中考數(shù)學應用題的類型與解題策略探尋

余杰

[摘 要]應用題是中考數(shù)學的必考題型，文章對中考數(shù)學的應用題進行分類探析，尋求其解題策略，以提高學生的閱讀理解能力、分析問題與解決問題的能力。

[關鍵詞]應用題;中考數(shù)學;策略

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）08-0007-03

應用題是中考數(shù)學的必考題型，主要考查考生的閱讀理解能力、分析問題與解決問題的能力。解答應用題必須先讀懂題意，再建模，進而解決問題。應用題有哪些基本類型呢？我們應該采取何種解題策略呢？

一、方程（組）與不等式（組）模型

方程（組）和不等式（組）是初中數(shù)學的核心內(nèi)容，其不僅是中考核心考點，而且也是解決代數(shù)、幾何及實際問題的重要工具。在中考中，這類問題主要涉及工程問題、行程問題、打折促銷問題、增長率問題等。

[例1]振華中學初一（3）班去某一農(nóng)業(yè)生態(tài)園參加社會實踐活動，該生態(tài)園有塊空地種植蘋果和橘子兩種水果，活動結束后，吳斌編寫了一道數(shù)學題：在某一生態(tài)園中，經(jīng)營者是甲、乙兩戶果農(nóng)，其種植面積與賣水果總收入見下表。（假設不同種植戶種植的同種水果每畝產(chǎn)值相等）

（1）蘋果與橘子的每畝收入分別是多少？

（2）甲、乙兩戶果農(nóng)計劃合租30畝農(nóng)田來種植蘋果與橘子。經(jīng)過市場調(diào)查，要求蘋果的種植面積大于橘子的種植面積（兩種水果的種植面積都是整數(shù)畝）。當?shù)卣畬ΨN植蘋果的果農(nóng)給予補貼，種植蘋果的面積不超過15畝的部分，每畝補貼100元;超過15畝但不超過20畝的部分，每畝補貼200元;超過20畝的部分每畝補貼300元。為了讓總收入不低于[127 500]元，他們應如何確定方案？

分析：（1）設蘋果每畝的平均收入為[x]元，橘子每畝的平均收入為[y]元，

由題意得[5x+3y=33 500，3x+7y=43 500，]解得[x=4 000，y=4 500。]

（2）設種植蘋果[m]畝，那么種植橘子[（30-m）]畝，于是[m>30-m]，即 [m>15]。

當[15

[w=4 000m+4 500×（30-m）+15×100+（m-15）×200≥127 500 ]，解得[15

當[m>20]時，他們的總收入為

[w=4 000m+4500×（30-m）+15×100+5×200+ （m-20）×300≥127 500]。

由此解得[m≤20]，不合題意。

綜上所述，種植方案如下：

點評：這類問題一般有兩問，第一問只需根據(jù)題意列出方程或方程組，然后解方程即可得到答案，而第二問一般與不等式有關，建立不等式后還要注意自變量的取值范圍。這類問題一般出現(xiàn)在方案設計和最優(yōu)方案選擇型的問題中，難度一般。

二、函數(shù)、方程與不等式模型

函數(shù)、方程和不等式在數(shù)學中是密不可分的。在函數(shù)類應用題中，通常考查函數(shù)、方程和不等式的綜合應用。對于這類應用題，一般可先建立方程或不等式，再建立函數(shù)關系，最后確立自變量的取值范圍。建立方程或不等式是解決這類應用題的基礎，而確定自變量的范圍則是解題的關鍵。

[例2]有一種成本價為50元的商品在一大型商場試銷，規(guī)定在試銷期間單價不低于成本價，且利潤不得高于40%。在銷售幾天后有人發(fā)現(xiàn)，這種商品的銷售量[y]與銷售單價[x]之間存在著一次函數(shù)關系（如圖1所示）。

（1）請求出銷售量[y]（個）關于銷售單價[x]（元）的解析式。

（2）如果該商場銷售這種商品的利潤是[Q]元，那么利潤[Q]（元）與銷售單價[x] （元）之間有怎樣的關系？試用函數(shù)式表達;當[x]為何值時，該商場獲利最大？最大利潤是多少？

（3）如果該商場試銷該商品所獲利潤不低于600元，請求出銷售單價[x]的取值范圍。

分析：（1）設[y=kx+b]，由題意得[55k+b=65，60k+b=60，] [?k=-1，b=120，]

