主動磁懸浮軸承-儲能飛輪轉子系統振動主動控制

高峻澤，柳亦兵，周傳迪，張彬

(1.華北電力大學 先進飛輪儲能技術研究中心，北京 102206；2.貝肯新能源天津有限公司，天津 300300)

主動磁懸浮軸承(Active Magnetic Bearing，AMB)具有無機械接觸，零磨損失效，低待機功耗，長使用壽命，低維護成本和可主動控制等優勢，廣泛應用于飛輪儲能領域[1]。隨著飛輪儲能對電網調峰、調頻的逐步應用，飛輪轉子趨向于高速化以及寬轉速范圍的工作特點，導致飛輪轉子系統面臨多次過臨界轉速問題。由于飛輪轉子存在材料缺陷、加工精度、工作變形等因素造成的不平衡質量，在過臨界轉速時可能產生較大振動，對轉子運行可靠性產生不利影響，故需對飛輪轉子在高速旋轉狀態下的不平衡振動進行有效控制[2]。

通過AMB實現轉子系統不平衡振動控制主要分為兩類方法[3-4]：1)自動平衡方法(最小作用力補償控制)，其原理為在傳感器采集的位移信號進入控制器前，通過引入位移補償信號或濾波方法，消除與轉速同頻的不平衡振動信號分量，不對該分量產生控制力，使轉子繞其慣性主軸旋轉，自動平衡方法主要有自適應陷波器法[5-6]、自適應最小均方誤差(Least Mean Square，LMS)算法[7-9]和迭代搜索法[10]等；2)不平衡補償方法(最小位移補償控制)，其實質為通過一定控制算法使AMB產生一個與轉子自身不平衡力大小相等、方向相反的補償力，從而使轉子繞其幾何中心旋轉，不平衡補償方法主要有自適應自對中方法[11]、基于模型的補償方法[12]、基于觀測器的補償方法[13]、影響系數法[14]等。以往文獻中大多針對AMB剛性轉子的某一固定轉速或某一小范圍轉速段設計相應的控制算法，對寬轉速范圍內實現不平衡振動控制的研究較少。此外，文獻[15]首次表明在AMB-儲能飛輪轉子系統中，除殘余不平衡激振力產生與轉速同頻的簡諧振動外，還存在因系統固有頻率而產生的自由振動，該文獻采用變控制器參數的方法在一定程度上減弱了2種振動頻率接近時系統產生的“拍振”現象，但影響依然很大。

針對AMB-儲能飛輪轉子系統全轉速范圍內的振動問題，在自適應LMS算法的基礎上，提出了一種自適應變步長LMS算法，可同時解決由不平衡產生的同步轉速不平衡振動和由臨界轉速產生的“拍振”現象。首先，基于有限單元法建立了AMB-儲能飛輪轉子系統模型；然后，在已有步長因子的基礎上提出了一種新的步長因子迭代公式；最后，對提出的自適應變步長LMS算法的有效性進行了驗證。

1 AMB-儲能飛輪轉子系統動力學建模

AMB-儲能飛輪轉子系統的立式結構如圖1所示，飛輪轉子軸向由永磁軸承支承，徑向由上下2套主動磁懸浮軸承支承。

為便于分析，特作以下假設：轉子是軸對稱的，忽略軸向永磁軸承對徑向的干擾力，傳感器與AMB在軸向位置上重合。

根據轉子動力學理論，基于有限單元法得到AMB-儲能飛輪轉子系統的動力學方程為

(1)

式中：xk，yk(k=1,…,n)分別為飛輪轉子n個節點沿x，y方向的位移；αk，βk分別為飛輪轉子n個

1—上徑向主動磁懸浮軸承；2—軸向永磁軸承；3—飛輪轉子；4—真空外殼；5—下徑向主動磁懸浮軸承。

節點繞x，y軸旋轉的角位移；M，G，C，K分別為轉子的質量、陀螺、阻尼、剛度矩陣；Fmag為AMB對轉子施加的電磁力；n為轉子轉速；Fd為轉子受到的不平衡激振力。

