利用分析推理思路提升數學運算能力

吳錫梅

[摘? 要] 運算貫穿數學學習的始終，運算能力的高低直接影響著數學成績的高低，然因部分師生對運算能力的認識不足，影響了學生運算能力的培養. 運算能力是學生綜合素質的一種集中表現，對運算能力的追求不能僅停留于解決問題，還應關注方法和效率. 為提升運算能力，控制運算失誤，應對運算的目標性、可行性、合理性、適配性進行分析，進而優化解題策略，提升解題效率.

[關鍵詞] 運算能力;分析;解題效率

運算能力是學生必備的基本技能和基本數學素養. 隨著課程的不斷深入，運算的難度也在不斷加深，然對于運算能力的培養卻沒有引起足夠的重視. 部分師生認為，數學解題的關鍵是應用合適的解題方法和解題技巧尋找解題思路，只要思路對了，運算時細心一點就可以順利求解. 正因為對運算能力的錯誤認識，使得學生在高考中常因計算錯誤而屢屢失分. 運算貫穿數學學習的始終，運算錯誤也伴之左右，若足夠重視并有效控制運算失誤，不僅可以降低解題錯誤率，而且可以提升解題效率并帶給學生足夠的自信心和成就感.

對于運算失誤的有效控制應著眼于學生出現的錯誤，借助于錯誤所暴露出來的問題進行有針對性的訓練是有效控制運算失誤的最直接手段. 筆者結合學習案例及教學經驗，對高中數學常見的運算錯誤總結如下：

（1）概念、定理濫用. 在應用基本公式計算時，由于對公式的理解不清出現了公式濫用，有時因忽視適用條件而造成錯誤.

（2）信息提取能力差. 面對問題的條件較多、需要多角度分析題目時，常因找不到解題方向而造成錯誤.

（3）分析能力差. 學生解題時僅僅將信息簡單羅列，運用常規解法逐一運算，使得步驟多、計算量大，將運算復雜化，從而造成計算錯誤.

（4）運算機械化. 學生在解題時習慣生搬硬套、機械模仿，缺乏對問題本質的分析，轉化意識差，不僅造成計算量大，而且往往因考慮不周、機械套用而使解題思路中斷，從而引發錯誤.

學生出現以上運算錯誤雖然有一部分原因是粗心大意，然其主要原因是學生的基礎知識不扎實，學習缺乏主動性，過于依賴教師、依賴強化訓練，學生分析推理能力較弱，從而在計算時常有思路卻很難求解. 為了改變這一情況，在教學中要充分利用好例習題示范功能，讓學生理清算法，找準思路，進而有效控制運算失誤.

筆者以一道典型數學題為例，借助于此題的求解過程提升學生的分析能力，有效控制運算失誤.

案例 如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，橢圓+=1（a>b>0）的右焦點為F（1，0），離心率為. 分別過O，F的兩條弦AB，CD相交于點E（異于A，C兩點），且OE=EF.

（1）求橢圓的方程;

（2）設直線AC，BD的斜率分別為k，k，求k+k.

[?] 目標性分析

運算前學生要先弄懂“算什么”，根據已有經驗進行思考：若想得到該結論可以采用什么樣的方法？即思考“怎么算”. 學生要根據已知和結論先形成一個整體的解決方案，接下來將方案進行逐一分解，進而形成不同的“子目標”，通過對“子目標”進行分析而形成一個“邏輯鏈”，進而使運算更具邏輯性和可控性.

題目的第（1）問是“求橢圓的方程”，即求a，b的值. 根據已知“右焦點為F（1，0），離心率為”可得c=1，又e=，故a=，所以b2=a2-c2=1. 所以橢圓的方程為+y2=1.

第（1）問雖是基礎題，學生都能輕松求解，然分析其解題過程不難發現其是一個完整的“邏輯鏈”：從結論出發尋找a，b的求解方法，通過已知求出a值，又利用橢圓公式求出b值，最終得到答案.

[?] 可行性分析

考試時間有限，為了提升解題效率，在解題前應對解題策略有預判，切勿拿到題目就算、無法求解時再轉換思路，那樣不僅浪費了寶貴的解題時間，而且也會磨滅學生的意志，故在解題時學生要多考慮“能不能”，通過邏輯分析判斷解題操作的可行性.

