讓簡(jiǎn)單的“錯(cuò)”閃爍理性的意蘊(yùn)

劉德宏

編者按

大數(shù)據(jù)背景下小學(xué)典型錯(cuò)題資源庫(kù)的建設(shè)和利用，為數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)帶來(lái)更多輔助和支持，對(duì)全面提高教師設(shè)計(jì)能力、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)思維、增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)有重要的現(xiàn)實(shí)幫助。學(xué)生在數(shù)學(xué)理解、計(jì)算、運(yùn)用中容易出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，教師借助大數(shù)據(jù)對(duì)此做具體分析，能夠形成科學(xué)梳理和歸結(jié)。如果教師在執(zhí)教過(guò)程中有充分預(yù)設(shè)，給予學(xué)生針對(duì)性提醒，就可以大幅度減少錯(cuò)誤的發(fā)生。大數(shù)據(jù)應(yīng)用于典型錯(cuò)題資源庫(kù)建設(shè)已獲得突破性進(jìn)展，后續(xù)完善工作正在順利推進(jìn)，期望在不久的將來(lái)獲得更多突破。大數(shù)據(jù)對(duì)典型錯(cuò)題資源庫(kù)建設(shè)形成多點(diǎn)支持，數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)借助大數(shù)據(jù)做教學(xué)探索，其實(shí)踐效果顯著，對(duì)推動(dòng)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)進(jìn)程有著不可替代的作用。本期推出“大數(shù)據(jù)支持典型錯(cuò)題資源庫(kù)建設(shè)和應(yīng)用”研究組成員的五篇文章，以饗讀者。

[摘? 要] 一個(gè)理性的教師，面對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，不應(yīng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行責(zé)備與簡(jiǎn)單糾偏，而應(yīng)該對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行精準(zhǔn)甄別，并靈活地加以引用，使之成為學(xué)生再度學(xué)習(xí)知識(shí)、積累基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維的資源，讓錯(cuò)誤成為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)不斷積累的重要資源。為此，在教學(xué)中，教師要善于應(yīng)用將錯(cuò)就錯(cuò)、誘導(dǎo)犯錯(cuò)等策略，以達(dá)成加速學(xué)習(xí)理解深入、促進(jìn)學(xué)習(xí)建構(gòu)的基本目的，使得數(shù)學(xué)教學(xué)精彩連連、智慧閃爍。

[關(guān)鍵詞] 錯(cuò)誤;資源;利用;理性;思維

“沒(méi)有錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)”，這樣的理想是豐滿的，但現(xiàn)實(shí)卻是骨感的。因?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在錯(cuò)誤的糾偏中、偏差的反思中回歸正位的。同樣，他們的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也需要通過(guò)反芻錯(cuò)誤來(lái)磨礪，其數(shù)學(xué)思維更需要錯(cuò)誤來(lái)錘煉。所以一個(gè)智慧型的數(shù)學(xué)教師，他能夠正視學(xué)生所犯的五花八門(mén)且富有“特色”的錯(cuò)誤，包括學(xué)生在課堂上出現(xiàn)的各種富有創(chuàng)意的錯(cuò)誤，在練習(xí)中顯露的不足等，并能夠敏銳地抓住它們，靈活地處置它們，使之成為學(xué)生學(xué)習(xí)研究的新素材，成為學(xué)習(xí)建構(gòu)的新資源。

一、將錯(cuò)就錯(cuò)，誘發(fā)思考

失敗是成功之母。錯(cuò)誤是失敗的一種表現(xiàn)，它也是小學(xué)生理解知識(shí)、掌握知識(shí)，以及訓(xùn)練思維的利器。為此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要善于把握和利用好這些錯(cuò)誤資源，達(dá)成“變廢為寶”的目的。也正是經(jīng)過(guò)這樣的靈動(dòng)處理，錯(cuò)誤才能誘發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的再回顧，對(duì)問(wèn)題的再反思，進(jìn)而促進(jìn)他們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的深入思考，加速正確學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)的領(lǐng)悟與建構(gòu)，最終讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更理性，也使數(shù)學(xué)教學(xué)變得更富活力，充盈著智慧的氤氳。

