二次函數常見中考題型及解題策略研究

白玫

[摘 要]二次函數題往往作為中考壓軸題出現，文章對二次函數常見中考題型及解題策略進行了研究，以為中考復習提供幫助。

[關鍵詞]中考;二次函數;壓軸題;策略

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）08-0010-03

在初中，二次函數的概念主要是用變量來定義的，而在高中，二次函數的概念是用映射來定義的，這樣安排符合學生的認知特點。對初中生來說，僅記住二次函數的概念是不夠的，如果不能深刻理解，學習它的圖像和性質就有困難。因此，我們要根據學生的認知狀況選擇教學策略，幫助學生總結和解決問題，提高學生分析和解決問題的能力，從而實現知識的正向遷移。

一、二次函數壓軸題呈現

[例1]（2020年昆明市中考數學壓軸題）如圖1，兩條拋物線[y1=-x2+4]，[y2=-15x2+bx+c]相交于A，B兩點，點A在x軸負半軸上，且為拋物線y2的最高點。

（1）求拋物線[y2]的解析式和點B的坐標;

（2）點C是拋物線[y1]上A，B之間的一點，過點C作x軸的垂線交[y2]于點D，當線段CD取最大值時，求[S△BCD]。

分析：（1）可先求出[A]點的坐標（-2，0），再求出[y2]的對稱軸[-b2a=-2]，然后代入一元二次函數[y2=-15x2+bx+c]，求出[y2]的解析式，將[y1]與[y2]聯立，求出點[B]坐標。（2）可以通過已知條件先將[S△BCD]表示出來，再通過點[C]和點[D]的橫坐標一樣，求出點[C]與點[D]間的距離[d]， 過點[B]作[CD]的垂線，交點為[E]，求出[BE]的距離，由[S△BCD=12CD·BE]即可求出[S△BCD]。

解答：（1）當[y1=0]時，即[-x2+4=0]，解得[x=±2]，

∵點[A]在[x]軸的負半軸上，∴A（-2，0），

∵[y2=-15x2+bx+c]的最高點為A（-2，0），

∴拋物線[y2]的解析式為[y2=-15x+22]，

即[y2=-15x2-45x-45]。

當[y1=y2]時，[-x2+4=-15x2-45x-45]，

解得[x1=3]，[x2=-2]（舍去），∴當[x=3]時，[y=-32+4=-5]，

∴[B（3，-5）]。

（2）如圖2，設點[C（m，-m2+4）]，則點[Dm，-15m2-45m-45]，

∵點C是拋物線[y1]上A，B之間的一點，

∴[-2

∴[CD=-m2+4--15m2-45m-45]

[=-45m2+45m+245]

當 [m=-452×-45=12] 時，[CD]有最大值，

[CD最大=-45×122+45×12+245=5]，

過點[B]作[BE⊥CD]，垂足為[E]，

∵點[C]的橫坐標為[12] ，點[B]的橫坐標為3，

∴[BE=3-12=52]，

∴[S△BCD=12CD?BE=12×5×52=254]。

[例2]如圖3，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像交坐標軸于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三點，點P是直線[BC]下方拋物線上一動點。

（1）求這個二次函數的解析式;

（2）動點[P]運動到什么位置時，[△PBC]面積最大，求出此時[P]點坐標和[△PBC]的最大面積。

分析：（1）由題意可知三個坐標點，分別設一次函數的解析式為[y1=ax+b]和二次函數的解析式為[y2=ax?+bx+c]，然后將坐標點代入解析式中，即可得到二次函數的解析式和一次函數的解析式。（2）過[P]點作垂直于[x]軸的直線，交[x]軸于點[E]，交直線[BC]于點[F]，[S△PCB=S△PFC+S△PFB=12PF·OB]，所以只需要求出[PF]，就可以求得[S△PCB]， 設點[F]的坐標為[（t， t-4）]，[PF]等于一次函數和二次函數之間的距離，求出[t]的取值就可以求出面積和坐標。

解答：（1）設拋物線的解析式為[y=ax2+bx+c]，把[A]、[B]、[C]三點的坐標代入可得 [a-b+c=0，16a+4b+c=0，c=-4，]解得 [a=1，b=-3，c=-4，] 可得拋物線的解析式為[y=x2-3x-4]。

