有色噪聲下的MUSIC抗干擾算法

祝兆文，郎榮玲

（北京航空航天大學 電子信息工程學院，北京 100191）

0 引言

全球衛星導航系統（global navigation satellite system, GNSS）憑借其全球性、全天候、高精度的導航定位能力，在軍事領域發揮著重要的作用。但衛星導航信號本身所固有的脆弱性，使其易受有意或無意的干擾，因此衛星導航抗干擾技術成為了取得軍事優勢的重要手段。基于自適應天線陣的空域抗干擾技術，以其自適應能力強、硬件易實現等優點成為衛星導航抗干擾領域的研究重點。

空域抗干擾技術主要包括功率倒置方法（power inversion, PI）、多重信號分類方法（multiple signal classification, MUSIC）、最小方差無畸變（minimum variance distortionless response,MVDR）波束形成算法等?；谠肼曌涌臻g的MUSIC算法，以能識別空間中多個信號、超分辨率特性、不需要先驗信息等優點，廣泛應用到信號波達角（direction of arrival, DOA）的估計中。由于算法中干擾信號子空間和噪聲子空間相互正交，且衛星導航信號淹沒于噪聲之下，這也為衛星導航抗干擾領域應用 MUSIC算法提供了理論基礎。MUSIC算法模型要求噪聲信號為零均值的高斯白噪聲并且各通道間的噪聲互不相關。在實際中，由于環境、濾波器的通帶范圍限制、各器件非理想的頻率響應等因素的影響，噪聲信號往往為有色噪聲，這會嚴重影響MUSIC抗干擾算法的性能。

為了消除有色噪聲對子空間分解帶來的負面影響，國內外學者已經提出了一些解決方法。由于MUSIC算法利用接收信號的二階統計特性，對于非高斯信號，二階矩不能完全描述其統計特性。利用這一性質，文獻[9-11]提出并分析了基于高階累積量的類MUSIC方法。此種方法一般利用四階累積量構成高階矩，取代原始MUSIC算法中的協方差矩陣。通過仿真分析，類MUSIC方法在抑制有色噪聲方面有著良好的性能，同時也能擴展陣列孔徑、校正陣列誤差。但類MUSIC算法有著龐大的計算量，且要求很大的快拍數和很高的信噪比，否則會導致噪聲特征值的分布范圍發散，目前在實際應用中其性能受限。由于有意的干擾信號往往會在時間維度上表現出周期平穩特性，而噪聲的統計特性一般是非時變的。因此對于周期平穩的干擾信號，文獻[12-13]提出了利用信號譜相關特性的循環MUSIC算法。此種方法利用循環相關矩陣替代原始MUSIC算法中的協方差矩陣，能夠有效分辨干擾信號與白噪聲、擴展陣列孔徑。由于有色噪聲與理想噪聲的區別，具體表現在其協方差矩陣的形式，因此，對角加載方法也是一種有效且實用的補償方法，其中加載量的選取是影響補償效果的關鍵。文獻[14]研究了對角加載方法對協方差矩陣估計誤差的影響，從仿真實驗的角度得出，對角加載技術使得協方差矩陣的特征值分布范圍變小、使波束旁瓣幅度變低。文獻[15]針對導向矢量幅相誤差問題研究了對角加載技術，其通過計算輸出信號的信干噪比，在理論上給出了最佳加載量的表達式。文獻[16]分析了對角加載對陣列信干噪比的影響，通過大量的模擬計算，給出了與信源數和波束旁瓣功率相關的加載量經驗公式。上述三篇文獻中的對角加載技術針對強信號的采樣矩陣求逆（sample matrix inversion, SMI）的波束形成方法，并不能直接適用于有用弱信號的衛星導航抗干擾應用場景和基于特征子空間的MUSIC方法，但它們為抗干擾技術中加載量大小的選取提供了切實可行的思路。

本文在衛星導航抗干擾的應用背景下，研究了有色噪聲下的MUSIC抗干擾算法。首先從理論和仿真實驗的角度，分析了有色噪聲對MUSIC抗干擾算法的影響。在此基礎上，使用對角加載方法改善有色噪聲條件下的MUSIC抗干擾性能，并分析了對角加載方法對MUSIC抗干擾算法的影響。最后給出了最優加載量的選取原則。

