從尋常計算錯例看課堂教學的缺失

徐明旭

[摘? 要] 從尋常計算錯例中探尋課堂教學的缺失，是改進小學數學教學的有效舉措之一，也是發展學生計算能力和運算意識的重要途徑。教師應利用錯例引導學生關注對計算結果合理性的評判，在甄別中吃透計算的算理與方法，在豐富計算算理的體驗上下功夫。同時，教師還應提供變式訓練，讓他們的計算學習走向理性，更具靈性。

[關鍵詞] 計算;錯例;合理性;正確性;靈活性

《義務教育數學課程標準（2011年版）》把運算能力確定為十大數學核心素養之一，從中不難看出，要讓學生學得有價值的數學，學會對未來生活有幫助的數學，計算就是無法割舍的重要一環。因此，教師應充分關注學生在尋常計算中所表現出的不足，反思課堂教學的各個環節，如在細化運算法則和運算律等知識的教學引導中，是否做到了讓學生在真切的體驗中明晰和理解運算的算理等，從而改進課堂教學的方式與方法，引導學生正確且深刻地解讀運算規則和法則等。教師應設計合適的教學情境促進學生學習思考，引導他們去尋求到一種較為合理簡潔的運算途徑，讓他們的計算學習獲得質的提升，達成發展運算能力的教學目標。

一、輕視計算結果合理性評判的引導

重結果是計算教學的最大缺陷之一。在計算練習中，我們會經常遇到這樣的一種現象，即有一部分學生總是在某一類計算中出現錯誤雷同的問題，而如果僅僅把問題的根源追溯到學生頭上，那么這類問題將難以得到重視與糾正。因此，我們得從教學層面尋找原因，反芻相關計算教學的整個過程，審視教學的每一處細節，反思教學設計或教學實施中的不周或缺失，進而從根源上把脈問題，采取針對性的補救措施，獲得解決問題的良策。

如，在“三位數除以一位數”的教學中，我們經常能看到這樣一種錯誤：824÷4=26。

遇上這種情況，一些教師往往會責怪學生粗心大意，“這么簡單的問題都會做錯，也不看看824是三位數，8百多除以4怎么會是二十幾呢？明明是幾百嘛”，但是卻忘記了教師本身的使命所在，忘記了學生的表現還依賴于教師的教這一層面。筆者認為，教師需要從更深層次去解讀自身的教和學生的學，從而把握這類問題的本源。

上述情況給我們的教學啟示是：在“三位數除以一位數”的筆算教學中，教師不僅要講解透算理、算法，而且要訓練學生的口算、心算、估算等方面的能力，還要重視培養學生對除法計算結果的合理性評判的意識和能力。

為此，在教學實踐中教師應有意識地訓練學生對計算結果合理性的判斷意識，指導學生多讀題，多聯想。就以案例中的“824÷4”為例，教師首先引導學生不要急功近利，忙著算出答案，而是先進行必要的估算，即824可以看成800，這樣原題目就類似于“800÷4”，那結果會是多少呢？很明顯，應該是200，據此推出824÷4的商必定是大于200的。其次，教師還得引導學生對答案的合理性進行檢驗，即如果824÷4=26是對的，那么就有26乘以4等于被除數的必然性，然而26×4的積是104，不是被除數824。當學生進行這樣的驗算后，矛盾就凸顯出來了，這樣的情況也就要求學生回過頭來審視之前錯誤計算的每一步。當學生經歷了結果合理性的評判過程，那么他的反思意識就會增強，他的運算能力也會增長。

從上述簡單的案例中，我們不難看出：有效的計算教學，就是讓學生學會自覺運用知識去評判、去反芻的過程，不能囿于“在規定的時間內完成相應數量的試題計算”的框架之中。要實現計算教學的務實高效的目標，教師就得做好學生自覺檢驗、主動反思的引導者，讓學生在不同的訓練中掌握最基本的算理、算法，以及驗算策略，還得發展學生自我評判的學習意識，最終實現學生運算意識和計算能力同步發展的根本目標。

二、忽視計算原理正確性的體驗

實踐告訴我們，培養學生運算能力、發展學生運算意識的重點是使學生領悟算理、掌握算理，并靈活地運用算理正確進行運算。為此，教學中教師應把著眼點放在學生對算理的領悟上，把著力點放在對算理的應用上。教師一方面要善于引導學生認真審題，把握這類計算的特點，合理選擇計算方法、規劃計算過程;另一方面要不斷引導學生反思算法應用的根據，明晰每一步的計算原理，最終讓每一步的計算都合規合矩、有根有據。也只有這樣，學生的計算才會愈加合理，相應的錯誤才會得到有效避免。

