支承剛度對(duì)并車(chē)二分扭傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)載特性影響的分析

趙廣杰

（遼寧裝備制造職業(yè)技術(shù)學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110161）

1 概述

在齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)中，功率分扭齒輪具有齒輪少、體積小、質(zhì)量輕以及能耗少等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空減速器中。但該系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)存在傳動(dòng)載荷不均的缺點(diǎn)，因而研究其動(dòng)態(tài)特性十分必要。很多國(guó)內(nèi)外學(xué)者在相關(guān)領(lǐng)域都進(jìn)行了大量的研究，有學(xué)者[1-3]通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)分扭傳動(dòng)系統(tǒng)不僅比行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)體積小、質(zhì)量輕，而且能耗更低、終端減速比更大。有專(zhuān)家[4-6]認(rèn)為輪齒制造誤差是影響分扭傳動(dòng)系統(tǒng)各分支不均載的主要因素，采用扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼較大的彈性軸有利于提高系統(tǒng)均載性能，并且提出了有效的均載措施。也有學(xué)者[7-9]提出將分扭傳動(dòng)系統(tǒng)應(yīng)用于CH-53直升機(jī)減速器裝置，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了系統(tǒng)彈性軸的均載性能。李楠等[10]基于轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)研究了功率四分支齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的固有特性和動(dòng)載系數(shù)。董金城等[11]研究了支承剛度和分扭角度等參數(shù)對(duì)二分支斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)載和均載特性影響。任薇等[12]研究了時(shí)變支承剛度對(duì)分扭傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。

本文采用集中質(zhì)量法[13-17]，建立了某渦槳發(fā)動(dòng)機(jī)并車(chē)二分扭傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了齒輪時(shí)變嚙合剛度和嚙合誤差影響條件下，系統(tǒng)動(dòng)載系數(shù)隨輸入軸支承剛度、雙聯(lián)軸支承剛度和輸出軸支承剛度的變化規(guī)律，為下一步的均載設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

2 二分扭齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖1為某直升機(jī)的并車(chē)二分扭齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。動(dòng)力由輸入盤(pán)1和輸入盤(pán)2輸入，經(jīng)輸入軸傳遞至參數(shù)相同的齒輪1和齒輪2，兩齒輪通過(guò)分流將動(dòng)力傳遞至參數(shù)相同的齒輪3、4、5、6，再通過(guò)雙聯(lián)軸將動(dòng)力傳遞至參數(shù)相同的齒輪7、8、9、10，這四個(gè)齒輪并車(chē)驅(qū)動(dòng)齒輪g，并通過(guò)輸出軸與輸出盤(pán)相聯(lián)，實(shí)現(xiàn)功率的并車(chē)輸出。

圖1 并車(chē)二分扭齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

針對(duì)并車(chē)二分扭齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)建立坐標(biāo)系，如圖2所示。為方便建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，為每根轉(zhuǎn)軸及其上安裝的零件建立局部坐標(biāo)系，坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于每根軸的形心，各坐標(biāo)系間的坐標(biāo)軸平行且正方向保持一致，Z軸均為轉(zhuǎn)軸的軸線方向。

圖2中，φ為二分支的并車(chē)角，Φ為系統(tǒng)并車(chē)角。

圖2 并車(chē)二分扭齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的坐標(biāo)系

基于集中質(zhì)量法建立的并車(chē)二分扭齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖3所示。將各齒輪質(zhì)量mi（i=1～10，g）及各零件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ii（i=1～10，g，in1，in2，out）集中在其幾何形心上，其中，in1、in2和out分別表示輸入盤(pán)1、2和輸出盤(pán)。輸入盤(pán)、輸出盤(pán)均只考慮其轉(zhuǎn)動(dòng)自由度θ，每個(gè)齒輪考慮3個(gè)自由度｛xi，yi，θi｝（i=1～10，g），即齒輪質(zhì)心沿著徑向平面內(nèi)（xy平面） 的平移自由度和齒輪整體沿著軸線方向（z軸） 的轉(zhuǎn)角自由度，忽略并車(chē)級(jí)人字齒輪沿z方向的運(yùn)動(dòng)。圖3中的k和c分別表示剛度和阻尼，t和b則分別代表扭轉(zhuǎn)和彎曲，下標(biāo)m表示輪齒嚙合作用。

圖3 并車(chē)二分扭齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

由牛頓第二定律，建立各構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)方程。對(duì)于輸入盤(pán)1、2，

對(duì)于齒輪1，

從并車(chē)二分扭齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的坐標(biāo)系圖（圖2） 中可以看出，將式（1）和（2）中的下標(biāo)1改為2，數(shù)字3和4分別改為5和6，可得齒輪2的動(dòng)力學(xué)方程。

對(duì)于齒輪3，

在式（3）中，將下標(biāo)3改為4，下標(biāo)7改為8，可得齒輪4的動(dòng)力學(xué)方程；而將下標(biāo)1改為2，下標(biāo)3改為5、6，下標(biāo)7改為9、10，則可得齒輪5、6的動(dòng)力學(xué)方程。

