均值漂移模型實現GPS/BDS導航完好性監測

虢 盛，徐進立，張紹成，茍鴻飛

（中國地質大學（武漢） 地理與信息工程學院，武漢 430078）

0 引言

全球定位系統（global positioning system, GPS）及北斗衛星導航系統（BeiDou navigation satellite system，BDS）進行組合導航定位時，不僅能通過增加衛星數量來提高導航定位精度，還能通過不同系統觀測數據相互校驗來保證用戶導航定位的可靠性。

20世紀60年代，荷蘭巴爾達（Baarda）教授提出了可靠性研究的基礎理論，并在假設單一粗差和驗前單位權中誤差已知的情況下，推導得出了著名的“數據探測法”[1]，文獻[2]將 Baarda 的數據探測理論應用于GPS基線解算中，提出了基于三種 GPS基線解算模型下的內部可靠性檢驗方法。文獻[3]提出將粗差視為函數模型一部分的重要思想，進一步完善了可靠性研究理論。文獻[4]探究了觀測值相關條件下的內部可靠性原理，提出一種新的可靠性指標，解決了觀測多余度值域超過[0,1]區間后的可靠性度量問題。

在GNSS接收機自主完好性評估方面，文獻[5]研究了 GPS單系統及多系統組合增強型接接收機自主完好性監測（advanced receiver autonomous integrity monitoring, ARAIM）可用性性能。文獻[6]則利用GPS/BDS兼容接收機雙頻實測數據及BDS布滿星座假設下的仿真數據，通過改進不同衛星頻點特征向量選擇方法，提高了基于奇偶矢量法的接收機自主完好性性能，文獻[7]將GPS/BDS衛星按星座分為兩組，驗證了最優加權平均解（optimal weighted average solution，OWAS）算法對30 m以上誤差的雙星多故障檢測的可行性。

本文基于GNSS接收機中GPS和BDS觀測數據的相互校驗原理，來實現單一粗差探測。首先研究基于偽距殘差的內部可靠性模型及經典接收機自主完好性監測（receiver autonomous integrity monitoring, RAIM）在 GPS/BDS雙模導航定位中的基本理論；然后根據GPS/BDS偽距觀測殘差方差特性，基于均值漂移模型提出一種系統間均值校驗的接收機自主完好性粗差探測方法；最后通過實測數據的異常模擬，與經典 RAIM 法進行對比，來驗證了本文算法的可行性和優越性。

1 內部可靠性數學模型

1.1 內部可靠性模型

可靠性檢驗理論作為用戶導航定位完好性監測的重要研究內容，主要分為外部可靠性和內部可靠性兩方面。外部可靠性主要研究未剔除粗差對結果影響的大小，即抵抗粗差的能力[8]。內部可靠性是指在平差過程中發現并剔除粗差的能力[9]。

本文重點討論單一粗差假設下的GPS/BDS偽距殘差內部可靠性檢驗方法。當偽距觀測值中不存在粗差時，H0假設為

當偽距觀測值中存在粗差時，H1假設為

基于上述假設，構建內部可靠性檢驗模型尋找可能出現的衛星導航定位服務異常事件。

當服從H0假設時，線性化誤差模型為

式中：l為n ×1維觀測值向量；v為n×1維改正數向量；B為n×m維觀測值矩陣；x︿為m×1維待估向量。觀測值權陣P為n×n階矩陣。

根據最小二乘準則vTPv=min可知

參數估值為

對應改正數為

改正數的協因數陣為

根據可靠性理論可得

通常將矩陣R對角線上的值作為可靠性量度（ri=Rii），其數值越小，表明對應的觀測值可靠性越差；反之可靠性越好。當觀測值之間相互獨立時，可靠性量度ri?[0,1]；而當觀測值相關時，可靠性量度ri取值可能大于1。在觀測值相互獨立時，ri=1表明對應觀測值為必要觀測；ri=0則表明對應觀測為多余觀測[10]。

