從一道高考題再談“類周期函數”

上海市上海中學東校 (201306) 汪海鵬

函數性質問題是高考和競賽中常見的題型.周期性是函數的重要性質，很多題目中會出現周期函數的影子—與周期函數類似的函數，我們稱之為類周期函數.這種題目在競賽和高考中變化多樣，形式新穎，可以很好的考查學生的數學綜合素養，備受命題人青睞.

一、考題再現

題目(2021年上海高考21題)如果對任意x1,x2∈R使得都有x1-x2∈S,則稱f(x)是S關聯的.

(1)判斷并證明f(x)=2x-1是否是[0,+∞)關聯？是否是[0,1]關聯？

(2)f(x)是{3}關聯的,在[0,3]上有f(x)=x2-2x,解不等式2≤f(x)≤3；

(3)“f(x)是{1}關聯的，且是[0,+∞)關聯”當且僅當“f(x)是[1,2]關聯的”．

該題目巧妙的在新定義的情景當中融入了類周期函數的性質，(2)、(3)中的“f(x)是{3}關聯的“和”f(x)是{1}關聯的“就可以看作類周期函數的綜合問題.破解題目的關鍵就是結合題目中的新背景，通過分析類周期函數的性質和圖像即可明確清晰.而(3)中的“不等式”型類周期問題的解決要求更高了，還考查到學生的不等式相關知識，以及其他數列思想,思維含量比較高，是體現數學能力的很好載體.

二、問題破解

解法1：(1)①設任意x1,x2∈R,且x1-x2∈[0,+∞)，則f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2+1=2(x1-x2)∈[0,+∞),f(x)=2x-1是[0,+∞)關聯的.

②設x1-x2∈[0,1]，f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2+1=2(x1-x2)∈[0,2]，故f(x)=2x-1不是[0,1]關聯的.

圖1

(3)充分性：由f(x)是{1}關聯的可知，對任意x∈R,函數f(x)滿足f(x+1)-f(x)=1.由f(x)是[0,+∞)關聯的可知函數f(x)單調不減.

設任意x1,x2∈R,且1≤x1-x2≤2，一方面f(x1)-f(x2)≥f(x2+1)-f(x2)=f(x2)+1-f(x2)=1，另一方面f(x1)-f(x2)≤f(x2+2)-f(x2)=f(x2)+2-f(x2)=2.即得f(x1)-f(x2)∈[1,2].

必要性：∵f(x+1)-f(x)≥1，f(x+2)-f(x+1)≥1，f(x+2)-f(x)≤2可以得到f(x+1)=f(x)+1.故對xf(x)也成立.

點評：(2)中函數類周期性質中，當自變量從一個周期變化到下一個周期時，其函數值發生了變化，其圖像同時發生了左右平移和上下平移，解決此類問題的關鍵時抓住函數在主值區間上的圖像，由此延拓到整個定義域上，從圖像中找出規律，然后嘗試離開圖像，直接從局部解析式中得到整個解析式，求得問題的解.(3)中“不等式”型類周期問題的解決要求更高，它不但考查有關函數的知識，還要求學生具備不等式相關知識.

解法2：(1)x1-x2∈[0,+∞),f(x1)-f(x2)=(2x1-1)-(2x2-1)=2(x1-x2)∈[0,+∞),f(x)=2x-1是[0,+∞)關聯；x1-x2∈[0,1],f(x1)-f(x2)=(2x1-1)-(2x2-1)=2(x1-x2)∈[0,2],f(x)=2x-1不是[0,1]關聯.

圖2

②當f(x)是[1,2]關聯，有Δx∈[1,2]，∴g(Δx)=f(x+Δx)-f(x)∈[1,2]，當g(1)=f(x+1)-f(x)∈[1,2]，g(2)=f(x+2)-f(x)∈[1,2]時，假設g(1)>1，有f(x+1)-f(x)>1.∴f(x+2)-f(x)>f(x+1)+1-f(x)>2，又∵g(2)=f(x+2)-f(x)∈[1,2]，矛盾.故只有g(1)=1，易得g(2)=2.利用f(x+1)-f(x)=1得f(x)是{1}關聯，依次可得g(n)=n,n∈Z+，即當Δx∈[n,n+1]，有g(Δx)∈[n,n+1]，當n→+∞時，Δx∈[0,+∞)，g(Δx)∈[0,+∞).

點評：結合已知條件中定義的抽象函數的性質，利用化歸思想，結合周期數列的處理方法，巧妙將題中的條件有效轉化.

三、變式拓展

通過改變真題中類周期函數的形式，由平移型改為伸縮型或者為不等式型，合理改變給出函數類周期的條件，會得到以下相應的類似問題.

變式1 我們把定義在R上，且滿足f(x+T)=af(x)(其中常數滿足a≠1,a≠0,T≠0)的函數叫做類周期函數.

(1)當T=1，a=2時，某個類周期函數在0≤x<1時的解析式為f(x)=x2-2x，求函數y=f(x),x∈[n,n+1),n∈Z的解析式；

(2)對于確定的T>0且0

解析：(1)類周期函數在0≤x<1時的解析式為f(x)=x2-2x，當x∈[n,n+1),n∈Z時，x-n∈[0,1),則f(x)=2f(x-1)=22f(x-2)=…=2nf(x-n)=2n[(x-n)2-2(x-n)],所以f(x)=2n[x2-(2n+2)x+n2+2n],x∈[n,n+1),n∈Z.

(2)類周期函數T>0且00時，f(x)=an[3(x-nT)+1],x∈(nT,(n+1)T]是增函數，此時f(x)∈(an,an(3T+1)].若類周期函數y=f(x)在區間(0,+∞)上可能是單調函數，只能是增函數，即an+1>an(3T+1),故答案是a≥3T+1.

解析：由f(x)+2017≤f(x+2017)=f(x+1+2016)≤f(x+1)+2016可得f(x)+1≤f(x+1)，同理由f(x)+2016≥f(x+2016)遞推可知f(x)+1≥f(x+1)，從而f(x)+1=f(x+1)，進而知{an}是等差數列.a2018=a1+2017=2019.

四、解后反思

類周期函數問題是函數綜合知識考察類型的常青樹，對這類問題的探究是基于周期函數的基礎上，對函數性質作更深入的挖掘，它要求學生具有比較全面的函數基礎知識，具有類比分析、數形結合等解題思想能力，是高考和競賽試題中的難點，對學生有很好的考察功能.