基于擾動觀測器的反推控制在磁軸承中的應用

張林，張廣明

(南京工業大學 電氣工程與控制科學學院，南京 211816)

主動磁軸承通過電磁力支承轉子轉動，擁有噪聲低，使用壽命長，無需潤滑，能耗低，耐磨損等優點[1]，在航空航天、飛輪儲能系統、智能電網等領域有著廣闊的應用前景。

在實際使用過程中，轉子材料不均勻和加工誤差等產生的質量不平衡，使轉子在高轉速下產生與轉速同頻段的不平衡力和力矩，造成轉子振動并產生位移偏差，影響整個系統的穩定性?？蒲腥藛T提出了很多控制方法使轉子穩定懸浮：文獻[2-3]采用一種基于不平衡系數的多邊長實時迭代搜尋算法，由不平衡補償器產生補償力實現對不平衡力的抑制；文獻[4]提出了基于振動解耦的迭代搜尋方法，利用轉子振動時的質心位置分解其運動，精確彌補了所需要的對偶力；文獻[5]采用了一種改進的Hilbert變換方法，實現了僅通過一路徑向位移信號辨識出高精度轉速信號；文獻[6]針對傳統的迭代學習控制 (Iterative Learning Control，ILC)增益值固定的缺陷提出了基于迭代學習理論的變增益控制方法，實現了對轉子不平衡振動的補償；文獻[7]提出了基于不平衡常數迭代逼近的算法，將補償信號反饋到系統閉環回路上，對不平衡質量的大小和相位進行迭代修正，實現了不平衡量的辨識；文獻[8-10]采用不依靠轉速的在線識別不平衡量大小和位置的方法，主要利用不平衡質量大小和相位不變的特性，實現不平衡補償的控制，試驗結果表明該方法對不平衡控制的抑制效果顯著；文獻[11]指出相當多的研究均只考慮轉子在額定轉速下的擾動抑制，對轉子轉速變化過程的研究較少，但該過程又是必不可少的。

本文提出將反推控制器[12]和擾動觀測器[13]相結合形成一個復合控制器的控制策略，在轉子從零轉速上升到額定轉速再下降到零轉速的整個運行過程中，研究其對外部擾動信號的抑制作用。

1 磁軸承轉子系統數學建模

磁軸承轉子系統一般由徑向四自由度和軸向自由度組成，其中軸向自由度由電動機提供。為研究需要，只建立結構如圖1所示的徑向四自由度磁軸承轉子系統， 2套徑向主動磁軸承和2個位移傳感器分別位于轉子的兩邊。Oxyz為質心坐標系，O為質心位置，x，y分別為轉子前后、上下的徑向運動方向，z為轉子的軸線方向；OLxLyL，ORxRyR分別為左、右磁軸承的坐標系；OsLxsLysL，OsRxsRysR分別為左、右傳感器的坐標系;a，b分別為左、右磁軸承到轉子質心的距離,c，d分別為左、右傳感器到質心的距離,ω為轉子角速度，θx，θy分別為轉子繞x軸和y軸的轉角。

圖1 徑向四自由度磁軸承轉子系統結構

根據牛頓定律建立徑向四自由度磁軸承轉子系統動力學模型，即

(1)

(2)

(3)

(4)

(1)～(4)式可以簡化為以下矩陣等式，即

(5)

式中：m為轉子質量;FLx，FRx分別為左、右磁軸承在x方向的電磁力；FLy，FRy分別為左、右磁軸承在y方向的電磁力；x，y分別為廣義坐標中轉子質心x，y方向的位移；Jx，Jy，Jz分別為轉子在x，y方向的赤道轉動慣量以及極轉動慣量；Mεx，Mεy分別為轉子在x，y方向的不平衡力矩；Fex，Fey分別為作用在轉子x,y方向的不平衡力；e，ε分別為主軸偏心距和由力矩導致的傾角；t為時間；θ為質量不平衡引起的靜不平衡與動不平衡相角;M為質量與慣量矩陣；G為陀螺矩陣；F為轉子電磁力矩陣；TL為電磁力系數矩陣；d為轉子干擾力矩陣；qc為質子質心位移角度矩陣。

另一方面，線性化的軸承電磁力F為

F=Kii-KsqL，

(6)

則磁軸承轉子系統的數學模型可變換為

(7)

由圖1中的幾何關系可得

(8)

聯立(7),(8)式，將轉子系統在質心下的數學模型轉換為磁軸承坐標系下的數學模型，即

(9)