對(duì)于齒輪7，

在式（4）中，將下標(biāo)3改為4、5、6，下標(biāo)7對(duì)應(yīng)改為8、9、10，可得齒輪8、9、10的動(dòng)力學(xué)方程。

在上述各式中，ri=（i=1～10，g） 表示齒輪的基圓半徑，ψij表示兩嚙合齒輪i、j嚙合線與坐標(biāo)系x軸正向夾角，其值取決于齒輪副的嚙合角與并車(chē)角；Ti=（i=in1，in2，out）表示作用于輸入盤(pán)和輸出盤(pán)上的扭矩，δij表示齒輪副ij沿嚙合線方向的相對(duì)位移，其計(jì)算公式為：

其中，e表示齒輪嚙合誤差；E為誤差幅值，在本文計(jì)算中，均取為10 μm；下標(biāo)A和Z分別表示安裝誤差和制造誤差；Ω表示誤差初始相位角，本文中誤差初始相位角取為0時(shí)變嚙合剛度kmij的算法表達(dá)式[18]如下：

聯(lián)立式（1）～（8），將其寫(xiě)成矩陣形式為：

式中，M為質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，K為剛度矩陣，q為位移向量，F(xiàn)為外激勵(lì)向量。

3 動(dòng)載特性分析

3.1 動(dòng)載系數(shù)計(jì)算

并車(chē)二分扭傳動(dòng)系統(tǒng)中，所有齒輪基本參數(shù)如表1所示，傳動(dòng)系統(tǒng)的其他參數(shù)如表2所示，各軸的剛度與阻尼如表3所示。借助齒輪參數(shù)，可求得分扭各齒輪副和并車(chē)級(jí)各齒輪副的嚙合剛度均值km分別為0.75×109N/m和1.13×109N/m，而各齒輪副嚙合剛度幅值系數(shù)εm為 0.2。

表1 齒輪參數(shù)

表2 傳動(dòng)系統(tǒng)的其他參數(shù)

表3 各軸的剛度與阻尼

采用傅里葉級(jí)數(shù)法求解系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，可得到各構(gòu)件的位移響應(yīng)，根據(jù)公式（7）可解得每對(duì)嚙合齒輪副沿嚙合線方向相對(duì)位移及相對(duì)速度，進(jìn)一步可得嚙合動(dòng)載荷Fmij表達(dá)式：

定義嚙合動(dòng)載荷的最大值與名義載荷的比值為動(dòng)載系數(shù)Kvij，即：

為了敘述簡(jiǎn)潔，下文中分別用Kv1、Kv2、Kv3、Kv4、Kv5、Kv6、Kv7和Kv8來(lái)表示齒輪嚙合副 13、14、25、26、7g、8g、9g 和 10g 的動(dòng)載系數(shù)。

3.2 支承剛度對(duì)動(dòng)載系數(shù)的影響

對(duì)于并車(chē)分扭齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，由于其對(duì)稱(chēng)性，使得系統(tǒng)中軸的種類(lèi)有3類(lèi)，即輸入軸、雙聯(lián)軸和輸出軸。為了改善傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，需要對(duì)三根軸的支承剛度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，因此必須研究支承剛度對(duì)動(dòng)載系數(shù)的影響規(guī)律。在本文中，分別改變這3類(lèi)軸中一類(lèi)軸對(duì)應(yīng)軸承的支承剛度，而保持其他兩類(lèi)軸對(duì)應(yīng)軸承支承剛度不變，來(lái)探究各類(lèi)軸承支承剛度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)載系數(shù)的影響。研究過(guò)程中，三種支承剛度的初值均為1.0×109N/m，剛度變化范圍為1×108～1×1010N/m。

3.2.1 輸入軸軸承支承剛度對(duì)動(dòng)載系數(shù)的影響

在雙聯(lián)軸和輸出軸軸承支承剛度不變的條件下，并車(chē)分扭傳動(dòng)系統(tǒng)各級(jí)動(dòng)載系數(shù)隨輸入軸軸承支承剛度的變化規(guī)律如圖4所示。

由圖4可知，在一級(jí)減速傳動(dòng)中，隨著輸入軸軸承支承剛度增大，兩邊分扭級(jí)四個(gè)分支的動(dòng)載系數(shù)略有升降變化，總體呈現(xiàn)出提高的趨勢(shì)；當(dāng)軸承剛度從1×108N/m增大到1×1010N/m，動(dòng)載系數(shù)提高10%左右，輸入軸軸承支承剛度的增大對(duì)一級(jí)減速中四個(gè)分支的動(dòng)載系數(shù)影響較大，這會(huì)對(duì)系統(tǒng)傳動(dòng)造成不利的影響。而在二級(jí)減速傳動(dòng)中，并車(chē)級(jí)的四個(gè)分支的動(dòng)載系數(shù)隨著輸入軸軸承剛度的增大，首先表現(xiàn)出略微的波動(dòng)，之后趨于平穩(wěn)幾乎不變，總體而言二級(jí)減速器四個(gè)分支的動(dòng)載系數(shù)受輸入軸軸承剛度變化影響較小。因而在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，在滿(mǎn)足剛度要求的前提下，應(yīng)選取支承剛度相對(duì)較小的軸承，這樣有利于改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。