若觀測值向量無粗差，則?x的估計值是無偏的，用間接平差求解即可；若觀測值向量中包含粗差，那么上述的估計值是有偏的，即拒絕H0假設，接受H1假設，線性化誤差模型為

式中：H為n ×k維粗差向量；s︿為k×1維未知粗差[11]。

根據均值漂移函數模型，可得對應法方程為

因此可知未知粗差的估值為

1.2 經典粗差探測法

經典 RAIM 算法主要有快照式算法、偽距殘差比較法和奇偶矢量法，且已有學者證明了三者的等價性[12]。這里介紹的經典粗差探測法是在偽距殘差比較法基礎上，將 GPS/BDS觀測值按 2.1節總結的基于最小二乘的間接平差法處理，從而構建卡方分布檢驗統計量探測完成粗差探測的過程。統計量F定義

式中：n為GPS和BDS衛星數之和；v為衛星觀測值殘差；P為相應的權陣。

觀測方程含測站三維坐標及對應GPS/BDS不同系統接收機鐘差 5個待估參數。若偽距觀測值無粗差，則理論上殘差向量滿足零均值的正態分布，進而F滿足自由度為n-5的卡方分布。

根據用戶需求定義完好性誤警概率PFA即可確定對應的檢驗限值F，具體公式[13]為

式中：fχ(n?5)(x)為卡方分布的概率密度函數；為GPS與BDS偽距觀測方差。

1.3 基于均值漂移的粗差探測法

經典粗差探測法是將粗差視為隨機模型一部分，有粗差的觀測值相比其他觀測值具有相同的期望、較大的方差，因而通常稱為“方差擴大模型”[14]；此外，還可將粗差視為函數模型的一部分，含粗差的觀測值相比其他觀測值具有不同的期望，在方差相同、期望的不同條件下，觀測量會呈現非中心化分布，因此也稱為“均值漂移模型”[15]。

無粗差時，GPS/BDS偽距改正數vFull滿足零均值的正態分布，即

但在單個歷元有限可視衛星條件下，偽距殘差均值μ通常不絕對等于零，其統計結果可表達為

式中：μ1、μ2分別為 GPS和 BDS偽距殘差期望，對應殘差方差分別為和。

以武漢地區的國際 GNSS服務（International GNSS Service, IGS）九峰站（JFNG）2020年12月1日24小時GPS/BDS觀測數據為例，GPS和BDS L1和B2頻點殘差序列統計值如圖1所示。

圖1 JFNG 2020年11月30日GPS/BDS的殘差分布

由圖1可見，無粗差條件下GPS/BDS偽距殘差趨近于零均值；但GPS殘差方差σ12=2.41 m2而BDS方差σ22=4.44 m2，存在一定差異。

按均值漂移模型對GPS/BDS偽距觀測值分別平差，并構建一個新的內部可靠性檢驗統計量，即偏離量K。K定義為BDS和GPS獨立偽距殘差分布期望值之差，計算方法為

進一步構建T統計量，檢驗偏移量K值差異，并按式（15）計算對應檢驗門限值。通過比較檢驗統計量T與檢驗門限值大小即可完成故障檢測。

假定兩獨立樣本方差未知且不等情況下，采用薩特思韋特（Satterthwaite）近似法構造T統計量[16]為

對應自由度N表達為

式中，ni（i=1,2）為GPS/BDS衛星數量。

采用均值漂移定律解算含粗差偽距值，雖然能大幅度減弱殘差樣本方差的放大，但在 GPS/BDS可視衛星20余顆的條件下，殘余方差失真效應不可忽略。本文基于GPS/BDS偽距殘差先驗信息取代 GPS/BDS偽距殘差方差，根據圖1統計結果，設定GPS和BDS先驗方差分別為2.5 m和4.5 m。

本文改進內部可靠性檢驗方法概括如下：

1）建立假設檢驗：H0認為該歷元存在粗差；H1認為該歷元不存在粗差。并假設第i顆衛星存在粗差，此時式(9)中粗差向量H(i)=1,其余元素均為0。

2）根據式（9）至式（13）計算對應的粗差估值s︿、偽距殘差v，并按 GPS/BDS方差先驗信息，重構GPS/BDS觀測值方差。最后根據式（21）至（22）式計算檢驗統計量T。

