,在這題中“三角形不存在”這看似不那么“完美”的結(jié)果,在考試中卻是“完美”解答.

問題:是否存在鈍角△ABC,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且b=a+1,c=a+2,?

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計(jì)分.

分析：本題同樣是屬于條件或數(shù)據(jù)缺失的結(jié)構(gòu)不良問題,首先分析已有條件.本題的已有條件比較簡單,b=a+1,c=a+2給出了三角形三邊之間的關(guān)系,再補(bǔ)充一個條件即可求出三邊的具體數(shù)值,所以,在選擇條件時(shí)只需重點(diǎn)考慮計(jì)算量.若選擇條件①,ac=8與c=a+2聯(lián)立消元,通過解關(guān)于a或c的二次方程求出三邊.若選擇條件②,由正弦定理,2sinC=3sinA等價(jià)于2c=3a,再與c=a+2聯(lián)立消元,得到關(guān)于a或c的一次方程進(jìn)而求出三邊.同樣是解方程組,顯然選擇條件②更簡捷.若選擇條件③,可利用余弦定理,依托角A的余弦值構(gòu)造關(guān)于a的方程求解.這里,角A余弦值的正負(fù)要有必要的判斷說明.簡要分析之后，顯然選條件②求解三角形較為簡單.

本題的問題表述與例1很相似,但本題還多了“鈍角”這樣一個限制條件,所以求出三邊后還需驗(yàn)證是否為鈍角三角形.

解：選擇條件②.

三角形存在與否是不確定的,但“鈍角三角形” 這一要求是明確的,所以這是解決問題的一個突破口.由b=a+1,c=a+2可得c>b>a,所以在本題中,借助化歸思想,“△ABC為鈍角三角形”等價(jià)于“角C為鈍角”,從而可以利用余弦定理建立關(guān)于a的不等式,確定a的范圍.本題中還有一個容易忽視的隱含條件：三角形兩邊之和大于第三邊,由此還需建立不等式c>b+a,限制a的范圍.

點(diǎn)評：在試題考查中,結(jié)構(gòu)不良問題大多以條件缺失的形式呈現(xiàn).有時(shí)初步審題后會感到無從下手,此時(shí)需要找到題目中的關(guān)鍵信息(可能在條件中,也可能在問題中),確定問題的本質(zhì),進(jìn)而解決問題.題型只是問題呈現(xiàn)的一種表現(xiàn)方式,問題的解決最終還是依托于基本數(shù)學(xué)思想和基本數(shù)學(xué)方法,扎實(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ)才能保證思維的準(zhǔn)確性與有序性.

2.解法探究

結(jié)構(gòu)不良問題,初始狀態(tài)、中間狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)至少有一個不明確,需要學(xué)生根據(jù)具體條件,從多個角度考慮,分析不同可能,尋找可行的、較為簡便的解決方法,以考查學(xué)生思維的系統(tǒng)性、靈活性、深刻性、創(chuàng)造性.

常見的與解三角形有關(guān)的結(jié)構(gòu)不良問題主要類型有: 條件部分缺失、問題呈現(xiàn)開放等,其中,最常見的是條件部分缺失型結(jié)構(gòu)不良問題.這一類問題也會遇到幾種不同情況: 不同條件對應(yīng)相同結(jié)果、不同條件對應(yīng)不同結(jié)果、條件之間不可共存或者條件本身與既定事實(shí)矛盾.較之傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)良好的解三角形問題方法,可采取以下幾點(diǎn)策略應(yīng)對相關(guān)的結(jié)構(gòu)不良問題:

第一,分析固有信息,構(gòu)建問題空間.由于結(jié)構(gòu)不良問題可以表現(xiàn)為多個不同的問題,所以建構(gòu)一個合適的問題空間是解決這類問題最基礎(chǔ)、最核心的步驟.“構(gòu)建問題空間的前提是搜索、評價(jià)和選擇關(guān)鍵信息[2].”因此,在解題時(shí)應(yīng)當(dāng)細(xì)審題目,抓住題目中確定的信息,心中明確: 已知量是什么,處理已知量常用的數(shù)學(xué)方法,已知量與未知量之間的關(guān)系等解題因素.審題階段要盡量地從錯綜復(fù)雜的問題表述中探求到合適的問題空間,為接下來解決問題確立一個大致方向.