如，在三年級(jí)“24時(shí)計(jì)時(shí)法”教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生逐步梳理出“12時(shí)計(jì)時(shí)法”和“24時(shí)計(jì)時(shí)法”兩種計(jì)時(shí)法的轉(zhuǎn)換方法時(shí)，教師就會(huì)設(shè)計(jì)相應(yīng)的鞏固訓(xùn)練活動(dòng)，旨在讓學(xué)生在練習(xí)中對(duì)兩種計(jì)時(shí)法轉(zhuǎn)換方法的正確理解和靈活應(yīng)用，并幫助學(xué)生初步建構(gòu)“24時(shí)計(jì)時(shí)法”的數(shù)學(xué)模型。然而，學(xué)生的課堂表現(xiàn)，往往會(huì)出乎教師的預(yù)料，甚至是錯(cuò)誤不斷。

請(qǐng)看“24時(shí)計(jì)時(shí)法”的一個(gè)教學(xué)片段：

師：經(jīng)過(guò)這一階段的學(xué)習(xí)，你能用所學(xué)習(xí)的知識(shí)思考下面的問(wèn)題嗎？

（屏幕顯示：凌晨5時(shí)是幾時(shí)？）

生1：這個(gè)太簡(jiǎn)單了，是17時(shí)啊！

師：噢！是這樣嗎？你是想考考老師能不能解決這個(gè)問(wèn)題，是吧？那我們先把它放在一邊，看看后面的一個(gè)問(wèn)題。解決它之后，我們?cè)偾昂舐?lián)系起來(lái)看一看，好嗎？

（投影呈現(xiàn)：17時(shí)是下午幾時(shí)呢？）

生2：是下午5時(shí)啊！這是很明顯的。

……

師：你是怎么知道的呢？為什么會(huì)這么快地做出回答呀？

生2：這不是很簡(jiǎn)單的嗎？一天時(shí)針旋轉(zhuǎn)2圈，17時(shí)肯定是超過(guò)一圈了，所以就在下午了。

生3：是的！17時(shí)已經(jīng)超過(guò)12時(shí)了，它不應(yīng)該在夜里，所以只能在下午了。

師：哦！看來(lái)大家對(duì)17時(shí)的理解還是蠻深刻的。超過(guò)中午12時(shí)，就是下午了，用“24時(shí)計(jì)時(shí)法”如何表示它們呢？

生4：在“24時(shí)計(jì)時(shí)法”中下午或者晚上的表示都必須大于12，應(yīng)該用那個(gè)時(shí)刻的數(shù)加上12才行。

生5：簡(jiǎn)單地說(shuō)，下午的時(shí)間要加上12才是“24時(shí)計(jì)時(shí)法”的時(shí)間。

師：有道理！那回過(guò)頭來(lái)，看看這個(gè)同學(xué)考老師的問(wèn)題，你們有什么話想對(duì)他說(shuō)？

生6：你的回答是錯(cuò)的，你看問(wèn)題是“凌晨5時(shí)是幾時(shí)”，凌晨就是上午啊，它是不會(huì)大于12時(shí)的。

生7：如果是17時(shí)，它對(duì)應(yīng)的是下午5時(shí)，這里是凌晨5時(shí)，所以你回答錯(cuò)了。

……

生8：上午的0時(shí)到12時(shí)時(shí)針還是在第一圈里走的，是不需要加上12的，直接就是幾時(shí)。

生9：是的！上午的時(shí)間轉(zhuǎn)化成“24時(shí)計(jì)時(shí)法”的時(shí)間是不需要加12的，是幾時(shí)就直接寫(xiě)成幾時(shí)。

……

這是一個(gè)簡(jiǎn)單的錯(cuò)誤，學(xué)生的回答真的會(huì)超乎教師的預(yù)設(shè)，但是它卻真真切切地發(fā)生了。面對(duì)這樣的錯(cuò)誤，教師該如何辦？是直接糾偏，還是善加利用，使之成為學(xué)生再學(xué)習(xí)、再研究的素材呢？教學(xué)片段中，執(zhí)教者已經(jīng)給出一個(gè)最為理性的應(yīng)答，也正因?yàn)閳?zhí)教者的睿智處理，把錯(cuò)誤變成了寶貝。