如，在“小數加法、減法計算”的教學中，像這樣的錯例是屢見不鮮的，如5.3-4=4.9，5.3+4=5.7等。

容易看出的是，這類錯誤的主要問題是把整數4等同于0.4，從而導致數位順序錯誤，致使計算結果錯誤。一些教師往往把錯誤歸咎為學生整數加減法思維定式的負遷移，或這一階段常規練習過多而使學生形成的思維定式的負遷移。如在不斷練習5.3-0.4，5.3+1.4，8.1-6.8，1.8+3.4等習題后，一些學生的腦海里就會留下“所有的小數加減法都是純一位小數的計算”的印象，但他們卻不知這類習題只是小數計算的一種變式。

為此，教師在教學輔導中就得深究錯因根源，讓學生說出自己的算理運用過程，進而進行甄別，幫助學生細化算理意義，吃透算理本質。如教師引導學生匯報5.3-4=4.9的口算過程，學生不自覺地就運用筆算方法來思考，把數字對齊，再進行加減。學生的交流，映射了整數加減法的基本算理，從個位起數字對齊就是做到數位對齊，久而久之，就形成“末尾對齊”的錯誤建構，在小數加減法中學生若仍然照搬這一計算方法，勢必會導致計算結果出錯。

為什么教師一直在強調的“小數點對齊”到學生那兒就煙消云散了呢？深究緣由，我們發現學生把數字對齊當成了數位對齊（這一算理，在很多整數加減法中是成立的），忽略了5.3-4是小數減法（其中4是特殊的小數，此時4為4.0）的實質，從而導致他們只是從外在的形式上淺層次地理解“末尾對齊”和“小數點對齊”，缺失了小數加減法的基本計算原理的心理認同，并對小數加減法算理“小數點對齊”即數位對齊的理解有偏頗。所以教師在教學中要重視這一種情況，要通過對5.3-4=4.9這一錯誤的講解，讓學生領悟小數加減法的本質，即“只有相同單位的數才能直接相加減”。

故而，教師引導學生深入解讀5.3-4，5.3+4等計算中的算理，明晰5.3由5個一和3個十分之一組成，5.3-4的本質就是從5個一和3個十分之一中減去4個一，從而理解相關算理，讓學生的計算學習更趨理性。

三、忽視運算規律靈活性的體驗

運算律學習是學生靈活計算的重要依據。因此，在計算教學中教師應充分關注學生對運算律的領悟程度，從而引導學生學會多角度去分析計算題構成，進而找到最為便捷的路徑讓計算變得簡便。然而，在實際教學中一些教師卻熱衷于題海訓練，使學生也追求快速做題，導致學生面對一些較為特殊的試題時錯誤不斷，進而興趣缺失，學習遲緩。

如，“運算律”教學之中，學生面對簡便計算的練習，常常會有如下表現：37×99=37×100-1，或65×101=65×100+1，或32×25×125=4×25+125×8等。

以上錯誤，表象上看是學生沒有科學地把握乘法分配律，不能精確地運用乘法分配律造成的。并且，縱觀學生的日常學習，他們能夠較好地完成32×17+68×17，109×28-9×28等試題的計算，但一旦遇到稍加改變的試題就無所適從了，問題層出不窮。筆者認為，這不只是學生對乘法分配律的理解和運用的問題，更是對乘法分配律本質內涵理解不深刻、不透徹、不清晰的問題。

因此，在補救教學中，教師一方面要引導學生重溫乘法運算律的由來，如盡可能地多呈現實例，以豐富學生的感知，拓展學習視野，從而讓學生的學習理解走出個別歸納不全面、列舉抽象不豐富等的圈子;另一方面要重視知識間的聯系，以此來鞏固學生對乘法運算律的理解，如聯系乘法的意義來解析37×99，讓學生明白37×99是99個37，而37×100是100個37。這是讓學生思考，99個37和100個37之間到底相差什么。學生在這種情景下自然地獲得37×99的本質理解，從而推斷出37×99=37×100-37×1，明白先前計算錯誤的緣由。同理，若教師再順勢引導學生思考和研究65×101的算理，就可讓學生對乘法分配律的領悟達到一個嶄新的高度。另外，教師還可以創設生活化的情境，如提問“買99本字典，每本37元，一共需要多少元？”，讓學生反芻37×99在乘法分配律中的算理，從而加速其學習認知的有效建構，這也會給學生留下難以磨滅的印象。

綜合上述思考，筆者認為，教師要切實幫助學生發展和提升計算能力和運算意識，不能只是滿足學生能夠完成常規的計算題，還得設計與此相關的試題，以此來拓展他們的學習視野，促進他們的學習思考，從而幫助他們深刻理解計算的原理、運算律的由來等，以加速基本計算方法的建構，促使他們獲得基本的計算經驗和計算技能。同時，教師還得善于利用錯題資源，強化計算方法的引領，促使學生學會對計算過程進行反思，學會自覺驗算等，從而讓計算教學更富靈氣，更具智慧。