變剛度支承下電磁軸承-轉子系統振動特性研究

魏子航，宋春生, 2，李俊，李民輝

(1.武漢理工大學 機電工程學院，武漢 430070； 2.湖北省磁懸浮工程技術研究中心，武漢 430070)

電磁軸承具有無接觸，無摩擦，發熱少，無需潤滑系統，長壽命以及可在極端環境下工作等優點。此外，電磁軸承具有極佳的主動振動控制功能，可以根據實際工況通過控制策略在一定范圍內調節自身的支承參數，從而抑制轉子的不平衡振動。文獻[1]對電磁輔助支承的變剛度減振進行研究，在一階臨界轉速附近取得了較好的減振效果；文獻[2]在不同轉速區間采用不同控制參數，能夠有效減小轉子的不平衡振動；文獻[3]研究了基于控制參數切換的磁懸浮旋轉機械隔振技術，并給出了控制參數的設計思路及確定參數切換轉速的方法：以上文獻大多聚焦于變參數控制的設計及實現，未分析電磁軸承等效剛度變化對轉子系統振動特性產生的影響。

本文較為系統地對變剛度電磁軸承-轉子系統的動力學及振動傳遞特性進行研究:建立電磁軸承支承的剛性轉子動力學模型并驗證電磁軸承等效剛度與控制參數之間的關系，分析等效剛度的影響因素；將電磁軸承-剛性轉子、柔性轉子數學模型與有限元仿真軟件結合，研究等效剛度對轉子系統模態頻率、振型的影響；分析電磁軸承支承下的轉子振動傳遞特性。

1 電磁軸承電磁力及廣義剛度

本試驗裝置的電磁軸承共有8個磁極，相鄰2個磁極通入相同的控制電流并采用NNSSNN順序進行繞線，以45°偏置安裝，其結構參數見表1。

表1 電磁軸承結構參數Tab.1 Structural parameters of AMB

電磁軸承的控制系統包括控制器、傳感器、功率放大器。考慮一般情況，設電磁軸承的控制規律為

G(s)=Gs(s)Ga(s)Gc(s)，

(1)

式中：Gs(s)，Ga(s)，Gc(s)分別為傳感器、功率放大器、控制器的傳遞函數，傳遞函數G(s)中的復變量s=σ+jω，令σ=0可得到系統的頻率特性G(jω)。

電磁軸承等效剛度、阻尼的一般表達式為[4]

(2)

式中：ω為轉子角速度；P(ω)，Q(ω)分別為G(jω)的實部和虛部。

對于PID控制，控制器的傳遞函數為

(3)

式中：cP，cI，cD分別為比例系數、積分系數、微分系數；TD為微分時間常數。

功率放大器與傳感器的傳遞函數以一階慣性環節表示，可得PID控制下等效剛度、阻尼表達式為

(4)

式中：Aa，As分別為功率放大器、傳感器的放大倍數；Ta，Ts分別為功率放大器、傳感器的時間常數。

由于系統固有頻率受電磁軸承等效剛度的影響，因此分別分析PID控制參數及轉子轉頻對等效剛度的影響，如圖1—圖3所示。

圖1 等效剛度隨比例系數cP的變化Fig.1 Variation of equivalent stiffness with cP

由圖1—圖3可知：在給定的轉速區間，比例系數cP對等效剛度的影響最為明顯，兩者之間存在近似線性的關系；積分系數cI對等效剛度的影響非常小；等效剛度受微分系數cD與轉子轉速共同作用的影響，當微分系數較小時，等效剛度能夠在較大轉速范圍內保持不變。

圖2 等效剛度隨積分系數cI的變化Fig.2 Variation of equivalent stiffness with cI

圖3 等效剛度隨微分系數cD的變化Fig.3 Variation of equivalent stiffness with cD

綜上可知，在較大的轉速范圍內，比例系數cP為等效剛度的主要影響因素且兩者體現出近似線性關系，而轉速和微分系數對等效剛度的影響相對較小，因此可將等效剛度簡化為與比例系數cP有關的線性化表達式以便于分析。

2 電磁軸承-轉子系統動力學分析

2.1 電磁軸承支承剛性轉子動力學模型

磁懸浮轉子受力如圖4所示，θy,θx分別為轉子繞y，x軸的轉角。

圖4 磁懸浮轉子受力Fig.4 Force of magnetic suspension rotor

由于積分參數對等效剛度和固有頻率的影響不大，若采用PD控制，并取各通道控制參數相同，只考慮穩態響應下的情況，依據轉子動力學相關理論[5]可得

(5)

q=(θy,x,θx,y)T,

KsS=BKsBT,

式中：q為轉子的位移矢量；P為比例系數矩陣；J，Jz分別為轉子的直徑轉動慣量、極轉動慣量；KsS為軸承負剛度矩陣；M，G，D分別為轉子的質量、陀螺、阻尼矩陣；B，C分別為電磁軸承輸入矩陣和傳感器輸出矩陣。