1 有色噪聲對MUSIC抗干擾算法的影響

1.1 理論分析

假設陣列天線由個陣元組成，空間中有（<）個遠場干擾信號入射至陣列。于是第（= 1 ,2,… ,）個陣元的接收信號()為

式中：為自然常數，j為虛數單位；Δφ為第（= 1 ,2,… ,）個干擾信號()到達第個陣元時的相位差；()為第個陣元接收到的噪聲信號。由于衛星導航信號功率很弱，淹沒于噪聲之下，因此這里噪聲序列()中包含了衛星導航信號()。

根據式（1），天線陣列接收信號可表示為

式中：陣列接收信號() = [(),() , … ,()]，干擾信號() = [() ,() , … ,()]，陣列接收噪聲信號() = [(),() , … ,()]，干擾信號到達陣列時，相位差構成的導向矢量矩陣為

MUSIC抗干擾算法中，假設噪聲()具有以下性質：

1）各通道噪聲服從均值為0、方差為的高斯分布；

2）各通道噪聲是白噪聲，即噪聲的功率譜密度恒定，其均值為常數且自相關矩陣在時間上不相關；

3）各通道噪聲之間互不相關。

根據性質1）和性質2）可得

根據性質3）可得

根據式（4）和式（5）可知，陣列接收到的噪聲信號的協方差矩陣為一個對角陣，即

式中，為單位矩陣。

計算陣列接收信號的協方差矩陣為

式中，=E[()()]為干擾信號的協方差矩陣。

對陣列接收信號的協方差矩陣進行特征分解，其特征值λ（= 1 ,2,…,）滿足

設協方差矩陣特征值對應的特征向量為e（= 1 ,2,… ,）。因此前個大特征值對應的特征向量構成干擾子空間 s pan{,,…,e}，后?個小特征值對應的特征向量構成噪聲子空間span{,,… ,}，且干擾子空間與噪聲子空間互為正交補。取噪聲子空間中任意向量e∈span{, e,… ,}，則有

由于矩陣P正定，因此有

式中，為零矩陣。

由式（10）可知：干擾信號的導向矢量與噪聲子空間相互正交。由正交補空間的唯一性可知：干擾信號的導向矢量構成干擾子空間，即

MUSIC抗干擾算法取最優權值為

對接收信號進行加權輸出為

由MUSIC抗干擾算法的原理可以看出，白噪聲保證干擾信號的導向矢量構成干擾子空間。因此MUSIC算法利用干擾子空間與噪聲子空間的正交性，取噪聲子空間內的向量作為波束形成的權值，從而達到消除干擾的功能。

在有色噪聲的情況下，噪聲信號的協方差矩陣不再滿足式（4）、式（5）兩式，噪聲協方差矩陣不再是對角陣，即

根據式（9）式，可得

由式（15）可知：有色噪聲使干擾信號導向矢量張成的子空間不再與噪聲子空間正交，更不再是干擾子空間。此時，MUSIC抗干擾算法失效。

1.2 實驗分析

前面從理論上分析了有色噪聲使MUSIC抗干擾算法失效的原因。下面通過仿真實驗，直觀地闡述有色噪聲對MUSIC抗干擾性能的影響。

實驗中采用四陣元均勻圓陣天線（即=4），其采樣頻率為= 6 2MHz 。由于衛星導航信號功率一般小于噪聲功率 20 dB，因此這里暫不考慮導航信號；設單個（即=1）單頻干擾信號的頻率為= 4 6.52MHz，其仰角和方位角為 45°和120°，并令干噪比為50 dB。在上述兩種噪聲條件下的陣列接收信號協方差矩陣的特征值分布如表1所示。

表1 不同噪聲條件下的特征值分布

MUSIC算法利用特征值的相對大小判斷干擾源的個數，大特征值被認為是屬于干擾子空間的特征值，小特征值被認為是屬于噪聲子空間的特征值。在白噪聲條件下，由于各通道噪聲互不相關且功率相等，屬于噪聲子空間的小特征值的大小近似相等，算法將整個信號空間劃分為干擾信號子空間和噪聲信號子空間。在 MUSIC抗干擾算法中，可取權值矢量∈。圖1、圖2分別為 MUSIC波束方向圖和抗干擾后的信號功率譜圖。

