檢驗
——解題中不可忽視的環節

江蘇省蘇州實驗中學 (215100) 張文海

匈牙利著名數學家G·波利亞有一句名言:“掌握數學就是意味著善于解題.”在平時的數學學習中，學生教師每日都離不開解題，但如何正確地解答數學問題成為當下師生關心的共同話題.每次考完試，總會聽到學生感嘆，這個題目我就差一步——檢驗就正確了，常常為此懊悔不已.G·波利亞在《怎樣解題》一書中對解題的過程歸納為四步：弄清題意、擬定計劃、實現計劃和回顧，其中在“實現計劃”和“回顧”這兩步中都強調要“檢驗每一步驟”，并指出:“如果學生在實行其計劃的過程中檢查就可以避免許多錯誤.如果學生不去重新檢查或重新考慮已完成的解答，則有可能跌倒在成功的大門口”.因此，數學教學中，通過檢驗環節，使學生深刻反思解題的思維過程，鑒別是非，糾正錯誤，縝密思考，預防錯誤，對培養學生良好的思維品質，提高學生對錯誤的“免疫力”和解題的正確率具有十分重要的現實意義.筆者梳理了高中知識版塊中需要檢驗而易于忽略檢驗的常見問題，供大家參考.

一、集合

集合是學生進入高中后接觸到的第一個章節，高中數學與初中數學相比，更加抽象化、符號化，知識的綜合性進一步加強，需要學生具備獨立思考問題、分析問題的能力，對數學問題的思考要考慮完備性.

例1 已知集合A={a+2,2a2+a}，3∈A，求實數a的值.

原因分析：集合元素具有確定性、無序性和互異性的性質，在解決集合問題時，要注意驗證是否滿足元素的互異性.當出現多解時，要檢驗是否都能符合要求.

二、方程

增根這個概念首先出現在解方程的問題中，高中遇到的方程有三角方程、根式方程、對數方程等，在解決問題時，要注意方程中所含變量隱含的限制條件.

例2 已知sinα，cosα是方程8x2+6mx+2m+1=0的兩個實根，求實數m的值.

原因分析：一元二次方程有實根的前提條件是判別式△≥0.學生進入高中后，數系從實數向復數進行了擴充，而兩個虛數的和與積也可以是一個實數，從而求出參數的值后要回代方程，檢驗是否滿足判別式△≥0.

三、解三角形

解三角形是三角中的一個典型問題，主要利用正弦定理、余弦定理結合誘導公式、和差角的三角公式，研究三角形中的兩個要素“邊”“角”之間的關系.

例3 若△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

四、三角函數的性質

三角函數是函數大類中的一個典型函數，它和很多生活實際問題都有關聯，命題時很受到大家的青睞.三角函數的單調性、周期性、對稱性是三大重要性質，在高考中經常出現它們的身影.

五、導數

導數引入高中課程以后，利用導數可以快捷方便地研究函數的單調性、極值、最值等問題．導數作為研究函數性質極其重要而有力的工具，為我們解決許多函數問題提供了一種更簡單易行的方法和途徑，極大地豐富了數學思想方法.

例5 已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a+b的值.

原因分析：函數在x=x0取得極值與f′(x0)=0并不等價.如函數f(x)=|x|在x=0取得極小值，但f′(0)不存在；函數f(x)=x3滿足f′(0)=0，但在x=0處取不到極值.可導函數f(x)在x=x0取得極值滿足f′(x0)=0；反之f′(x0)=0，需要確定導數f′(x)在x=x0兩側的符號才能確定是否取到極值.

六、解析幾何

解析幾何是高中數學的重點和熱點內容之一，字母運算的繁雜、平幾性質的應用和解題路徑的選擇對學生提出了較高的能力要求.在解決這一類問題時要通觀全局，局部入手，整體思維.即從宏觀上去把握，從微觀上去突破，在解題思路的整體設計和解題細節上下功夫，才能突破解題中的道道難關.

七、數列

數列是定義在正整數集上的一類特殊的函數.自變量n的取值從1到+∞，給人的感覺是“無窮無盡”，容易造成難解題的錯覺.在處理數列問題時，要有將一般問題特殊化的思維，便能快速找到解題的通道.

例8 已知數列{an}滿足(n-1)an+1=nan-a1，n∈N*.

(1)證明：數列{an}為等差數列；

八、向量

向量是近代數學中重要的基本概念之一.由于它具有幾何形式與代數形式的“雙重特征”，使數學中的“數”與“形”完美的結合在一起，更進一步發展和完善了中學數學知識結構體系，拓寬了研究和解決問題的思維通道.

數學解題之所以會產生增根，主要因為在化簡變形過程中，使用的是必要條件而非充分條件，導致轉化不等價，這就需要我們有嚴謹的思維，理性地去認識問題的本質.引導學生在解答完數學問題后，回顧一下解題過程，反思其中的一些關鍵環節，對答案進行有效地檢驗，養成檢驗的習慣，它不僅能提高解題的正確性，而且還有助于學生思維的鍛煉和解題能力的提升.