（2）點[P]在拋物線上，可設[P（t， t2-3t-4）]，作[PE]∥y軸交[x]軸于點[E]，交直線[BC]于點[F]，如圖4，[B（4， 0）]，[C（0，-4）]，直線[BC]的解析式為[y=x-4]，[F（t， t-4）]，[PF=（t-4）-（t2-3t-4）=-t2+4t]，[S△PBC=S△PFC+S△PFB=12PF·OE+12PF·BE=12PF·（OE+BE）=12PF·][OB=12（-t2+4t）×4=-2（t-2）2+8]，當[t=2]時，[S△PBC]的最大值為8，此時[t2-3t-4=-6]，當點[P]的坐標為（2，- 6）時，[△PBC]的最大面積為8。

[例3]如圖5，已知拋物線[y=ax2+c]過點（-2，2），（4，5），過定點[F（0， 2）]的直線[l]：[y=kx+2]與拋物線交于[A]，[B]兩點，點[B]在點[A]的右側，過點[B]作[x]軸的垂線，垂足為[C]。B07A3443-B1AE-46FA-961A-68D820A5AF29

（1）求拋物線的解析式;

（2）若[k=1]，在直線[l]下方的拋物線上是否存在點[Q]，使得[△QBF]的面積最大？若存在，求出點[Q]的坐標及[△QBF]的最大面積;若不存在，請說明理由。

分析：（1）將（-2，2），（4，5）兩點坐標代入拋物線[y=ax2+c]，可求出拋物線的解析式。

（2）由條件[k=1]，可以知道一次函數的解析式，聯立二次函數解析式，可以知道點[A]和點[B]的坐標。為了求證在直線[l]下方的拋物線上是否存在點[Q]，使得[△QBF]的面積最大，我們要先設點[Q]和點[E]的坐標。設點[Q]的坐標（[t， 14x?+1]），過點[Q]作[x]軸的垂線，交[AB]于點[E]，點[E]和點[Q]的橫坐標一樣，[S△QFB=S△QFE+S△QEB=12QE·OC]，[QE]就是[x=t]時，一次函數和二次函數之間縱坐標之間的距離，求出[t]的取值，即可求出坐標和面積。

解答：（1）把點（-2，2），（4，5）代入[y=ax2+c]得 [4a+c=2，16a+c=5，]解得 [a=14，c=1，]

所以拋物線解析式為[y= 14 x2+1]。

（2）作[QE]∥y軸交[AB]于[E]，如圖6，當[k=1]時，一次函數的解析式為[y=x+2]，解方程組 [y=x+2，y=14x2+1，] 得 [x=2+22，y=4+22，]或 [x=2-22，y=4-22，]則[B2+22， 4+22 ]。設[Qt， 14t2+1]，則[E（t， t+2）]，[EQ=t+2-14t2+1=-14t2+t+1]，[S△QBF=S△EQF+S△EQB=12×2+22×EQ=12×2+22? ][-14t2+t+1=] [-2+14（t-2）2+2+22]，當[t=2]時，[S△QBF]有最大值，最大值為[2+22]，此時[Q]點坐標為（2，2）。

[例4]已知在平面直角坐標系[xOy]中，[O]為坐標原點，二次函數[y=x2+bx]的圖像經過點[A（-1， 4）]，交[x]軸于點[B（a， 0）]。

（1）求[a]與[b]的值;

（2）如圖7，點[M]為拋物線上的一個動點，且在直線[AB]下方，試求出[△ABM]面積的最大值及此時點[M]的坐標。

分析：（1）已知點[A]和點[B]的坐標，將點[A]坐標代入二次函數解析式[y=x2+bx]求出[b]的值，再將點[B]坐標代入求出來的二次函數解析式中可求出[a]。

（2）設點[M]的坐標為[（x， x2-3x）]，作[MG∥y]軸交[AB]于點[G]，而點[G]的坐標就是[（x，-x+3）]，又因為點[M]和點[G]的橫坐標一樣，點[M]位于點[G]的下方，所以直線[MG]的距離可用點[G]的縱坐標減去點[M]的縱坐標，即[（-x+3）-（x2-3x）]，化簡后便可以得到此函數為一個開口向上的二次函數，因此在二次函數的對稱軸上值最大，那么A，B，M，G四點的坐標便都可以得到，從而可根據[S△ABM=S△AMG+S△BMG]計算出[S△ABM]的面積。