令Kc=BKiPC為PD控制下的剛度矩陣，Dc=BKiDC為PD控制下的阻尼矩陣，其中Ki為2套電磁軸承在2個方向上的電流剛度矩陣。并將該微分方程轉換為狀態空間描述，可得狀態空間矩陣為

(6)

令行列式det(λI-A)=0可求得狀態空間矩陣A的特征值λ，進而得到電磁軸承-剛性轉子系統的固有頻率，得到其坎貝爾圖如圖5所示：隨著轉速的增加，轉子特征頻率線開始出現分叉現象，正向渦動頻率隨轉速的增加而增加，反向渦動頻率隨轉速的增加而減小；轉子的平動、錐動頻率隨轉速的增加沒有發生明顯的分叉，說明轉子本身是細長的，陀螺效應對臨界轉速的影響不明顯。

圖5 轉子系統的坎貝爾圖Fig.5 Campbell diagram of rotor system

2.2 等效剛度與等效阻尼的有限元仿真驗證

參考電磁軸承的常見等效剛度范圍，在確保系統穩定的前提下，選取一系列方案的控制參數，見表2。

表2 電磁軸承控制參數Tab.2 Control parameters of AMB

在不考慮時滯的條件下，根據(7)式計算得到各方案下等效剛度和等效阻尼,見表3，阻尼比ζ可以通過(8)式計算，即

表3 電磁軸承等效剛度和等效阻尼Tab.3 Equivalent stiffness and damping of AMB

(7)

(8)

式中：m為轉子質量。

為與電磁軸承-剛性轉子數學模型保持一致，在Workbench中將轉子設置為剛體，2組徑向電磁軸承簡化為對地彈簧阻尼單元，連接到轉子疊壓硅鋼片位置,約束其徑向4個自由度并做模態分析，平動模態頻率計算結果見表4。

表4 剛性轉子平動模態頻率Tab.4 Parallel modal frequency of rigid rotor

由表4可知，剛性轉子的平動模態頻率有限元仿真與電磁軸承-剛性轉子數學模型計算的結果基本一致，此時電磁軸承支承下轉子振型為明顯的彈性支承-剛性轉子形式，如圖6所示。說明電磁軸承的等效剛度和等效阻尼能夠很好地反映其支承特性，觀察方案4，7，8的結果可知，隨著等效阻尼的增大,固有頻率降低但影響不大。

圖6 等效剛度50.00×106 N/m時平動模態振型圖Fig.6 Parallel mode shape with equivalent stiffness of50.00×106 N/m

2.3 電磁軸承支承柔性轉子動力學模型

由于需要采集諧響應分析中電磁軸承處的加速度信號以便觀察電磁軸承的支承位置，將電磁軸承定子簡化為薄壁圓筒，與轉子之間建立彈簧阻尼約束，同時認為電磁軸承基座部分不發生變形，約束電磁軸承外表面的位移，修改后的模型如圖7所示。

圖7 簡化電磁軸承支承轉子模型Fig.7 Simplified model of rotor supported by AMB

根據控制方案1,2,3,4,5,6進行約束模態分析，并與2.2節電磁軸承-剛性轉子模型得到的固有頻率進行比較，結果見表5。

表5 轉子系統平動模態頻率Tab.5 Parallel modal frequency of rotor system Hz

由表5可知，當等效剛度為0.15×106，0.30×106，0.50×106，1.00×106N/m時，兩者結果較為一致，而當等效剛度為10.00×106，50.00×106N/m時,固有頻率出現了明顯差異，此時等效剛度較大，轉子的一階平動模態出現了剛性支承-柔性轉子的特點，柔性轉子模型更能反映此時的轉子振動特性。

利用有限元理論建立柔性轉子的數學模型，將轉子分為56個單元，依據每一單元的尺寸與材料屬性，利用MATLAB計算得到每一單元的質量、剛度、陀螺矩陣，將所有單元矩陣組合得到系統質量、剛度、陀螺矩陣[6]，將電磁軸承剛度疊加到剛度矩陣的對應節點上，得到運動方程，即

(9)

y=Cu,

式中：Ω為轉子自轉角速度；B1為外部擾動力分布矩陣；f為外部擾動力；u為各節點在x與y方向組成的位移與轉動矢量。

對轉子模型進行模態截斷降階，在模態矩陣Φ中保留前4階模態并進行模態變換，令u=Φη，代入(9)式可得

(10)

y=CΦη,

式中：Φ為模態矩陣；η為模態坐標。

令Mre=ΦTMΦ，Kre=ΦTKΦ，Cre=CΦ,Gre=ΦT(D+ΩG)Φ可得

(11)

y=Creη。

金屬轉子取阻尼比ζ=0.3%，并忽略其陀螺效應，經質量量綱一化處理后可得轉子狀態空間運動方程為

(12)