故所求函數(shù)的解析式是[y=-x+120]。

（2）由題意知，利潤[Q]與銷售單價[x]的函數(shù)解析式為[Q=（x-50）（-x+120）=-x2+170x-6 000]，

[Q=-x2+170x-6 000=- （x-85）2+1 225]。

又[x≥50，? ? ? ? ? ? ? ?x-5050≤40%，]即[50≤x≤70]。

因為[a=-1<0]，故對稱軸左邊的[y]的值隨著[x]值的增大而增大，所以[x=70]時，這個商店獲利最大，獲得的最大利潤是[Q=1 000]元。

（3）由題意知，[Q=- （x-85）2+1 225≥600]，解得[60≤x≤110]。

由獲利不得高于[40%]得[x-5050≤40%]，解得[x≤70]，故[x]的取值范圍是[60≤x≤70]。

點評：本題雖然考查知識點較多，但解決問題的重點還是在于根據(jù)題意列式。

三、函數(shù)模型

函數(shù)模型主要包括一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型和分段函數(shù)模型。利用函數(shù)模型可以解決許多問題，如最值問題、決策問題等。函數(shù)類應用題的解題應明確兩點：一是如何建模，二是如何根據(jù)自變量的實際意義和函數(shù)的性質(zhì)做出正確決策。5C49615E-33DD-4F5F-A3FC-DF23295FDB88

[例3]人民商場為某殘疾人福利廠代銷一種新產(chǎn)品，當該新產(chǎn)品每件售價定為260元時，每月銷售了45件。該商場為了獲得更高的利潤，計劃以降價形式搞促銷。商場領導走訪市場并分析發(fā)現(xiàn)：月銷售量與售價成一次函數(shù)關系，且滿足下表所示的對應關系。綜合考慮各種因素，每售出一件新產(chǎn)品，共需支付廠家及其他費用100元。設當每件定價為[x]元時，該商場的月利潤為[y]元。

[售價 250元 240元 銷售量 52.5件 60件 ]

（1）當每件定價為220元時，試計算此時的月銷售量;

（2）請求出[y]與[x]之間的函數(shù)表達式;

（3）人民商場要獲取最大月利潤，新產(chǎn)品的單價應定為多少？

（4）王灣說：“如果月商場利潤最大，那么月銷售額也最大。”這種說法正確嗎？請說出你的觀點。

分析：（1）月銷售量與售價成一次函數(shù)關系，設銷售量為[p=kx+b]，將（250，52.5）和（240，60）代入，就可算得[k=-0.75]，[b=240]，所以[p=-0.75x+240]。于是當[x=220]時，[p=-0.75×220+240=75]，所以當每件售價是220元時，此時的月銷售量為75件。

（2）由題意得[y=（x-100）（-0.75x+240）]，即[y=-34x2+315x-24 000]。

（3）[y=-34x2+315x-24 000=-34（x-210）2+9 075]。

因為[x>100]，所以該店要獲得的月利潤最大，該新產(chǎn)品的單價應定價為210元。

（4）王灣說得不正確。原因是當月利潤最大時，[x]等于210元，而對于月銷售額[W=x45+（260-x）÷10×7.5=–34（x–160）2+19 200]來說，因為[x>100]，所以當[x]等于160元時，月銷售額[W]最大。因為當[x]等于210元時，月銷售額[W]不是最大，所以王灣的說法不正確。

點評：本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的實際應用。確立函數(shù)關系式一般有兩種方法，一種是待定系數(shù)法，如第（1）問;另一種是直接根據(jù)題意寫出函數(shù)關系式，如第（2）問。對于最值問題，建立二次函數(shù)模型后，可利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)結合自變量的取值范圍來求。

四、直角三角形模型

對于生活中的一些測量問題，一般可通過建立直角三角形模型來求解，在求解過程中經(jīng)常會用到幾何知識，如三角形全等、三角形相似等。

（一）仰角俯角問題

仰角俯角主要在測量大型建筑物的高度時應用，因為大型建筑物的頂部一般不易到達，但是在地面某個位置可以看到它，利用測角儀測出此時的仰角，以及它與建筑物的水平距離，就可以求得它的高度，這里一般應用正切函數(shù)。無論是仰角還是俯角，都是指視線與水平線的夾角。

