一道課后習題的多解與反思*
——對數比較大小問題

福建省福清華僑中學 (350300) 俞文銳

1.引言

對數比較大小問題是每年高考的熱點題型，題型雜方法多，重點考查數形結合思想，化歸轉化思想，以及數學抽象、數學運算、直觀想象等核心素養，那么對于底數不同、真數也不同的對數比較大小，究竟要應用什么方法予以解覺呢？本文以人教A版必修第一冊一道習題為例對該問題進行探究．

2.試題呈現

例1 比較log23，log34，log45的大小(人教A版數學必修第一冊P141拓廣探索第13題)

3.解法探究

我們先比較log34，log45的大小.

解法一：(運用作差法+基本不等式比較大小)

評析：通過構造函數，研究函數的單調性，利用單調性比較大小，也是我們常用的一種策略，解題教學中要給予充分的關注.

4、解題反思

本題中兩個對數的底數和真數具有規律性，我們可以將它推廣到一般性結論.

性質1 當a>1 時，loga(a+1)>log(a+1)(a+2).

證明：由解法 7 已知結論成立知.

性質2 當 11 時,logab>logambm.

性質3 設b>a>1,n>0,m≥1,則有

logam+n(bm+n)

性質4 若10,則logab>log(a+n)(b+n).

證明：性質3中取m=1可得性質4.

利用性質1、性質3、性質4我們可以輕松獲得log23>log34>log45，對于底數、真數呈現以上規律性的對數我們可以快速比較大小，那么對于任意的底數不同、真數也不同的對數比較大小問題，我們能否獲得一般性的結論呢?

5、高考真題鏈接

例1 (2013年全國Ⅱ卷第8題)設a=log36,b=log510,c=log714,則( ).

(A)c>b>a(B)b>c>a

(C)a>c>b(D)a>b>c

例2 (2020年全國卷3理科第12題)已知55<84，134<83.設a=log53,b=log85，c=log138,比較a,b,c的大小.

結語：比較大小問題是經典的題型，教材中蘊含有多種解題方法，如作差法、構造法、單調性法、基本不等式法、不等式性質法、分析法、中間量法、圖像法等，充分挖掘教材中的解題方法，通過一題多解教學，培養學生的數學運算能力，促進數學思維的發展，培養學生發散性思維能力，同時也讓學生進一步體會到不同知識之間的緊密聯系.通過對習題的拓展，學生依據從特殊到一般的推理，從特殊的命題log34>log45出發，得到一般性的命題：若b>a>1,n>0,m≥1,則有logam+n(bm+n)