(13)

轉子降階后為

(14)

Cr=[Cre0]。

2.4 電磁軸承-柔性轉子系統模態計算

通過計算電磁軸承-柔性轉子系統的固有頻率驗證理論模型的準確性，利用MATLAB中的eig函數求解系統矩陣得到系統固有頻率及振型，用Workbench模態分析得到轉子在電磁軸承支承下的前3階固有頻率及振型，繪制固有頻率隨等效剛度的變化如圖8所示。

圖8 固有頻率隨等效剛度的變化Fig.8 Variation of natural frequency with equivalent stiffness

由圖8可知，利用MATLAB與Workbench計算的固有頻率基本一致，驗證了理論與仿真模型的準確性。在不同的等效剛度區間，剛度變化對各階固有頻率的影響程度不同。

文獻[7]指出，簡支梁在彈性支承下的一階彈性模態可由其在自由狀態下的一階剛性模態與一階彎曲模態線性組合得到。電磁軸承等效剛度對轉子系統動態特性的影響分為3個階段：當等效剛度較低，為0.50×106N/m時，轉子相對更接近自由邊界，因而一階剛性模態貢獻更大，對應振型為如圖9所示的彈性支承-剛性轉子形式，等效剛度僅對前2階剛性固有頻率有明顯的影響，而對轉子一階彎曲固有頻率影響微小；當等效剛度為5.00×106N/m時，等效剛度對前3階固有頻率均有比較明顯的影響，彎曲模態對一階振型的影響逐漸增加，一階平動振型出現明顯彈性模態，且節點最先出現在轉子兩端部，如圖10所示；當等效剛度較高,為10.00×106N/m時，一階平動固有頻率變化不再明顯，對應振型的節點位置隨著等效剛度的增加向電磁軸承支承位置不斷移動，如圖11所示。由于控制穩定性以及結構尺寸限制的因素，實際電磁軸承的等效剛度在(0.10～10.00)×106N/m之間[8]，理論上可以通過調節控制參數，實現一階平動模態或轉子一階彎曲模態的固有頻率偏移，減小跨臨界引起的振動。對剛性、柔性轉子數學模型與有限元仿真計算得到的一階平動模態頻率進行對比，見表6。

圖9 等效剛度0.50×106 N/m時模態振型圖Fig.9 Mode shape with equivalent stiffness of0.50×106 N/m

圖10 等效剛度5.00×106 N/m時模態振型圖Fig.10 Mode shape with equivalent stiffness of5.00×106 N/m

圖11 等效剛度10.00×106 N/m時模態振型圖Fig.11 Mode shape with equivalent stiffness of10.00×106 N/m

表6 轉子系統平動模態頻率理論與仿真結果對比Tab.6 Comparison of theory and simulation results of parallel modal frequency of rotor system Hz

由表6可知：剛性轉子與柔性轉子數學模型在電磁軸承等效剛度較低時固有頻率相差不大，柔性轉子模型誤差主要來源于低等效剛度下阻尼對固有頻率的影響，此時建立電磁軸承-剛性轉子模型具有建模簡單，方便求解含阻尼固有頻率的優勢；而當等效剛度較高時，阻尼對固有頻率影響不再明顯，由于轉子在一階平動模態即出現了明顯的彈性模態，會導致剛性轉子模型求解不準確，應當利用柔性轉子數學模型進行分析。因此，對于數學模型的選取除了依據轉速外，也需要參考電磁軸承的等效剛度及轉子本身的彈性剛度。

3 電磁軸承支承振動傳遞特性分析

在旋轉機械運行過程中，轉子系統會在不平衡力的作用下產生振動，因此要通過諧響應分析得到系統在簡諧載荷下的穩態響應。為模擬飛輪1的不平衡量對轉子系統引入的不平衡激勵，在飛輪1(圖4)位置施加554.28 N的簡諧力，求解力傳遞率、基座加速度響應以研究電磁軸承在不同等效剛度和等效阻尼下的振動傳遞特性。

3.1 電磁軸承柔性轉子系統位移響應與力傳遞率

飛輪1存在的不平衡量將為轉子系統引入不平衡激振力，在MATLAB中定義外部擾動力分布矩陣B1與外部擾動力f，在飛輪1中心位置對應節點施加554.28 N的擾動力，等效剛度不同取值時電磁軸承處的轉子位移響應如圖12所示。

圖12 不同等效剛度下驅動端電磁軸承處的位移響應Fig.12 Displacement response of AMB at driving endunder different equivalent stiffnesses