解答：（1）把[A（-1， 4）]代入[y=x2+bx]得到[4=1-b]，[b=-3]，[y=x2-3x];因為[B（a， 0）]在函數圖像上，所以將[B（a， 0）]代入[y=x2-3x]得[a2-3a=0]，求得[a=3]或[a=0]（舍棄），即[a=3]。

（2）如圖8，作[MG∥y]軸交[AB]于點[G]。

設直線[AB]的解析式為[y=kx+b]，把[（-1， 4）]，[（3， 0）]代入得 [-k+b=4，3k+b=0，]解得 [k=-1，b=3，]由此可得[y=-x+3]。設[M（x， x2-3x）]，則[G（x，-x+3）]，[S△ABM=S△AMG+S△BMG=12×4×（-x+3）-（x2-3x）=-2x2+4x+6=-2（x-1）2+8]，當[x=1]時，[△ABM]的面積最大，最大值為8，此時[M（1 ，-2）]。

二、二次函數壓軸題解答的一般過程

解決問題分為三步：認真審視問題、探索解決問題的思路、正確解決問題。首先仔細閱讀題目的意思，其次在理解問題意思的基礎上，判斷給定的問題屬于哪一類型，最后利用常見的相關策略來解決問題。

（一）熟悉題目，理解問題情境

二次函數壓軸題一般由平面直角坐標系下的文本和圖形組成。因此，熟悉問題，了解問題的含義是解決問題的第一步。要掌握問題中的關鍵信息，剔除問題給出的干擾信息，分析問題的有用條件，確定問題的本質。

（二）確定問題類型，找出解題思路

根據問題的性質，判斷該問題屬于哪種類型，判斷是否與某種類型一致，若一致，從中推導出共性問題的解決思路，為下一步解題提供明確的方向。

（三）將知識整合，求解答案

方向明確后，需要搜索出問題中涉及的所有知識點，根據之前的解決思路，整合知識，逐步探索問題的答案，判斷答案的合理性，進一步解決問題。

三、二次函數壓軸題教學的啟示

（一）培養學生靈活運用知識的能力

初中學生的知識要靠實踐來鞏固，因此，可讓學生反復練習相關的考試題，使學生能靈活運用相關知識解決問題。

（二）注重對知識的整理和歸納

教師要把解題過程中的知識點全部整理出來，總結所有知識點的共同點，加強學生對每個知識點的掌握，以便他們能靈活應用知識解決問題。

（三）注重學生數學運算能力的培養

數學運算能力是學生學習數學的基礎，在二次函數壓軸題的教學中，要重視培養學生的數學運算能力。通過分析，發現一些學生在解題過程中，雖然方法是正確的，但常因為計算能力弱導致計算出錯而失分。因此，在教學中教師要加強計算訓練，培養學生的運算能力，盡量讓學生正確、快速地計算，并形成檢查的習慣。

（四）注重滲透數學思想

數學思想可以理解為對數學科學研究及其本質規律的理解和認識。在解題中，通常會應用多種數學思想，如轉化思想、數形結合思想、分類討論思想等。在教學中，教師應有目的地滲透各種數學思想，通過反思和總結，引導學生厘清這些數學思想并學會靈活應用。

在新課標理念下，研究二次函數壓軸題的解題策略可以改善學生的學習習慣和思維方式，在一定程度上有效地改變教學方法，真正實現課程的教學目標。因此，中考前，教師要讓學生深入了解中考命題和數學課程改革的發展趨勢，使他們有足夠的信心去面對考試，同時要合理安排數學教學，鍛煉學生的實踐能力，提高學生運用數學知識解決問題的能力。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

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[2]? 蔣芳萍.中考二次函數壓軸題的三大常見題型探討[C]∥2020年南國博覽學術研討會論文集（一）. [出版者不詳]，2020：913-914.

[3]? 王涵， 陳建學. 二次函數中考壓軸題研究：兼談動點三角形的面積解題策略[J].中學教學參考，2017（26）：25.

（責任編輯 黃桂堅）B07A3443-B1AE-46FA-961A-68D820A5AF29