明理講通法 推廣顯內涵*
——一道橢圓問題的解析與推廣

福建師范大學附屬中學 (350007) 周裕燕

2020年全國I卷理科第20題解析幾何試題考查橢圓中的定點問題，看似常規，但實際測試難度較大，并且意蘊深刻.本文旨在為此題尋找常見的解題方法，并探究此類試題的一般性結論及其推廣，以資于教學研究.

1 試題再現

圖1

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

2 試題解析

評析：證法一是直接設直線CD方程，利用方程的思想，實現消元.本題通過聯立方程，利用韋達定理，設而不求，但是運算過程中出現點的坐標不對稱，無法直接利用韋達定理實現整體代入，因此坐標的不對稱形式轉化為對稱形式成為本題的難點，加上此法運算量較大，要想得到定點實屬不易.

評析：證法二是通過間接設點P坐標，再把直線AP,BP的方程分別與橢圓方程聯立，求出點C,D的坐標，從而得到直線CD的方程，通過整理化簡得到定點.此法不需要用韋達定理，但計算量大，要想得到直線CD的點斜式方程，從而得到定點，難度不小.

評析：證法三、四采用特值探路，以退為進.先利用點C的特殊位置及橢圓的對稱性，猜測出定點，再加以證明.證法三利用同一性，證明了直線AC與BD的交點P直線x=6，回避了證法一中點坐標不對稱問題.證法四是綜合了證法二、三兩種證法，把問題轉化為證三點共線問題，有效地減少了運算量.在解決定值、定點、探索存在性問題時，先猜后證也是一種不錯的方法.

3 試題推廣

經過探究，將橢圓方程一般化，直線x=6推廣到x=m，可得以下結論：

圖2

雖然橢圓與雙曲線在形狀上有很大的差異，但它們同為有心圓錐曲線，有許多類似的性質.通過類比，我們不難得到如下結論：

圖3

證明：依題意，設直線CD的方程為x=sy+t，C(x1,y1),D(x2,y2).

實際上，圓、橢圓、雙曲線都具有此性質，把方程統一化，可以得到以下結論：

證法與上面相似，不再贅述.

這道高考題看是常規，但富有深意.通過對此題的分析，發掘簡約、自然的解題通法，并通過猜想類比，得出一般性結論并加以推廣，凸顯了此題知識的深刻內涵.