靈活運用數量關系解決數學問題

顧利娣

[摘? 要] 為了讓學生靈活運用數量關系解決數學問題，文章以“整數四則混合運算”（蘇教版小學數學四年級上冊）中的一道錯題為例，從典型錯題解讀、教學改進實踐、改進實踐的設計意圖、改進成效分析等角度來闡述一道錯題的化錯過程。

[關鍵詞] 數量關系;典型;學生錯題;教學改進

一、典型錯題解讀

1. 錯題來源

蘇教版四年級上冊第七單元“整數四則混合運算”。

2. 學生錯誤解答

題目：張師傅一共要加工600個零件，前12天加工了360個，照這樣計算，還要加工多少天才能完成？

學生錯解：

①600÷（360÷12）

=600÷30

=20（天）。

②600-360÷12

=600-30

=570（天）。

③600-360÷（360÷12）

=600÷30

=20（天）。

3. 錯題真實訪談記錄

考慮到訪談真實性，當學生完成這道題目的解答后，筆者就有目的地選擇了用不同方法解答的學生，單獨進行訪談，了解他們當時這樣解答的原因。

師[出示解法1：600÷（360÷12）=600÷30=20（天）]：這位同學，你當時為什么這樣做？能說給老師聽聽嗎？

生1：題目告訴我們前12天加工了360個，我先計算出一天加工多少個零件，也就是每天加工360÷12=30（個）零件。再按照這樣的思路計算，因為題目說張師傅一共要加工600個零件，所以要加工600÷30=20（天）才能完成。

師：你再讀一讀問題，要我們算什么？

生1：要我們計算還要加工多少天才能完成。（恍然大悟）哦，還要用總天數減去已經做了的12天，所以還要加工20-12=8（天）才能完成。

師[出示解法2：600-360÷12=600-30=570（天）]：這位同學，你當時為什么這樣做？能說給老師聽聽嗎？

生2：題目告訴我們前12天加工了360個，我先計算出一天加工多少個零件，也就是每天加工360÷12=30（個）零件。再用一共要加工的600個零件減去每天加工的個數，列式600-30=570（天）。

師（追問）：再用一共要加工的600個零件減去每天加工的個數，這個算出來是什么？

（生2不說話。）

師[出示解法3：600-360÷（360÷12）=600÷30=20（天）]：這位同學，你當時為什么這樣做？能說給老師聽聽嗎？

生3：題目告訴我們前12天加工了360個，我先計算出一天加工多少個零件，也就是每天加工360÷12=30（個）零件。再算360÷30=12，600÷30=20（天）。

師：那你后面的兩個算式表示什么意思呢？

（生3不說話。）

4. 錯因分析

這是“整數四則混合運算”（蘇教版四年級上冊第七單元）中的一道題目，涉及工程問題，從學生已有的知識經驗來看，他們已經具備了處理工程問題相關的數量關系的能力。但是再從這三位學生的解答和真實思考過程來看，他們主要存在以下幾個問題：

從學生角度來看，首先是他們讀題能力弱。在訪談中，當筆者問他們題目中要解決什么問題，他們都覺得這道題目的問題是“要加工多少天”。但是當筆者再次詢問他們要解決什么問題時，他們仔細看后才注意到問題是“還要加工多少天”。可見，這些學生在讀題時都粗心大意，沒有理解題目的真實意思。

其次，學生不能靈活地運用數量關系。他們知道這道題目要用到“工作總量÷工作效率=總的工作時間”這一公式，這一步大多數學生都想到而且做對了，但是在接下來的幾步就不知道用什么數量關系了。還有的學生生硬地套用公式，無法解釋為什么要這樣列式。

而且，這些學生對答案缺乏估算意識和生活經驗。比如生2計算出的答案是加工600個零件用570天，這與計算出的每天加工30個是矛盾的。

筆者認為，當一道題目在不同班級測試后的錯誤率差不多，而且錯誤類型也大致相同，它就屬于典型的學生錯題。

二、教學改進實踐

1. 溫故知新，喚醒經驗

師：同學們，回顧一下我們學過了哪些主要的數量關系？

生（齊）：工作效率×工作時間=工作總量，單價×數量=總價，速度×時間=路程。

師：根據這三個數量關系，我們還能推導出工作效率、工作時間、單價、數量、速度和時間的計算方法，你們知道怎么算嗎？

生（齊）：工作效率=工作總量÷工作時間，工作時間=工作總量÷工作效率，單價=總價÷數量，數量=總價÷單價，……

師（出示題目：陳師傅用15天加工600個零件，每天加工多少個零件？）：你會計算嗎？

生（齊）：工作效率=工作總量÷工作時間，所以每天加工600÷15=40（個）零件。

師（出示題目：陳師傅前15天加工600個零件，照這樣計算，6天能加工多少個零件？）：這道題該怎么解？

生（齊）：我們先算出每天加工多少個，陳師傅前15天加工600個零件，每天加工零件600÷15=40（個）;再算6天能加工多少個零件，所以6天加工零件40×6=240（個）。我們也可以用綜合算式600÷15×6=40×6=240（個）。