圖4 并車(chē)分扭傳動(dòng)系統(tǒng)各級(jí)動(dòng)載系數(shù)隨輸入軸軸承支承剛度的變化規(guī)律

3.2.2 雙聯(lián)軸軸承支承剛度對(duì)動(dòng)載系數(shù)的影響

圖5給出了輸入軸和輸出軸軸承支承剛度不變條件下，并車(chē)分扭傳動(dòng)系統(tǒng)各級(jí)動(dòng)載系數(shù)隨雙聯(lián)軸軸承支承剛度變化的規(guī)律。從圖5可以看出，在一級(jí)減速中，隨著雙聯(lián)軸軸承支承剛度變大，兩邊分扭級(jí)四個(gè)分支的動(dòng)載系數(shù)首先顯著下降，之后呈現(xiàn)較小幅度的上升，最后趨于平穩(wěn)小幅波動(dòng)模式；而在二級(jí)減速傳動(dòng)中，并車(chē)級(jí)的四個(gè)分支的動(dòng)載系數(shù)則是先上升后下降最后趨于平穩(wěn)。雙聯(lián)軸軸承剛度對(duì)兩級(jí)減速的動(dòng)載系數(shù)產(chǎn)生了相反的影響，特別當(dāng)雙聯(lián)軸的軸承剛度在1×108～1.5×109N/m范圍內(nèi)變化時(shí)，兩級(jí)減速的動(dòng)載系數(shù)變化極為顯著且趨勢(shì)完全相反。當(dāng)雙聯(lián)軸軸承剛度大于1.5×109N/m時(shí)，動(dòng)載系數(shù)受到的影響較為微弱，變化范圍較小。因此，在設(shè)計(jì)選擇該類(lèi)軸承時(shí)，在滿(mǎn)足剛度要求的前提下，其支承剛度應(yīng)避開(kāi)動(dòng)載系數(shù)較大波動(dòng)幅度對(duì)應(yīng)的剛度范圍。

圖5 分扭動(dòng)載系數(shù)隨雙聯(lián)軸軸承支承剛度的變化規(guī)律

3.2.3 輸出軸軸承支承剛度對(duì)動(dòng)載系數(shù)的影響

在輸入軸和雙聯(lián)軸軸承支承剛度不變條件下，并車(chē)分扭傳動(dòng)系統(tǒng)各級(jí)動(dòng)載系數(shù)隨輸出軸軸承支承剛度變化的規(guī)律如圖6所示。

由圖6可看出，在一級(jí)減速中，隨著輸出軸軸承支承剛度增大，兩邊分扭級(jí)四個(gè)分支的動(dòng)載系數(shù)中，Kv1和Kv3先減小而后趨于穩(wěn)定，而Kv2和Kv4則是先增大而后趨于穩(wěn)定，四個(gè)分支的動(dòng)載系數(shù)呈靠近趨勢(shì)；在二級(jí)減速中，Kv5和Kv7先減小而后趨于穩(wěn)定，而Kv6和Kv8先增大而后趨于穩(wěn)定，四個(gè)分支的動(dòng)載系數(shù)也呈靠近趨勢(shì)。這說(shuō)明，輸出軸軸承支承剛度對(duì)兩級(jí)減速傳動(dòng)的影響規(guī)律類(lèi)似，即在輸出軸軸承支承剛度較小時(shí)，動(dòng)載系數(shù)表現(xiàn)出一定的波動(dòng)，但在輸出軸軸承支承剛度變化的大部分范圍內(nèi)，動(dòng)載系數(shù)均趨于穩(wěn)定，且數(shù)值上較為接近。因此，在設(shè)計(jì)選擇該類(lèi)軸承時(shí)，為實(shí)現(xiàn)較好的均載傳動(dòng)性能，應(yīng)選用支承剛度值偏大的軸承。

圖6 分扭動(dòng)載系數(shù)隨雙聯(lián)軸軸承支承剛度的變化規(guī)律

4 結(jié)論

輸入軸軸承支承剛度的增大能夠?qū)е虏④?chē)分扭傳動(dòng)系統(tǒng)第一級(jí)減速各分支動(dòng)載系數(shù)的顯著提高，但對(duì)第二級(jí)減速各分支動(dòng)載系數(shù)影響較小。

當(dāng)雙聯(lián)軸軸承支承剛度較小時(shí)，其值的小范圍增大能夠?qū)е虏④?chē)分扭傳動(dòng)系統(tǒng)兩級(jí)減速各分支動(dòng)載系數(shù)大小的顯著變化，但變化趨勢(shì)完全相反；隨著雙聯(lián)軸軸承支承剛度的增大，兩級(jí)減速各分支的動(dòng)載系數(shù)波動(dòng)減小，趨于平穩(wěn)。

當(dāng)輸出軸軸承支承剛度較大值時(shí)，剛度的變化對(duì)并車(chē)分扭傳動(dòng)系統(tǒng)兩級(jí)減速各分支動(dòng)載系數(shù)影響甚微。