差分組合模型在BDS衛星鐘差預測中的應用

王建敏，李 特，呂 楠，馮 源

（遼寧工程技術大學 測繪與地理科學學院，遼寧 阜新 123000）

0 引言

全球衛星導航系統（global navigation satellite system, GNSS）是一種基于衛星星座的空基無線電導航定位系統，其建立和應用是世界大國的高精技術競爭的重點之一。為建設世界一流的衛星導航系統，更好地為全球用戶提供可靠有效的基礎服務，我國于1994年開始自主研發北斗衛星導航系統（BeiDou navigation satellite system, BDS），截止到2020年6月23日，北斗三號全球衛星導航系統即北斗三號（BeiDou-3 navigation satellite system, BDS-3）最后一顆全球組網衛星在西昌衛星發射中心點火升空，至此北斗三號基本全部建成。作為一種基于時間測量的系統，BDS導航定位等服務精度和實時性均受到時間精度的影響，而衛星鐘差獲取的滯后性，對BDS的應用造成了較大影響，因此，利用衛星鐘差數據建模并進行預報，具有非常重要的意義和價值。

目前，國內外學者提出了多種鐘差預測方法和模型，如二次多項式模型、灰色模型、自回歸滑動平均模型、神經網絡模型及卡爾曼濾波模型等。文獻[7]采用求和自回歸滑動平均（autoregressive integrated move average, ARIMA）模型對衛星鐘差建模預報，同時，利用動態精密單點定位分析確定最優建模時長和最優預報時長，得到ARIMA模型在 GNSS鐘差短期預報中，精度可達 2.5 ns以下的結論。文獻[8]將遺忘因子最小二乘法和系數優化因子引入灰色模型（gray model, GM）中，構成PGM（1,1）模型，有效提高了模型在鐘差預測中的自適應能力。文獻[9]將限制幅度值和預測懲罰機制加入反向傳播（back propagation, BP）神經網絡模型，提高了氫原子鐘的鐘差預測精度。文獻[10]采用指數平滑法對精密鐘差進行預報，實現了少數據建模高精度預報的目的。

然而，以上鐘差研究多數以全球定位系統（global positioning system, GPS）數據為實驗基礎，對BDS衛星鐘差預測的研究相對較少；此外，現有的研究在進行GPS衛星鐘差預報時，時長大多為中長期并且模型易受數據自身特性影響，如ARIMA模型要求序列為穩定序列，對鐘差數據質量要求過高；灰色模型僅適用于預測少量數據，使得誤差積累嚴重。

為解決上述問題，更好地為導航定位授時等服務提供數據支持，本文結合BDS衛星鐘特點，在進行數據預處理的基礎上，對灰色模型、廣義回歸神經網絡模型和組合模型短期預報情況進行對比分析實驗，探討BDS衛星鐘差預測方法，并對其預測精度進行比較分析。

1 單一預測模型

1.1 徑向基神經網絡模型

徑向基函數（radial basis function, RBF）是在解決多維空間插值時被提出的標量函數。1988年，文獻[11-12]在生物神經元局部響應原理基礎上，將RBF與神經網絡結合，由此形成了RBF神經網絡。RBF神經網絡通過映射關系，將輸入數據轉至隱含層空間，在由基函數所構成的空間中，對輸入數據進行非線性變換，然后將隱含層神經單元進行加權組合，最后結果由輸出層輸出。

在RBF神經網絡中，需要訓練的參數有隱含層中基函數的標準差，隱含層中基函數的中心和隱含層與輸出層的權值。同時，為保證網絡訓練的穩定性，RBF核函數一般選取高斯函數，具體形式為

式中：(?c)為高斯函數輸出，為網絡隱含層節點數；x為輸入向量；c為激活函數中心向量；為方差；e為自然常數。

基于RBF神經網絡的鐘差預測方法，具體流程如下：

1）計算隱含層中基函數中心。對輸入鐘差序列進行分類，計算個隨機鐘差樣本與其他樣本的歐式距離，將距離相近的樣本組成集合，計算各個集合的平均值，當平均值與預計中心樣本值相同時，則該樣本被認為是基函數的中心，若不相同，需重新分類并重復上述計算，直至二者相同。