面對(duì)學(xué)生的回答，執(zhí)教者不是直接否定，而是風(fēng)趣地轉(zhuǎn)變?yōu)椤澳阒皇窍肟伎祭蠋煟菃帷保⒀刂鴮W(xué)生的回答延伸開(kāi)來(lái)，先引導(dǎo)學(xué)生探究與理解17時(shí)的由來(lái)。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷爭(zhēng)辯與反思的學(xué)習(xí)活動(dòng)后，他們會(huì)更加清晰地領(lǐng)悟到，“24時(shí)計(jì)時(shí)法”針對(duì)上午、下午的表述方式，以及其中蘊(yùn)含的原理。在明晰上午的時(shí)間還是時(shí)針在第一圈里轉(zhuǎn)動(dòng)的原理后，他們會(huì)更加深刻地理解“24時(shí)計(jì)時(shí)法”與“12時(shí)計(jì)時(shí)法”之間的內(nèi)在聯(lián)系，能夠明白它們之間的轉(zhuǎn)化道理，從而使得這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)變得更加有效果、認(rèn)知建構(gòu)也更加牢固。

二、捕捉錯(cuò)誤，引發(fā)爭(zhēng)辯

錯(cuò)誤的出現(xiàn)有時(shí)是曇花一現(xiàn)般的，需要教師敏銳地捕捉，并靈活地加以運(yùn)用，只有這樣才能發(fā)揮其誘思、激思的作用。為此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)時(shí)刻關(guān)注課堂教學(xué)的實(shí)況，精準(zhǔn)地把脈師生互動(dòng)、生生互動(dòng)中的各種現(xiàn)象，善于捕捉一些有差錯(cuò)、有問(wèn)題的細(xì)節(jié)，讓錯(cuò)誤成為學(xué)生再學(xué)習(xí)、再思考的可貴素材，成為數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的重要寶庫(kù)。

請(qǐng)看三年級(jí)“軸對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)片段：

師：經(jīng)過(guò)折紙活動(dòng)，你發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸有多少條呢？

生1：有2條。

……

生2：老師，他們說(shuō)的不對(duì)，應(yīng)該有4條。

師：噢！你認(rèn)為有4條，而他們卻認(rèn)為只有2條，那到底是怎么回事呢？你愿意把自己的分析思考說(shuō)給大伙聽(tīng)聽(tīng)嗎？

生2：我認(rèn)為有4條，分別是橫著對(duì)折的1條，豎著對(duì)折的1條，還有對(duì)折2條斜線的，所以一共是4條。

生3：斜著對(duì)折，兩邊沒(méi)有重合呀？

生2：哎！斜著對(duì)折，是沒(méi)有重合，但是分成的2個(gè)三角形卻是一模一樣的啊！

生3：好像也有些道理啊！

……

生4：我們小組研究后發(fā)現(xiàn)，只有2條，因?yàn)檩S對(duì)稱圖形是指沿著對(duì)稱軸對(duì)折后兩邊的圖形完全重合，而不是像，也不是指剪下來(lái)后的兩個(gè)圖形是一模一樣的。

生5：是這樣的，軸對(duì)稱圖形是對(duì)折后兩邊能夠完全重合的圖形，長(zhǎng)方形斜著對(duì)折，兩個(gè)三角形不重合，盡管剪下來(lái)的兩個(gè)三角形是一模一樣的，但這不是對(duì)折后的重合，所以這2條折痕不是長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸。

……

師：那長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸到底有幾條，你們明白了嗎？

生6：是2條，圖形的對(duì)稱軸一定是使對(duì)折后圖形的兩邊完全重合的線。不能通過(guò)比較剪下來(lái)的圖形是否一樣來(lái)判斷。

……

師：長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸有2條，那正方形呢？

……

錯(cuò)誤是難以避免的。也許正是因?yàn)殄e(cuò)誤的存在，才使得爭(zhēng)辯有了機(jī)會(huì)，才使得真理越辯越明。教學(xué)片段中，執(zhí)教者面對(duì)這個(gè)學(xué)生勇敢的表現(xiàn)，沒(méi)有責(zé)備，而是以此為契機(jī)，引導(dǎo)他們對(duì)軸對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)進(jìn)行了一次再研究活動(dòng)。

當(dāng)學(xué)生再度回到折紙活動(dòng)之中，他們能夠清晰地認(rèn)知長(zhǎng)方形對(duì)稱軸的存在，也在辯論中進(jìn)一步明晰軸對(duì)稱圖形的意義。因?yàn)闋?zhēng)辯，他們更加明晰軸對(duì)稱圖形不是看著一樣的圖形，也不是剪開(kāi)后能夠重合的圖形，而是對(duì)折后兩邊能夠完全重合的圖形。一個(gè)簡(jiǎn)單的錯(cuò)誤，只要引導(dǎo)得法，它就有出乎我們預(yù)料的實(shí)效，就能更好地激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛能，也會(huì)助推他們學(xué)習(xí)思考、學(xué)習(xí)交流，以及學(xué)習(xí)反芻能力的發(fā)展。

