深入探究，豁然開朗
——由一道解三角形題是否兩解引發的思考

揚州大學附屬中學 (225000) 胡麗媛

在近日的一次練習中，筆者選了2013年北京高考理科卷中的解三角形題，主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用.本認為這是一道容易的解答題，但在批閱過程中發現不少學生產生了兩解，為此，筆者進行了一些深入的探究與同行交流.

一、問題呈現

(1) 求cosA的值；(2) 求c的值.

二、解答過程

首先，給出參考答案：

部分同學對第(2)問解答如下：

三、深入分析

對于上述解法二，不少采用這一思路的同學是缺失檢驗，即產生了兩解.這不免讓我們提出疑問：在三角形已知兩條邊及其中一邊的對角的條件下，若運用余弦定理求第三條邊，需要解一元二次方程，那么在出現兩個不等的正數解時，是否都要思考“增解”問題呢？

而事實并非如此，分析如下：已知△ABC的兩邊a,b和一邊的對角A，解三角形時，如果A為銳角，那么，可能出現以下情況.

①當sinB>1，即a

圖1 圖2

②當sinB=1，即a=b·sinA時，角B有一解，即三角形只有一解，如圖2；

③當sinB<1，即a>b·sinA時，角B有銳角和鈍角兩種可能，由于角A是銳角，故角B能否為鈍角決定了三角形解得個數.其中當a≥b，即A≥B時，角B有一解，即三角形只有一解，如圖4；當a

圖3 圖4

那么，如果用余弦定理解出邊長c，三角形解的個數情況如何呢？

這些結論顯然與正弦定理所得結論是一致的.但這不免讓我們產生質疑：已知“邊邊角”，由余弦定理得出的邊長c，會不會不滿足三角形成立的條件？

綜上所述，當方程(*)有正根時，必然滿足三角形成立的條件.

四、揭示錯因

經過前面的分析得知，已知兩邊及其中一邊的對角(銳角)解三角形時，使用余弦定理求解第三條邊只要能解出正數解，則不需要作任何驗證，那么本題中出現增解的原因究竟是什么呢？

五、反思小結

由這題“增解”產生原因的分析，并不是因為運用余弦定理解一元二次方程產生了“增根”，應考慮使用余弦定理之前的條件的得出，是否“不可逆”.學生受知識背景、思維方式等因素的影響，在很多問題上會產生與教師預設不同的想法，而教師在很多時候也會受固定思維的影響，解法二的出現是練習中學生給出的，在出現了“增解”這樣的體驗之后，如果簡單地告知學生避免使用余弦定理解這類題目，無疑是不合適的.學習數學，需要數學思維，可以說，數學的本質特性就是思維，通過對推理過程的嚴密分析，不僅能解決疑問，也是在幫助學生培養數學思維，讓學生經歷產生問題、分析問題、解決問題的過程，培養深入思考的習慣.作為教師，不能因固定思維的影響而停滯不前，只有自身做到對問題的“深入”，才能做到在學生面前的“淺出”，才能幫助學生更深刻的理解所學知識.