師：在沒有括號的算式里，只有乘法和除法，我們先算什么再算什么？

生（齊）：只有加減或只有乘除的時候，只需按從左到右的順序依次計算。

2. 體會審題，感受策略

師：（出示題目：張師傅一共要加工600個零件，前12天加工了360個，照這樣計算，還要加工多少天才能完成？）同學們，我們先來讀一讀題目，邊讀邊想怎么列式解決。誰來說說題目告訴了我們哪些數學信息，要我們解決什么問題？

生（齊）：題目告訴我們加工600個零件，前12天加工360個，要我們計算還要加工多少天才能完成。

師：我們知道了題目中的條件和問題，你們覺得問題中最關鍵的是什么字詞，請圈出來。

生（齊）：最關鍵的是“還要”，需要用總天數減去已經做的天數。

師：接下來大家想一想先算什么再算什么，試著寫出算式解決這個問題。

生1：我先根據“前12天加工360個”算出每天加工的工作效率是360÷12=30（個），再根據“張師傅一共要加工600個零件”算出一共要加工的天數是600÷30=20（天），最后用總天數20天減去已經加工的12天就是還要加工的天數20-12=8（天）。

師：你能寫出綜合算式嗎？

生1：600÷（360÷12）-12=600÷30-12=20-12=8（天）。

生2：我是這樣做的，先根據“前12天加工360個”算出每天加工的工作效率是360÷12=30（個）。再根據“一共要加工600個零件和已經加工了360個”算出還要再加工的零件600-360=240（個）。最后算出還要加工的天數是240÷30=8（天）。綜合算式是（600-360）÷（360÷12）=240÷30=8（天）。

3. 舉一反三，建立模型

師：同學們，我們已經學會了用整數四則混合運算去解決問題，接下來你們再試試解決這兩道題目。[出示題目：（1）一條公路長3600米，已經修路7天，平均每天修路300米，余下的每天修路500米，還要幾天才能全部修完？（2）星星服裝廠要生產495套服裝，原計劃11天完成，實際每天多生產10套，幾天可以完成任務？]

三、改進實踐的設計意圖

1. 進一步加強學生的審題能力

解決應用問題的前提在于審題。為了更好地讓學生知道如何審題，筆者在課堂上做了示范：先一字一句地讀題，在讀題中提取題目中的已知條件和問題;再圈出題目中的關鍵信息或者易被理解錯的關鍵字詞，提醒自己在思考的時候加以關注——比如在新授課環節中的這道加工零件的題目，有的學生提到問題中的關鍵字詞是“還要加工”，這就表示要用“總天數減去已經加工的天數”——這樣的審題就可為解決應用問題提供思路和方向。

2. 進一步清晰學生的解題思路

解決問題是一個利用數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考的過程。教師需要通過問題的解決發展學生的計算、推理和幾何直觀等能力，幫助他們養成良好的學習習慣，使他們具有初步的創新意識和實事求是的科學態度。在解題過程中，學生首先需要在理解基礎上熟記一些數量關系，再結合具體的題目靈活地選用合適的數量關系。學生只有經歷了這一過程，才能真正地理解題目，實現舉一反三。

四、改進成效分析

筆者通過對同一個班級的學生進行首次測試和再次測試，以及針對同一年級不同班級的相同教學改進實踐，發現了以下結論：

在同一個班級中，學生再次測試的錯誤率與首次測試相比有較大的降低，首次測試的錯誤率是35%，再次測試的錯誤率是21%。即使是解題錯誤的學生，也并非完全錯誤，在訪談中他們也能從數量關系的角度解釋自己為什么這樣列式。

同一個年級中的不同班級原來的錯誤率基本接近，各班在進行相同的教學改進干預后，錯誤率明顯下降，有的班級甚至把這種類型的題目錯誤率控制在10%內。對于班級里的優秀學生，有的還想到利用不同的數量關系進行一題多解，發展了他們的數學思維。

通過對數學錯題的教學改進，筆者認為教師在教學中要用數據記錄學生的錯誤率，并及時針對部分錯題進行教學干預，通過對一類題目的系列化講解，幫助學生更加系統地掌握解題方法，為其后續學習新知識做好知識和經驗的鋪墊。