3）循環n次（n表示 GPS/BDS衛星數量之和），并選擇最大值Tmax與按式(15)計算的檢驗門限值比較，Tmax較大則認為該歷元存在粗差，并求得對應的偽距殘差v 和粗差估值s︿ 。本文式(15)中誤警概率PFA≤0.01。

1.4 最不可探測衛星

在內部可靠性檢驗中，最小可探測誤差（minimal detectable bias ,MDB）是一個很重要的指標，其表示在一定的檢驗功效以及一定的顯著水平下，可發現粗差的下界。

若只有一個粗差的單個備選假設下，其最小可探測誤差為

式中：Mi為第i顆衛星對應的MDB值；λ0為非中心化參數；σ0為驗前單位權中誤差；P為權；Qvv為改正數的協因數陣。根據式（8）可靠性矩陣R，可將式（22）改寫為

從式（23）中可以看出，當非中心化參數、驗前單位權中誤差以及對應觀測值的權一定時，M和可靠性量度值成反比。當可靠性度量參數ir越大時，觀測值可靠性越高，所對應的M值越小，進而認為MDB值最大的衛星為最不可探測衛星。

2 算例分析

選取2020年12月1日JFNG站的GPS和BDS雙模觀測數據，設定衛星截止高度角 10°，L1/C2信噪比大于30 dB，并摒棄軌道誤差較大的BDS 地球靜止軌道（geostationary Earth orbit,GEO）衛星后，畫出當天可見衛星數和位置精度衰減因子（position dilution of precision, PDOP）值如圖2所示，該觀測時段內可見GPS/BDS衛星數分別在 6~13顆和 12~19顆之間，對應 PDOP值在 1~2之間， GPS/BDS可視衛星具有較好的空間幾何分布。

圖2 JFNG站點可見衛星數/PDOP值

基于改進粗差探測方法計算無粗差情況下檢驗效果如圖3所示，當GPS/BDS偽距觀測值中未包含粗差時，T統計量整體小于檢驗門限。表明當觀測值中無粗差時，BDS和GPS系統殘差期望無明顯差異。

圖3 無粗差下T統計量

當對 BDS最不可探測衛星 C2頻點上分別添加10、20、30 m粗差后，其檢驗效果如圖4所示。

圖4 本文RAIM法添加10，20和30 m粗差后T統計量示意圖

統計分析結果表明，當人為在最不可探測衛星上添加大小為10 m的粗差后，共有1 381個歷元的檢驗量T大于其對應歷元下門限值；添加粗差量增至20 m后，觀測時間段內有2 794個歷元的T值大于門限值，表明有95.5%的概率可以探測并剔除大小為20 m的粗差；添加粗差量再次增加至30 m，共有2 863個歷元無法通過檢驗，對應粗差探測成功百分比為99.4%。

如圖5所示，對比經典 RAIM探測效率圖并將改進方法與經典 RAIM 方法探測成功百分比差異統計如表1。經典探測法對20 m以下的微小粗差較不敏感，人為添加10、20 m粗差的探測成功百分比僅為 0和 3.2%。而本文的改進方法對 10、20 m粗差探測成功率分別提高了 15.5%、36.7%，表明該方法較經典 RAIM 法而言，能夠有效剔除量級為20 m的粗差。

圖5 經典RAIM法添加10，20和30 m粗差后F統計量示意圖

表1 經典RAIM算法不同粗差探測率統計表

3 結束語

本文通過分析 GPS/BDS偽距殘差期望和方差特性，提出了一種基于GPS/BDS偽距殘差均值差異的內部可靠性檢驗方法。利用偽距觀測值中存在粗差時，GPS/BDS獨立偽距殘差分布之間存在非中心化這一特點，構造統計量T，在漏檢率PFA＜1%條件下確定對應檢驗門限值，判斷系統是否存在硬件級粗差。模擬粗差探測實驗是在GPS/BDS實測數據上人為添加粗差，驗證了本文所提出的可靠性檢驗方法能夠準確、高效地實現粗差探測。GPS/BDS雙系統不僅能夠提高定位精度，而且還可以進一步保障導航數據的完好性。