圖1 白噪聲下的抗干擾波束方向

圖2 白噪聲下抗干擾輸出信號功率譜

由圖1可知：在理想噪聲條件下，抗干擾波束在干擾來向方向上形成了較深的零陷，且在非干擾來向上保持了波束增益的基本恒定；由圖2可知：抗干擾后的信號功率譜在通帶內基本平坦，抗干擾前后的信號功率基本相等，干擾信號被抑制。

由圖3和圖4可知：抗干擾波束在干擾來向、仰角為 90°的方向上均形成了非常深的零陷；抗干擾算法輸出信號的幅度非常小。此時MUSIC抗干擾算法不僅抑制了干擾信號，也同時抑制了導航信號。

圖3 有色噪聲下的抗干擾波束方向

圖4 有色噪聲下抗干擾輸出信號功率譜

圖5 改變權值后，有色噪聲下的抗干擾波束方向

由圖5和圖6可知：MUSIC抗干擾算法的輸出信號中，干擾被濾除且輸出信號功率正常。雖然波束方向圖在某個非干擾來向上也形成了較淺的零陷，但方向圖在其他非干擾方向上保持了波束增益的基本恒定。

圖6 改變權值后，有色噪聲下的抗干擾輸出信號功率譜

在衛星導航抗干擾的實際應用中，一般未知空間中的信號分布。因此MUISC算法需要根據接收信號協方差矩陣的特征值大小來判斷干擾子空間與噪聲子空間的維數，以選取合適的權值矢量。

綜合以上實驗結果和分析，可以得出結論：有色噪聲并不改變干擾信號子空間以及干擾子空間與噪聲子空間之間的正交性，它只是改變了噪聲子空間的維數。

2 有色噪聲下改進的MUSIC抗干擾算法

式中：為加載量，且+≈。此時，新的陣列接收信號協方差矩陣的特征值為

從理論的角度來講，矩陣R+的特征向量仍為e，特征值變為λ+。從物理意義上來講，對角加載技術是在空間各個來向上增加了若干個互相獨立且功率很小的高斯白噪聲。由于加載噪聲的引入，合成后的等效噪聲接近高斯白噪聲、干擾信號導向矢量張成的子空間逼近干擾信號子空間，因而帶來壓縮噪聲特征值的范圍、改善波束方向圖等好處，且加載量越大，對抗干擾性能的改善越明顯。

抗干擾算法一方面是為了抑制干擾，同時也期望輸出信噪比盡可能大。設天線陣列接收信號為（表達式中省略了時間變量）

式中：、和分別為干擾信號、衛星導航信號和有色噪聲的矩陣；A和A分別為干擾信號、導航信號的方向矩陣。將有色噪聲分解為高斯白噪聲與非高斯白噪聲之和，即=+。

于是加載后的協方差矩陣為

這相當于在接收信號中加入了若干互相獨立的高斯白噪聲N，對角加載后的陣列接收信號為

根據柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式，有

從式（24）可以看出，對角加載技術一定會降低抗干擾系統的輸出信干噪比，并且加載量越大，輸出信干噪比越低。

綜上所述，對角加載技術的關鍵就在于加載量的選取，加載量的選取應考慮在空間分解的準確性與最大化輸出信干噪比之間取得平衡。

3 最優加載量的選取原則

定義加載噪聲比為

仿真實驗設置與第1.2節中相同，在有色噪聲的條件下，分別取上述范圍內的不同加載噪聲比，設步長為1 dB，得到對屬于噪聲子空間的小特征值分布的影響，如圖7所示。

圖7 屬于噪聲子空間的特征值的分布范圍隨dLNR的變化曲線

對角加載可以有效改善小特征值的分布范圍。由實驗結果可知：隨著的增大，噪聲子空間的特征值的大小越統一；在大于10 dB，即加載噪聲功率大于有色噪聲功率的10倍時，特征值的分布范圍約在1 dB以內；在大于15 dB，即加載噪聲功率大于有色噪聲功率的32倍時，特征值的分布范圍約在0.5 dB以內；在大于20 dB，即加載噪聲功率大于有色噪聲功率的100倍時，小特征值的分布范圍收斂至0。