由圖12可知，隨著等效剛度的增加，位移響應有下降的趨勢，而一階固有頻率(不同剛度下一階、二階固有頻率可以通過圖中不同剛度下各自的第1,2個峰值對應橫坐標頻率獲得)有逐漸增加的趨勢。當等效剛度從0.30×106N/m增大到1.00×106N/m時，主要改變的是前2階剛性模態固有頻率，而幾乎不影響一階彎曲固有頻率，當等效剛度從10.00×106N/m增大到50.00×106N/m時，一階固有頻率不再明顯增加，與利用有限元分析軟件得到的結果一致，即此時由于轉子在高剛度支承下一階平動模態即出現了彈性模態，固有頻率增加不明顯。

定義傳遞力為電磁軸承處位移響應乘以此時的等效剛度[9]，則力傳遞率為

(15)

式中：Ff(ω)為傳遞到磁軸承的力;f(ω)為外部擾動力。

等效剛度不同取值時電磁軸承處的力傳遞率如圖13所示。

由圖13可知：在轉速較低接近靜態懸浮時，每套電磁軸承處力傳遞率略小于零，這是由于外界擾動力分散作用在2套電磁軸承上；增加電磁軸承的等效剛度，一階共振頻率向高頻區移動，力傳遞率一階峰值先增大后趨于穩定，電磁軸承等效剛度降低會使振動峰值向低頻區移動，力傳遞率整體降低。

3.2 不同支承參數下基座的加速度響應

在轉子的飛輪1位置施加2個互相垂直的徑向不平衡激振力，幅值為554.28 N，相位相差90°，邊界條件與模態分析一致，取等效剛度為0.30×106，1.00×106，10.00×106，50.00×106N/m，設置求解頻率范圍為0～500 Hz，頻率間隔為2 Hz，采用完全法做諧響應分析，輸出驅動端電磁軸承基座處的加速度響應。

驅動端電磁軸承基座處的加速度響應如圖14所示，隨著等效剛度的降低，基座的加速度響應也有減小的趨勢，說明隨著等效剛度的降低，轉子不平衡振動傳遞到基座的振動也隨之減小，但由于等效剛度的降低，在低頻段內出現了一階共振峰值，因此等效剛度要根據旋轉設備的運行狀況進行選擇。

圖14 不同等效剛度下驅動端電磁軸承基座的加速度響應Fig.14 Acceleration response of AMB housing withdifferent equivalent stiffnesses (DE)

相比于傳統的機械軸承，電磁軸承的等效剛度和等效阻尼由控制參數決定，可以通過調整控制參數，即低轉速、高等效剛度或高轉速、低等效剛度的方式減小傳遞到基座的振動，針對頻率區間內出現振動峰值的問題，也可以通過調整局部等效剛度使共振峰值移動，并將其移出關心的頻率區間。

等效阻尼分別取100，500，1 000 N·s/m，采集驅動端電磁軸承基座處的加速度響應如圖15所示：隨著等效阻尼的增加出現了明顯的阻尼削峰效果，當c=1 000 N·s/m時，頻率段內響應峰值由3個減少到2個，響應峰值得到了有效控制；但在整個頻段內轉子振動傳遞到基座引起的加速度響應增大，這是由于峰值處的能量被分散到整個頻率段，使整個頻率段加速度幅值響應增大。

圖15 不同等效阻尼下驅動端電磁軸承基座的加速度響應Fig.15 Acceleration response of AMB housing withdifferent equivalent dampings (DE)

4 結論

針對變參數控制對電磁軸承等效剛度的影響，對轉子系統振動特性的影響進行分析，得出以下結論：

1)將傳感器、功率放大器等效為一階慣性環節，在PID控制下等效剛度主要受比例系數的影響，同時也受轉速與微分系數共同作用的影響，積分系數的影響可忽略不計。

2)等效剛度對前3階固有頻率的影響分3個階段。當等效剛度為0.10×106N/m時，調節的是剛性固有頻率，而轉子一階彎曲固有頻率幾乎不受影響，此時振型為明顯的柔性支承-剛性轉子形式；當等效剛度為1.00×106N/m時，轉子的一階平動模態振型表現為明顯的彈性模態，最先在轉子兩端出現節點，前3階固有頻率同時升高；當等效剛度更高時，節點隨著等效剛度的升高向電磁軸承支承位置移動，一階平動固有頻率變化不再明顯，僅錐動與一階彎曲固有頻率有明顯上升。

3)從力傳遞率及加速度響應的角度來看，降低等效剛度有利于減小傳遞到基座的振動，但共振峰值也會向低頻區移動，因此可采用低轉速、高剛度或高轉速、低剛度的方式，依據轉子轉速調節固有頻率以減小過臨界共振的影響。