[例4]如圖2，一旗桿[EF]位于樓[AB]與樓[CD]之間，從[AB]頂部[A]點處經(jīng)過旗桿頂部[E]點恰好看到樓[CD]的底部[D]點，且俯角為45°，從樓[CD]頂部[C]點處經(jīng)過旗桿頂部[E]點恰好看到樓[AB]的[G]點，BG =1米，且俯角為30°，若樓[AB]高為20米，請求出旗桿[EF]的高度。（[3≈1.73]，計算結果精確到1米）

分析：過點[G]作[GP⊥CD]于點[P]，與[EF]相交于點[H]。設[EF=x]米，則依據(jù)題意可知，[FH=GB=] 1米，[EH=EF-FH=（x-1）]米。又因為[∠BAD=∠ADB=45]°，所以[FD=EF=x]米，[AB=BD=20]米， 在[Rt△GEH]中，[∠EGH=30]°，于是[tan∠EGH=EHGH]，即[33=x-120-x]，解得[x=193-172≈8] 米。故旗桿[EF]的高度大約是8米。

點評：在這類問題中，往往圖中沒有出現(xiàn)直角三角形，這時應先考慮添加輔助線，作有關線段的垂線，將斜三角形問題轉化為直角三角形問題。解答這類問題一般用到勾股定理、三角函數(shù)的定義以及平面幾何的相關知識。

（二）坡度坡角問題

斜坡有一定的傾斜度，這個傾斜度就叫作坡度。如何從數(shù)值區(qū)分兩個坡面的傾斜度呢？我們用坡面的鉛直高度與水平寬度的比，作為坡面的坡度，同時把坡面與水平面的夾角，叫作坡角。斜坡的坡面距離是可以測量的，但是求小山的鉛直高度需要用到坡角，或者當已知斜坡的坡度時，也可以算出坡角，從而算出其他相關的量。

[例5]2020年5月27日，2020珠峰高程測量登山隊成功登頂珠穆朗瑪峰完成峰頂測量任務。受此消息鼓舞，某數(shù)學小組開展了一次測量小山高度的活動。如圖3，該數(shù)學小組從地面[A]處出發(fā)，沿坡角為53°的山坡[AB]直線上行350米到達[B]處，再沿著坡角為22°的山坡[BC]直線上行600米到達[C]處，求小山的高度[CD]及該數(shù)學小組行進的水平距離[AD]（結果精確到1米）。（參考數(shù)據(jù)：[sin22°≈0.37]，[cos22°≈0.93]，[sin53°≈0.8]，[cos53°≈0.6]）

分析：如圖4所示，過點[B]作[CD]的垂線[BE]，作[AD]的垂線[BH]，垂足分別是點[E]、[H]，根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形，得四邊形[BEDH]是矩形，所以[DE=BH]，[BE=DH]，在直角[△BCE]中，[BC=600]米，[∠CBE=22°]，根據(jù)正弦定義，得[CE=BC·sin22°≈600×0.37=222]（米），根據(jù)余弦定義得[BE=BC·cos22°≈600×0.93=558]（米），所以[DH=BE=558]（米）。

因為[AB=350]米，所以在[Rt△ABH]中，[∠BAH=53°]，由正弦定義得[BH=AB·sin53°≈350×0.8=280]（米），由余弦定義，得[AH=AB·cos53°≈350×0.6=210 ]（米），所以[CD=CE+DE=CE+BH=222+280=502 ]（米），[AD=AH+DH=210+558=768 ]（米）。

點評：本題相當于把四邊形[ABCD]切分為一個矩形和兩個直角三角形，然后分別解兩個直角三角形。在每個直角三角形中，利用正弦或余弦定義，求得對應線段的長，從而求得總長度。

從以上的實例分析可以看出，解應用題，首先應找準數(shù)學模型，建立數(shù)學模型，解出有關數(shù)據(jù)，再將其還原成實際問題，最后得出結論，回答問題。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 唐蓉. 初中數(shù)學應用題分析與教學策略研究[D].重慶：西南大學，2020.

[2]? 涂鳳寧.核心素養(yǎng)立意下的中考應用題發(fā)展[J].初中數(shù)學教與學，2019（10）：38-39.

[3]? 李林.中考數(shù)學應用題探究[J].課程教材教學研究（中教研究），2019（Z2）：61-64.

[4]? 陳巧未.關于解答初中數(shù)學應用題的幾點思考[J].數(shù)學教學通訊，2019（8）：56-57.

（責任編輯 黃桂堅）5C49615E-33DD-4F5F-A3FC-DF23295FDB88