思想來引航，命題有方向

福建省福清第三中學 (350315) 唐 洵

近日，筆者有幸受到某考試機構的邀請，參與其聯考試卷的命題工作.期間，以函數導數為背景，命制了文科解答題的壓軸題，試題以導數為工具，對函數的性質進行研究，并在不等式恒成立的背景下求解參數的取值范圍，此題雖然作為全卷的壓軸，但由于高三學生一輪復習尚未結束，知識體系尚未建構完整，因此考試機構給出的命題要求是，試題難度不可太大，解題應注重通性通法，但試題要具有一定的區分度，盡可能體現數學的核心素養以及近年全國卷的命題趨勢與命題風格.

題目已知函數f(x)=(x-2)ex+2.(1)求函數f(x)的極值；(2)若關于x的不等式2f(x)+n(x2+4x)≥0在[0,+∞)上恒成立，其中n≥0，求實數n的取值范圍.

本題擬考查利用導數工具研究函數的單調性、極值、最值以及不等式等問題，考查數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象的核心素養，考查化歸與轉化思想以及分類與整合思想.

首先，先命制壓軸部分與不等式相關的問題，考慮到難度因素，我們選擇了最簡單的一個不等關系，x2≥0，這對任意x∈R恒成立，于是將初始函數設定為f1(x)=x2.其具體命制過程如下：

步驟一：化歸與轉化思想定向.

由于近年來新課標I卷的導數試題都與ex、lnx之間建立了密不可分的聯系，于是我們考慮在x2≥0的不等關系下，融入ex≥x+1，使得試題具有一定的難度.

步驟二：數形結合思想引航.

第(1)小題是后續試題的雛形，考慮到即使是文科，本題難度也略顯簡單，學生在求解時可以直接通過放縮直接得到答案，不足以作為壓軸部分，我們考慮擴大不等式成立的區間.通過幾何畫板構造函數f3(x)的圖像如圖1所示，觀察可知，函數f3(x)的圖像始終不落在x軸的下方，于是得到第(2)小題：求證：f3(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立.

圖1

步驟三：分類與整合思想延伸.

步驟四：函數與方程思想點睛.

為了照顧數學學習中的“弱勢群體”，提升學生數學學習的興趣及信心，問題(1)的設定尤為關鍵，命題的主干思想是通過檢測學生導數工具的基本使用能力，進而達到對函數與方程思想的考查，于是我們將函數f5(x)中沒有參數的部分抽出，得到函數f(x)=(x-2)ex+2，進而研究函數f(x)的極值，于是便得到了文章開頭所呈現的試題.

下面給出試題的解析過程：第(1)小題的解答比較簡單，其解題步驟如下：

依題意，f′(x)=(x-1)ex，令f′(x)=0解得x=1；當x∈(-∞,1)時，f′(x)<0，當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0，故函數f(x)在(-∞,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增；從而當x=1時，函數f(x)有極小值f(1)=2-e，無極大值.

第(2)小題：涉及含參不等式的解法，解題時入口較多，我們提供如下解法以供大家參考.

方法一：(整體構造)設h(x)=2f(x)+n(x2+4x)=(2x-4)ex+n(x2+4x)+4，故h(x)≥0.因為h′(x)=(2x-2)ex+2n(x+2)=m(x)，令m′(x)=2xex+2n， 因為n≥0，有m′(x)≥0，此時m(x)在[0,+∞)上單調遞增，則m(x)≥m(0)=4n-2.

圖2

圖3

基于上述命題手法，我們再編制兩道試題與大家共賞：

題1 若關于x的不等式(x+2)lnx-ax2+(1-a)x-1≥0在[1,+∞)上恒成立，求實數a的取值范圍.

題2 若關于x的不等式(x+1)sinx-axex≥0在[0,+∞)上恒成立，求實數a的取值范圍.