2 控制系統設計

2.1 反推控制系統設計

反推控制作為一種有效的控制設計方法，可以簡單理解為：首先，將整個系統劃分為多個子系統，子系統的個數要少于整個系統的階數；然后，利用反向遞推思想設計每個子系統的虛擬控制函數，并構造保證系統穩定性的李亞普諾夫函數；最后，推導出整個系統的控制信號。反推控制的最大優點是可以保證整個系統的穩定。令

(10)

代入(9)式，由于擾動信號在實際過程中無法準確測量，故控制器設計過程中去除磁軸承轉子系統數學模型中擾動信號d，則磁軸承轉子系統數學模型變形為

(11)

(12)

定義位置跟蹤誤差

e1=x1-x1d，

(13)

有

(14)

式中：x1d為轉子期望運動軌跡。

構造李亞普諾夫函數，即

(15)

求導得

(16)

定義速度跟蹤誤差

e2=x2-x2d，

(17)

則

(18)

將(17)，(18)式代入(16)式得

(19)

對(17)式求導可得

(20)

構造李亞普諾夫函數，即

(21)

(22)

令

(23)

將(23)式代入(22)式可得

(24)

式中：k1為位置誤差收斂系數；k2為速度誤差收斂系數。k1，k2均為正數，可保證系統穩定。

將(20)式代入(23) 式可得

(25)

由(25),(18),(17),(13)式可得

(26)

由(26)式可得

(27)

(28)

2.2 擾動觀測器的設計

標稱控制系統結構如圖2所示，r為參考輸入，K0(s)為標稱性能控制器，G0(s)為被控對象的標稱模型傳遞函數，控制器K0(s)的設計只考慮了控制系統輸出y對參考輸入r的跟蹤性能。

圖2 標稱控制系統結構Fig.2 Structure of nominal control system

基于擾動觀測器的控制結構如圖3所示，d(s)為外部干擾信號，Q(s)為低通濾波器，V(s)為控制參數，G(s)為被控對象的實際模型傳遞函數。

圖3 基于擾動觀測器的控制結構圖

圖3中系統輸出y可表示為

(29)

一般認為同頻擾動的頻率小于低通濾波器的截止頻率，在(29)式中由復頻域轉到頻域，則有濾波器Q(s)≈1，設定參數V(s)≈0，(29)式可近似為

(30)

由此看出，基于該擾動觀測器的控制結構能抑制外部干擾d(s)對系統輸出的影響。

3 系統仿真分析

表1 磁軸承轉子系統參數Tab.1 Parameters of rotor system of magnetic bearing

表2 復合控制器參數Tab.2 Parameters of compound controller

復合控制器應用在磁軸承轉子系統全轉速條件下的轉子轉速譜如圖4所示。

圖4 轉子轉速譜曲線Fig.4 Rotor speed curve

轉子在徑向四自由度上的位移響應曲線如圖5所示，藍色、紅色實線分別為在反推控制器和復合控制器下的結果。由圖5可知，隨著轉速的增大，位移響應曲線幅值隨之變大，在轉速到達額定轉速時，位移響應曲線幅值達到最大，然后隨轉速減小，位移響應曲線幅值逐漸下降至零。

圖5 轉子位移響應曲線Fig.5 Displacement response curve of rotor

控制器的電流輸出曲線如圖6所示，藍色、紅色實線分別為在反推控制器下和復合控制器下的結果。由圖6可知，在復合控制器作用下的轉子系統輸入電流約比反推控制器作用下的轉子系統輸入電流大1倍多，在大電流的控制下，抑制了轉子轉動過程中的位移振動幅值，提高了系統的抗干擾性。

圖6 控制器的電流輸出曲線Fig.6 Current output curve of controller

轉子額定轉速下位移響應幅值見表3，反推控制器對磁軸承控制系統的擾動有一定的抑制作用，但效果不好，當采用復合控制器時，擾動抑制效果有了明顯提升：xL，xR，yL，yR的位移幅值分別降低約85.8%， 83.4%，83.1%，85.7%。

表3 轉子額定轉速下位移響應幅值比較

4 結束語

轉子質量不平衡帶來的同頻干擾是磁軸承轉子系統中影響系統穩定運行的主要因素之一，在建立磁軸承轉子系統數學模型的基礎下，分別設計了反推控制器和擾動觀測器，并將反推控制算法與擾動觀測器相結合，形成一個復合控制器。與單獨使用反推控制器相比，復合控制器對轉子徑向四自由度的擾動降低約一個數量級，并且在轉子從零轉速上升到額定轉速再下降到零轉速的全過程中對擾動信號的抑制均有較好效果，提高了系統的抗干擾性和穩態精度。