2）計算隱含層中基函數的標準差。為防止RBF出現太尖或太平的情況，計算標準差的公式為

式中，是所選中心最大距離。

3）采用最小二乘法計算隱含層與輸出層間的連接權值，即

式中：w為隱含層與輸出層之間的權值；為中心向量的最大值。

4）計算RBF神經網絡的輸出鐘差，即

1.2 廣義回歸神經網絡模型

廣義回歸神經網絡（general regression neural network, GRNN）是建立在非參數回歸的基礎上，以最大概率為原則計算網絡輸出的神經網絡。與RBF神經網絡相比，GRNN的結構更為復雜，由四層組成，分別為輸入層、隱含層、加和層和輸出層。其隱含層為RBF層，神經元個數與訓練的良性樣本個數一致，基函數采用高斯函數，表達式見式（1）。基于GRNN模型預測鐘差，具體流程如下：

1）輸入個鐘差數據的學習樣本x，將其傳遞給隱含層。

2）隱含層神經元個數與鐘差學習樣本數據個數一致。神經元的輸出量用輸入與對應樣本的歐式距離的平方指數形式表示，即

式中：()為隱含層輸出；為對應樣本；X為第個神經元的輸入鐘差；為平滑因子。

3）隱含層輸出鐘差流入加和層，兩類神經元進行代數求和與加權求和，其表達式為

式中：S為代數和輸出；S為加權和輸出；y為神經元間權值。

4）利用加和層數據計算鐘差輸出值，即

2 組合預測模型

由于單一預測模型預測誤差較大且預測數據發散，故將多個單一模型進行線性組合，為消除單一預測模型殘差序列中數值小且絕對值大對組合過程中所造成的影響，組合模型的指標為最小絕對值殘差。組合模型的表達式為

式中：()為組合模型預測序列；()為構成組合模型的單一模型的預測序列；,,…,k為單一模型權重；是單一模型的個數。

在鐘差預測中，將預處理后的鐘差序列{x}進行一次差分得到差分序列{}，分別采用 RBF神經網絡模型和 GRNN模型對鐘差差分數據建模預報，然后對單一模型預測數據作差分重構，最后通過基于最小殘差絕對值法對鐘差預測結果進行組合，其表達式為

式中：()為組合模型預測鐘差值；()為RBF神經網絡模型預測鐘差值；()為GRNN模型預測鐘差值；、為系數。當RBF神經網絡模型殘差絕對值大于 GRNN模型時，取值為 0，取值為 1；當 RBF神經網絡模型殘差絕對值小于GRNN模型時，取值為1，取值為0；當兩個模型殘差絕對值相同時，、為任意實數且∈ [ 0,1]，∈ [ 0,1]，+= 1。圖1為組合模型的預報流程圖。

圖1 組合模型預報流程

3 實驗結果與分析

3.1 實驗數據

為驗證組合模型在鐘差短期預測中的可行性，采用 2019-09-13 T 05:00:00—2019-09-14 T 05:00:00共24 h的BDS精密衛星鐘差作為實驗數據，其中前12 h作為建模數據，后12 h作為驗證數據。限于文章篇幅，本文僅對C26、C28、C29、C30衛星預測結果進行詳細闡述。

3.2 實驗方案

1）分別采用GRNN模型、GM（1,1）模型和組合模型預測時長為6 h的鐘差數據。

2）分別采用GRNN模型、GM（1,1）模型和組合模型預測時長為12 h的鐘差數據。

3.3 數據預處理

由于衛星鐘差的原始數據不同于常規時間序列數據，其隸屬于相位數據，粗差往往隱藏于鐘差序列中，粗差的存在將降低衛星鐘預測的精度，因此本文采用中位數法進行粗差探測，具體公式為

式中：為歷元個數；為相位數據；y為頻率數據；Δ為采樣間隔；median為中位數運算符；為頻率數據序列的中位數；為正整數；為頻率序列偏差絕對值的中位數。

由式（12）可知，當頻率數據的絕對值小時，該數據為正常數據；當頻率數據的絕對值大時，該數據被定義為粗差。故建模前需對粗差頻率數據進行剔除，同時為保證數據完整性，采用分段線性插值法補齊頻率數據，本文以C26和C28為例，結果如圖2、圖3所示。