控制系統采用分散PD控制，可得AMB線性化電磁力為[2]

fmag=kii+kss,

(2)

式中：ki，ks分別為AMB的力-電流剛度系數和力-位移剛度系數；i為AMB的控制電流；s為儲能飛輪轉子在AMB節點處的位移。

2 AMB-儲能飛輪轉子系統模態及臨界轉速分析

儲能飛輪轉子轉速為2 000～20 000 r/min，對圖1的AMB-儲能飛輪轉子系統進行模態分析，轉子系統的相關參數見表1。

表1 AMB-儲能飛輪轉子系統仿真參數

轉子系統臨界轉速(頻率特征值)是關于支承軸承剛度的函數[16]，可預測臨界轉速與轉子運行速度的接近程度，其變化曲線如圖2所示，僅包括轉子剪切變形和慣性效應的影響，不包括轉子陀螺效應。由圖2可知，當軸承支承剛度約為2×107N/m時，前3個模態均表現出明顯的斜坡特性，說明此剛度比較合理[17]。在軸承支承剛度為2×107N/m和阻尼為1×104N·s/m下，繪制了轉子坎貝爾圖(圖3)，在陀螺效應影響下，前2階模態分解為2個隨轉速變化趨勢完全不同的模態，其中隨轉速升高而增大的為正進動，隨轉速升高而減小的為反進動。與轉速同步振動頻率(1×)的交點即為轉子一階臨界轉速7 213 r/min(120.230 Hz)。飛輪轉子在3 000 r/min轉速下的前2階模態振型如圖4所示，x，y，z分別為飛輪轉子在x，y，z方向上量綱一的位移。其中,一階反進動頻率為120.217 Hz，正進動頻率為120.223 Hz;二階反進動頻率為328.988 Hz，正進動頻率為417.406 Hz。

圖2 轉子頻率特征值隨AMB剛度的變化Fig.2 Variation of rotor eigenvalues with stiffness of AMB

圖3 飛輪轉子坎貝爾圖Fig.3 Campbell diagram of flywheel rotor

圖4 3 000 r/min下飛輪轉子的振型圖Fig.4 Mode shapes of flywheel rotor under 3 000 r/min

3 基于變步長LMS的不平衡補償

3.1 基于標準LMS的自適應濾波器

基于標準LMS算法的自適應濾波器原理如圖5所示，其迭代公式為

圖5 LMS算法自適應濾波器原理Fig.5 Adaptive filter principle of LMS algorithm

(3)

式中：d(k)為輸入期望信號；k為采樣時刻；a1(k)，a2(k)分別為d(k)中正、余弦成分的幅值；ω為期望信號角頻率；Ts為采樣周期；y(k)為輸出跟隨信號；wL1(k)，wL2(k)為迭代權函數；ω0為算法的濾波角頻率；e(k)為誤差信號；μ為迭代步長因子。LMS算法的目標是當k趨于無限大時，wL1(k)，wL2(k)分別無限趨近于a1(k)，a2(k)，使y(k)無限趨近于d(k)，從而達到消除干擾信號的目的。

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利用Z變換可以得到從d(k)到e(k)的脈沖傳遞函數為

H(Z)=

(4)

由(4)式知，H(Z)的零點為Z0=e±jω0Ts,其中j為虛數單位，j2=-1。當d(k)為角頻率等于ω0的正弦信號時H(Z)=0，表明自適應LMS算法可以完全濾掉輸入信號中與ω0同頻的正弦信號分量。

3.2 變步長LMS算法

由于AMB-儲能飛輪轉子處于頻繁升降速的工況中，而固定步長的LMS算法在轉速頻率失配時不能取得良好的濾波效果[18]，需要考慮可實時濾波的變步長LMS算法。

文獻[19]針對文獻[20]中變步長LMS算法存在的問題提出一種改進算法，其步長因子為

(5)

