函數中的雙變量問題探析

西華師范大學數學與信息學院 (637000) 王小梅 湯 強

雙變量問題在近幾年高考中的考察呈上升趨勢,因其涉及知識點多,解法靈活,命題人往往在知識的交匯處進行命題,雙變量問題便成為高考中的一個熱點問題,同時,也是學生學習的一個難點,因此,有必要對雙變量問題進行深入分析.目前,關于雙變量問題的研究主要從解題策略方面進行,由于雙變量問題涉及面廣,解題策略一般具有普遍性,導致思想方法容易理解,但是應用起來很困難.因此本文從題型的角度分析雙變量問題,另外,將思想方法滲透在解決問題過程中,旨在幫助學生快速識別題型,精準定位,選擇合適的方法解決問題,達到高效解決函數中雙變量問題的目的.

一、雙變量問題的基本模型

雙變量問題指的是題目中含有兩個變量的問題,基本模型有兩種(表達式中可含參)：F(x1)≥G(x2)或F(x1)=G(x2)、F(x1,x2)≥0或F(x1,x2)=0.第一種模型為可分離的雙變量問題,兩個變量是獨立的;第二種模型為藕合的雙變量問題,兩個變量藕合在一起,不可分離.

二、雙變量問題的常見題型

對題型的整理有助于我們快速找到解決問題的突破口,函數中的雙變量問題可以看成是單變量問題的延伸與拓展,常見的題型有如下四種.

(一)雙變量之“存在性”、“任意性”問題

評注：該題的關鍵是將“存在性”、“任意性”問題轉化為兩個函數值域(或最值)之間的問題,另外,“存在”、“任意”可相互轉化,共有以下四種情況：

記I1,I2分別為函數f(x)與g(x)定義域的子空間,A,B分別為函數f(x)在定義域I1上的值域與函數g(x)在定義域I2上的值域.

(1)?x1∈I1,?x2∈I2,f(x1)≥g(x2)?[f(x)]min≥[g(x)]max;

(2)?x1∈I1,?x2∈I2,f(x1)≥g(x2)?[f(x)]min≥[g(x)]min;

(3)?x1∈I1,?x2∈I2,f(x1)≥g(x2)?[f(x)]max≥[g(x)]max;

(4)?x1∈I1,?x2∈I2,f(x1)≥g(x2)?[f(x)]max≥[g(x)]min.

除此之外,若將不等式改為等式,則有以下四種情況：

(5)?x1∈I1,?x2∈I2,f(x1)=g(x2)?A=B;

(6)?x1∈I1,?x2∈I2,f(x1)=g(x2)?A?B;

(7)?x1∈I1,?x2∈I2,f(x1)=g(x2)?A?B;

(8)?x1∈I1,?x2∈I2,f(x1)=g(x2)?A∩B≠φ.

關于具體的例子文[1]已對含有參數的方程(或不等式) 中的“任意性”與“存在性”問題進行梳理,并用例子加以解釋,指出破解此類問題的關鍵在于將其轉化為熟悉的基本初等函數的值域問題,同時還需要正確區分“任意性”與“存在性”問題．

(二)雙變量之極值點偏移問題

解：(1)對f(x)求導后分析其單調性,可得f(x)在(0,1)上單調遞增,(1,+∞)上單調遞減.

先證20恒成立,所以h(x)1,x2>1,且f(x)在(1,+∞)單調遞減,則x2>2-x1,所以x1+x2>2.

評注：極值點偏移問題是近幾年高中解題研究的一個熱點,對于此類問題的研究比較成熟,有固定的解題程序,文[2]提出了極值點偏移的概念與解決此類問題的通法,通過構造一元對稱差函數,利用函數單調性解決,文[3]將極值點偏移問題進行了拓展,提出了非常規的極值點偏移問題的4種解決策略：構造差函數法、等量代換法、換元法、不等式放縮法.其實,我們將視野放大一些,可將極值點問題看成雙變量問題的一個分支,解決此類問題的關鍵在于如何將雙變量化為單變量,從而,非常規的極值點偏移問題的解決策略就很容易理解了.

(三)雙變量之方程問題

(1)討論函數f(x)在(2,+∞)上的單調性;

評注：不難發現,這類題的共性是存在等量關系,通過對條件進行化簡,可以得到關于x1,x2的二元方程,利用韋達定理可實現消元,條件通常用零點、極值點、導數相等加以包裝,若兩個變量可分離,則用一個變量代替另一個變量實現消元,若兩變量不可分離,則結合問題通過換元法實現消元(包括整體換元、引參換元).

(四)雙變量之“對稱”不等式問題

函數中的雙變量問題還有一類題比較典型且有法可依,即對稱型的不等式問題,其結構對稱,兩個變量獨立且可分離,這時,構造函數法不失為一種簡單高效的方法.

分析：第二問可從兩個角度進行分析,一是代數式的結構特征,容易看出該不等式結構對稱,且兩個變量相互獨立,將其變形可利用構造函數結合函數的單調性解決;二是條件中涉及極值點,可得到極值點x1,x2之間的等量關系,再利用消元法或換元法將雙變量變為單變量問題.

解：(1)略;(2)思路1：(構造函數法)不妨設x1>x2>0,對結論進行變形得f(x1)-(a-2)x12,g′(x)=2-a<0.因此,?x1,x2∈(0,+∞),當x1>x2時,f(x1)-(a-2)x1

變式(2021年4月馬鞍山二模,21題)已知函數f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x+a,其中a為常數.

分析：第(2)問,從式子的結構入手,和例2類似,將其變形可化為獨立的雙變量問題,再通過構造函數將獨立的雙變量問題化為單變量問題.

評注：通過例3可以看出思路1要比思路2和3簡單許多,運算量較小,因此我們可以直接從式子的結構特征入手,遇到上述這種“對稱”型不等式時,可采用構造函數進行消元,前提是兩個變量獨立可分離的.通常采用的解題步驟是:首先,觀察代數式的結構特征,對代數式進行簡單的數學運算;其次,將代數式兩邊的結構一致化,構造新的函數;最后,利用函數的單調性解不等式.其中最為關鍵的是識別代數式的結構特征,構造新函數.

三、雙變量問題的思想方法

通過上述分析,雙變量問題涉及面廣,考察學生對知識的靈活應用,但是不管怎么變化,解決此類問題的思想方法不變.從宏觀的角度,解決雙變量問題的兩大思想為消元和化歸思想,將不熟悉的問題化為熟悉的問題,其實,消元的目的也是將復雜的二元問題化為一元問題,關鍵在于如何消元將雙變量轉化為單變量.

從微觀解題方法來說,主要方法有：構造函數法、消元法及換元法.構造函數常見于“對稱型”不等式中,通過構造函數利用函數單調性解決;代入消元一般在含有等量關系時使用,常見于含有極值點的問題中,令導函數等于0,化簡后一般為一元二次方程,可利用韋達定理實現消元;換元法包括整體換元(比值換元、差值換元、乘積換元等)、引入參數換元,值得注意的是,換元后自變量的范圍有所改變.