比如：求解第（2）問時，橢圓的方程為+y2=1（已求解），那么求直線AC，BD的斜率可以利用坐標法進行，即利用已知求出直線AB和直線CD的方程，接下來聯立方程求出A，B，C，D四點的坐標，求出坐標后再根據兩點式求解直線方程，該思路是常規解題思路，通過該方法可以得到最終的答案;然其計算過程大，運算會占用大量的時間，而且運算時稍有疏忽就會直接影響全局，故該方法不是最優的解題方法，其可實施性較弱，因此解決此題應繼續尋找其他方法.

通過可行性分析可知，上面的解題方法需要較多時間，故學生可嘗試另辟蹊徑. 若沒有前期的分析，學生求解直線AB和直線CD的方程后才發現計算各點坐標需要復雜計算，那時若再改用其他方法就浪費了前期運算的時間，但若繼續求解卻依然需要很多時間，此時就會處于兩難的境地，不僅浪費了時間而且容易產生急躁的情緒，不利于求解成功. 因此，可行性分析在運算過程中至關重要.

[?] 合理性分析

數學解題思路和解題方法較多，其運算方法和途徑也有所不同，然如何運算才是最方便的，其是否符合運算習慣、是否有據可依，如何才能使運算趨于合理，是合理性分析需要解決的問題. 運算時必須著眼于細節，每一步都要細心考量，使每一步變形都要有理有據，進而使運算朝著預期目標發展. 部分學生因缺乏對運算合理性的分析，在運算時毫無目的，算到哪一步就是哪一步，在化簡運算時越化越繁，與運算結果越來越遠. 對運算合理性的分析是運算的重要環節之一，應引起足夠的重視.

比如：求解第（2）問時，設直線AB的方程為y=kx，直線CD的方程為y=-k（x-1）. 設A（x，kx），B（x，kx），C（x，k（1-x）），D（x，k（1-x）），則直線AC，BD的斜率之和k+k=+，計算時不能著急求解，而應先觀察. 通過合理性分析發現其不能化簡，而是需要通分，即k+k=. 因利用四點坐標求解計算量較大，故要借助于整體代入法進行求解，化簡時嘗試轉化為x+x和xx這樣與根和系數的關系相關的形式，為接下來的計算做好準備，于是簡化變形得k+k=·[2（xx-xx）-（x+x）+（x+x）].

為了確保運算的合理性，要對解題思路和解題方法進行監測和評價，要充分結合已有認知，重視解題通性通法的應用，以保障計算過程朝著預期的方向發展，進而提升運算效率.

[?] 適配性分析

運算效率及運算能力的提升需要數學經驗的積累，什么樣的問題采取什么樣的方案，這是對學生基本技能的考量，也是對學生邏輯分析能力的考查.

比如：該題求的是含參的直線斜率，解決此類問題時可以應用“設而不求”的解題方法，即設A（x，kx），B（x，kx），直線AB的方程為y=kx，其與橢圓+y2=1相交于A，B兩點，則有+y2=+k2x2==1，即（1+2k2）x2-2=0，即可求得x+x和xx的值，利用整體代入法求解以減少解題步驟、提升解題效率.

在日常教學中要重視解題方法的積累和數學思想的應用，如整體法、數形結合法等，運用合適的解題策略往往可以優化解題方案，可以有效避免復雜運算帶來的不確定因素，其對解題能力和運算效率都是一種提升.

高中數學運算是一個復雜的過程，是對學生綜合能力的考查，高考中80%的題目都需要運算，因此要學好數學、要在高考中取得好成績就不能忽視運算能力的培養. 對數學運算能力的考核不單是解決問題，更重要的是能高效解決問題. 眾所周知，高考數學計算量較大，若不重視效率將很難取得較好的成績. 因此，控制運算失誤更需要從效率的層次去思考，如本案例中整體代入法的應用，其有效規避了復雜運算的風險，提升了解題效率. 在運算中，要善于從宏觀的角度去觀察和推理，在日常訓練中注意多種算法的應用，從而從多種算法中總結和歸納出最優方案，進而將其內化為經驗，為日后的高效運算打下堅實的基礎.

總之，在運算中注重分析可有效控制運算失誤，可使運算更具目的性和方向性，其有利于解題效率的提升. 為此，在教學中對運算能力的提升不能僅停留于盲目的“題海”強化訓練，那樣不僅容易使學生產生消極情緒，而且容易因缺乏分析而出現“一錯再錯”的現象，從而影響學生學習的積極性，不利于學生解題效率的提升.