(6)

式中:b為一個正參數，反映了μM受e(k)的影響程度，一般取1～10，b越大說明受影響程度越小。

圖6 不同LMS算法下的信號誤差比較Fig.6 Comparison of signal errors under differentLMS algorithms

3.3 基于自適應變步長LMS算法的不平衡補償

基于自適應變步長LMS算法的AMB-儲能飛輪轉子系統不平衡補償控制的結構框圖如圖7所示，其中u(t)為轉子參考信號，Fd(t)為不平衡產生的激振力，Y(t)為AMB節點處的振動響應。在位移傳感器采集的振動信號和參考信號加權后的信號進入分散PD控制器前，通過LMS算法對位移響應信號中與轉子轉速同頻的分量進行補償，使位移響應信號在進入控制器前就消除了轉子同頻振動位移干擾。

圖7 基于自適應變步長LMS算法的AMB-儲能飛輪轉子系統不平衡補償控制Fig.7 Unbalance compensation control of AMB-energy storage flywheel rotor system based onadaptive variable step LMS algorithm

4 仿真結果及分析

搭建Simulink模型將上述算法應用于飛輪儲能系統，分別在亞臨界區(臨界轉速7 213 r/min以下)和超臨界區(臨界轉速7 213 r/min以上)恒轉速工況以及恒加速工況下進行仿真分析。仿真時設定不平衡質量位于轉子中心平面，不平衡量取為1×10-3kg·m，初始位置角為0。

4.1 恒轉速工況下的不平衡補償控制

當AMB-儲能飛輪轉子系統分別在3 000，15 000 r/min的恒轉速下運行時，在0.3 s時引入基于自適應變步長LMS算法的不平衡補償控制。由于仿真模型中轉子為中心對稱結構，參數完全相同的上、下兩端AMB處的轉子振動位移響應相同，因此僅給出3 000，15 000 r/min恒轉速時上端軸承處的轉子振動位移時域仿真結果,如圖8所示，其中仿真參數μ0=0.000 000 2，b=10。

圖8 恒轉速工況下上端軸承處轉子振動位移Fig.8 Vibration displacement of rotor with upper bearingunder constant speed condition

由圖8可知，AMB-儲能飛輪轉子在0.3 s引入基于自適應變步長LMS算法的不平衡補償控制后，軸承處轉子的振動位移大幅降低，在3 000 r/min 恒轉速工況時最大振幅由原來的超過100 nm減小到不足6 nm，振幅減小了約94%；而在15 000 r/min恒轉速工況時最大振幅由原來的7 nm減小到不足1 nm，振幅減小了約86%。

4.2 恒加速工況下的不平衡補償控制

為進一步驗證本文提出的自適應變步長LMS算法在實際轉子運行工況中的控制效果，將儲能飛輪轉子在加速度a=40π rad/s2的恒加速工況下從0升速至20 000 r/min，仿真結果如圖9所示。

圖9 恒加速工況下加入補償前后上端軸承處轉子振動位移Fig.9 Vibration displacement of rotor with upper bearingbefore and after adding compensation underconstant acceleration condition

由圖9可知，在整個工作轉速范圍內，基于自適應變步長LMS算法的不平衡振動控制開啟后，轉子不平衡振動均有所減小。但在不平衡振動控制開啟前，轉子越過臨界轉速之后振動減小甚微，而在不平衡振動控制開啟后，轉子越過臨界轉速之后振動大幅減小，控制效果明顯。

5 結束語

針對AMB-儲能飛輪轉子系統中的不平衡振動問題，引入一種基于自適應變步長LMS算法，在反饋信號進入PD控制器前實時補償同頻分量，從而實現不平衡振動補償控制，保證磁懸浮飛輪轉子在整個轉速范圍內的穩定運行。結果表明，所提出的基于自適應變步長LMS算法的不平衡補償控制方法能夠有效地抑制磁懸浮儲能飛輪轉子的不平衡振動。