三、誘導(dǎo)犯錯(cuò)，促進(jìn)反思

創(chuàng)設(shè)一個(gè)誘導(dǎo)學(xué)生犯錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)情境，是一種教學(xué)智慧。這種情境不僅能更好地抓住學(xué)生的學(xué)習(xí)注意力，還能幫助學(xué)生反思自己的學(xué)習(xí)歷程，最終讓教學(xué)學(xué)習(xí)更智慧，讓知識(shí)建構(gòu)更牢固。

請(qǐng)看六年級(jí)“圓錐的體積推導(dǎo)”的教學(xué)片段：

師：誰(shuí)愿意把自己的實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)一下？

生1：我們發(fā)現(xiàn)把圓柱盛滿沙子，倒入圓錐容器中正好是3次，說(shuō)明圓柱的體積是圓錐的3倍，那么圓錐的體積就是圓柱的三分之一。

生2：我們的是3次還多一些，接近4次的樣子。

生3：我們是3次還不到。

……

師：有這么多的結(jié)論啊！那就再來(lái)看看老師的實(shí)驗(yàn)吧！

（教師演示，把圓柱盛滿沙子，倒入圓錐中，1次、2次、3次、4次，正好倒?jié)M了。）

師：你們看到這個(gè)結(jié)果了嗎？想說(shuō)些什么？

生4：不對(duì)呀，老師，書(shū)中不是有結(jié)論嗎？圓錐的體積是圓柱的三分之一的呀！

生5：怎么會(huì)這樣呢？是不是老師你的圓柱拿的大號(hào)的呀？

生6：可能是，我們小組的圓柱可能選了小號(hào)的。

生7：難道問(wèn)題出在圓柱與圓錐身上？

生8：可能是的，你看我們小組選的圓柱與圓錐，它們的底面大小是一樣的，高也是一樣的，我們的結(jié)論就和書(shū)中的一樣。

……

師：看來(lái)同學(xué)們都意識(shí)到了問(wèn)題的關(guān)鍵所在，要做好這個(gè)實(shí)驗(yàn)，我們?cè)撛趺崔k？

生9：選擇底面和高都相等的圓柱和圓錐容器去做實(shí)驗(yàn)。

生10：底面和高一樣，才能做出符合書(shū)中要求的實(shí)驗(yàn)。

生11：我明白了，圓柱與圓錐只有在等底等高的情況下，才具有3倍的體積關(guān)系。

……

有時(shí)候，教師也需要主動(dòng)“犯錯(cuò)”。教學(xué)片段中，面對(duì)學(xué)生的不同結(jié)論，執(zhí)教者沒(méi)有直接糾正，而是以錯(cuò)誘錯(cuò)，也來(lái)演示一個(gè)錯(cuò)誤的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在驚訝中反思，“為什么老師的實(shí)驗(yàn)結(jié)果會(huì)與書(shū)中的不一樣呢”“在哪個(gè)方面出現(xiàn)了問(wèn)題呢”等。疑問(wèn)會(huì)誘發(fā)思考，也會(huì)促進(jìn)學(xué)習(xí)的比較。當(dāng)一組學(xué)生說(shuō)出“難道問(wèn)題出在圓柱與圓錐身上”時(shí)，問(wèn)題被聚焦了，研究方向也就更加確定了。當(dāng)再度審視自己的器具時(shí)，學(xué)生便發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題所在，進(jìn)而逐步整理思緒，使得圓錐體積的推導(dǎo)變得更加理性，更加科學(xué)。

沒(méi)有錯(cuò)誤的教學(xué)是教師最美好的愿望，但是教師應(yīng)該清醒地認(rèn)識(shí)到，學(xué)生的思維水平、知識(shí)積累、經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備等都各不相同，是有差異的，所以學(xué)生才會(huì)表現(xiàn)出不同的學(xué)習(xí)偏差、思維差異等。為此，教師需要做的是，正視學(xué)生的個(gè)性，分析學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的各種各樣的問(wèn)題，并靈活地予以引用，使之成為他們?cè)賹W(xué)習(xí)的資源，并以此助推學(xué)習(xí)思考的深入，助力數(shù)學(xué)知識(shí)的有效建構(gòu)，助推數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷積累與發(fā)展。