第三,立足基礎(chǔ)知識,突破問題防線.從試題的內(nèi)容來看,結(jié)構(gòu)不良只是問題呈現(xiàn)的一種方式,真正考查的仍然是解三角形知識.除了正弦定理、余弦定理、劃歸思想、方程思想等高中頻繁接觸的基礎(chǔ)知識和基本思想之外,三角形的性質(zhì)等平面幾何的相關(guān)性質(zhì)定理在思考問題時(shí)也需要注意留心.比如例1中,考生極容易忽視“三角形兩邊之和大于第三邊”這一性質(zhì)而導(dǎo)致多解.

第四,監(jiān)控解題過程,調(diào)整處理策略.在解題過程中,要有監(jiān)控和評價(jià)解題過程的意識,留心是否有被忽視的細(xì)節(jié),或者,是否有更優(yōu)化的解決途徑.

第五,保持平和心態(tài),穩(wěn)定解題情緒.心理學(xué)學(xué)者Sinnott發(fā)現(xiàn),情緒和與任務(wù)無關(guān)的信念會影響目標(biāo)的選擇[3].結(jié)構(gòu)不良問題具有開放性,雖然前期作了思維鋪墊,但仍有可能遇到思維障礙.如果遇到卡頓或與預(yù)期不一樣的結(jié)果,要能夠及時(shí)調(diào)整狀態(tài)和方案.

3.策略應(yīng)用舉例

例3 在①bcosA-c=0,②acosB=bcosA,③acosC+b=0這三個條件中選擇符合題意的一個條件,補(bǔ)充在下面問題中,并求解.

分析：同樣是條件缺失的結(jié)構(gòu)不良問題,這一題與例2還是有所區(qū)別的.本題的問題是明確的(求角A),這意味著選擇條件有一個最基本的前提——三角形存在.

點(diǎn)評：本題中“三角形存在”是個隱性的必要條件,“無解”不再是“完美”結(jié)果,甚至不能作為結(jié)果.這給選擇帶來了限制，可能并不是所有的選項(xiàng)條件都可以充當(dāng)解決問題的補(bǔ)充工具.此時(shí),若還是不假思索盲目選擇，也許會事倍功半,由此可見解答之前分析已知條件,構(gòu)建問題空間的重要性.

圖1

分析：同樣是條件缺失的結(jié)構(gòu)不良問題,這一題與例3還是有所區(qū)別的.例3的問題是明確的(求角A),這意味著選擇條件有一個最基本的前提——三角形存在.而本題是需判斷在不同條件下的確定△ABD的個數(shù)，并且個數(shù)唯一時(shí)求出BD的長，求解是理應(yīng)將AD不同情況逐一判斷.

圖2

4.結(jié)語

結(jié)構(gòu)不良問題具有條件不確定、方法不固定、結(jié)果不唯一等特點(diǎn),其解決過程具有探究性,有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成和數(shù)學(xué)能力的提升.結(jié)構(gòu)不良試題的命制,要求學(xué)生的思維從知識的習(xí)得與記憶更多的轉(zhuǎn)向問題的解決、策略的選擇,使得數(shù)學(xué)應(yīng)用在思維層面真正發(fā)生.所以,教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從傳統(tǒng)知識的接受者轉(zhuǎn)為主動的問題解決者; 學(xué)生在解題訓(xùn)練中應(yīng)當(dāng)有意識地思考條件和問題的本質(zhì)內(nèi)涵,把握已知與未知的實(shí)質(zhì)聯(lián)系,逐漸養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.