定義屬于干擾子空間的最小特征值和屬于噪聲子空間的最小特征值之比為

表述了MUSIC抗干擾算法區分噪聲子空間與干擾信號子空間的能力。取不同的值，變化步長為 1 dB，計算屬于干擾子空間和噪聲子空間的最小特征值之比，如圖8所示。

圖8 η隨dLNR的變化曲線

隨著加載噪聲比的增大，接收信號協方差矩陣的最大最小特征值之比逐漸減小，MUSIC抗干擾算法對于噪聲子空間與干擾信號子空間的分辨能力逐漸減弱。由于實驗中設置干噪比為50 dB，因此在圖8中，當= 3 0dB 時，仍有約20 dB的區分能力。

最后，由于有色噪聲會抑制抗干擾輸出信號功率，所以考慮抗干擾輸出信號功率隨的變化圖像，如圖9所示。

圖9 輸出信號功率隨dLNR的變化曲線

對角加載對抗干擾輸出信號功率的改善作用明顯，隨著加載噪聲比的增大，輸出信號功率逐漸增大并收斂至抗干擾前的噪聲功率 ?3 0dB?W 。當大于 10 dB時，抗干擾輸出信號功率大于? 7 0dB?W ；當大于15 dB時，輸出信號功率大于?4 0dB?W ，此時抗干擾前后的噪聲損失功率小于10 dB；當大于20 dB時，輸出信號功率已經收斂。

設置2個實驗場景：

1）場景1。存在單個單頻干擾信號，其頻率為f=46.52 M Hz ，其仰角和方位角為45°和120°；

2）場景2。存在2個單頻干擾信號，2個干擾信號的頻率分別為f=44.52 M Hz和f=48.52 M Hz，其仰角和方位角為45°和120°、60°和200°，其他條件與1.2節中相同。

在有色噪聲條件下，分別在2個場景中取加載噪聲比為10、15 dB，畫出MUSIC抗干擾波束方向圖，如圖10、圖11所示。

圖10 場景1（單個干擾，不同dLNR時）的抗干擾波束方向

圖11 場景2（多個干擾，不同dLNR時）的抗干擾波束方向

從圖10或圖11來看，=15 dB時的抗干擾波束方向圖在非干擾來向上保持了波束增益的相對恒定，在仰角為 90°方向上沒有明顯的負增益，此時的抗干擾性能更優。對比圖10與圖11：從非干擾方向上的波束增益來看，在有色噪聲條件下，對角加載后的MUSIC抗干擾算法對多個干擾的抑制效果好于對單個干擾的抑制效果。

根據以上分析和實驗結果：加載噪聲功率遠遠大于噪聲功率，即加載噪聲比大于10 dB時，MUSIC抗干擾性能已有了較大的改善；當加載噪聲比大于15 dB時，MUSIC抗干擾波束方向圖進一步優化，抗干擾效果更好。另一方面，為了最大化輸出信噪比，應越小越好。因此可以選取加載量=10~15 dB，即可滿足大部分應用需求。

4 結束語

本文從理論和實驗的角度分析了有色噪聲對MUSIC抗干擾算法的影響，以及對角加載技術對MUSIC抗干擾算法的影響，最終給出了最佳加載量的數值。根據分析可以得出：

1）對于MUSIC算法，有色噪聲改變了噪聲子空間的分布，這體現在噪聲特征值的分布范圍擴大。它使得干擾信號導向矢量張成的子空間不再與噪聲子空間正交，從而影響抗干擾性能。

2）對于有色噪聲，對角加載技術是一種簡單且有效的改善方法。對角加載在統一噪聲子空間、改善抗干擾波束方向圖的同時，也降低了抗干擾輸出信號的信干噪比。

3）對于對角加載方法，當加載噪聲比為1~15 dB時，MUSIC抗干擾波束方向圖已有良好的形狀。因此在實際工程中，選取加載噪聲比=10~15 dB即可。