圖2 C26頻率數據

圖3 C28頻率數據

從圖2、圖3可以得出，中位數法可以將粗差從正常數據中分離，能夠達到粗差探測的目的。在粗差探測有效的基礎上，確定原始鐘差序列中粗差的歷元位置，并利用分段線性插值補齊數據，從而保證鐘差序列的完整性。

3.4 實驗結果與精度評定

采用方案1與方案2對12 h采樣率5 min的鐘差數據建模，預測接下來6 h、12 h的鐘差。本文采用殘差絕對值（residual absolute value, RAV）和均方根誤差（root mean square, RMS）作為評定模型的精度指標，其計算公式為

式中：x為鐘差真實數據；?為鐘差預測數據；為歷元個數。實驗結果如圖4至圖11，表1、表2所示。

圖4 C26殘差絕對值

圖5 C26均方根值

通過圖4至圖11、表1及表2可知：

表1 BDS精密衛星鐘差殘差絕對值預報結果

表2 BDS精密衛星鐘差均方根值預報結果

圖11 C30均方根值

1）GRNN模型、GM（1,1）模型和組合模型均可應用于BDS精密衛星鐘差短期預測，組合模型預測精度優于GM（1,1）模型和GRNN模型。其中 C29的單一模型預報精度較差，但組合模型精度仍達到亞納秒級，具有較好的穩健性。除C29以外，兩種模型預報精度都達到了亞納秒級。隨著預測時長的增加，預測誤差均隨之增加，但組合模型采用最小絕對值殘差的方式，有效降低了誤差增量，使得組合模型的誤差增量遠小于單一模型，且預測數據平滑，穩定性強。

圖6 C28殘差絕對值

圖7 C28均方根值

圖8 C29殘差絕對值

圖9 C29均方根值

圖10 C30殘差絕對值

2）歷元個數與預報精度呈現正相關，隨著歷元個數增大，預報誤差也逐漸增大。GM（1，1）模型受歷元個數的影響最大，誤差波動明顯，GRNN模型受歷元個數影響次之，而組合模型穩定最優，歷元個數增大后，誤差無明顯變化。對比單一模型，在殘差絕對值的精度指標下，在預報時長為 6 h時，組合模型的平均預測精度的分別提高了 22.39%和 92.56%；當預報時長為 12 h時，組合模型的平均預測精度的分別提高了91.37%和87.80%。在均方根值的精度指標下，當預報時長為6 h時，組合模型的預測精度的分別提高了37.75%和52.27%；當預報時長為12 h時，組合模型的平均預測精度的分別提高了 90.19%和67.11%。

3）在衛星鐘差6 h和12 h的預報中，GM（1,1）模型的預測精度最差，平均預報精度在 1.5 ns以上，且數據具有較大的波動性，在4 h左右誤差達到最大，模型穩定性差。在 GRNN模型與組合模型的預測結果中，殘差絕對值和均方根誤差均隨著歷元個數的增加而增加，且誤差增加幅度遠小于 GM（1,1）模型，除 C29衛星外，預測時長在0~5 h時，組合模型受 GRNN模型影響較大，故GRNN模型與組合模型預測誤差相差不大，但在5 h之后，組合模型受RBF模型影響較大，故組合模型誤差增加幅度小于 GRNN模型，且組合模型的模型穩定性好，預報精度明顯優于單一模型，在預報時長為6 h時，誤差在0.5 ns以內，當預報時長為12 h時，誤差在0.6 ns以內。

4 結束語

為解決鐘差預測單一模型預報精度低、適應性差等問題，本文提出基于最小殘差絕對值的差分組合預測模型，該組合模型將RBF神經網絡和廣義回歸神經網絡有效結合，提高了模型的適應性。同時，在鐘差建模之前，通過對數據進行數據預處理，剔除粗差數據并用分段線性插值法對數據進行補齊，以保證數據的完整性。最后，模型采用差分鐘差數據作為建模數據，提高了數據的穩定性。實驗結果表明，相比灰色模型和廣義回歸神經網絡模型，差分組合模型在鐘差預測中具有較大的優越性和適應性，且模型預測精準度更高。