變量替換法在數學分析求解中的應用

張雪康

摘要. 變量替換法是數學分析計算中的一種重要方法。為了進一步幫助學生加深對該方法理解和應用，本文利用適當的變量替換法，研究了函數的極限、導數以及積分的運算等問題。

關鍵詞：變量替換;數學分析

數學分析是安徽工程大學統計學本科專業最重要的一門基礎課，同時它也是同學們報考數學類專業碩士研究生的專業考試科目。其中，函數的極限、導數以及積分的運算等概念即是數學分析中的重要知識點，也是學生們學習數學分析這門課的基礎。這些知識點主要是通過定義的形式進行闡述的，是比較抽象的。在這門課程的教學中，如果老師們僅僅只是給學生們講解、分析這些基本定義，學生們一般很難較為全面地掌握這些知識點。這勢必會給學生們學好數學分析這門課程帶來一定的困難。為了進一步加強學生對這些基本概念的理解和認識，幫助他們增強綜合運用各種解題技巧和方法的能力，進而提高他們發現問題、分析問題以及解決問題的能力，我們給出了部分具有代表性的例題，這些例題既具有基礎性又具有技巧性，這將有助于開拓學生的解題思路，啟發學生的思維，不斷增強學生的數學分析能力和應用能力。

變量替換法是數學分析計算中的一種重要方法。它主要針對的是一些結構較為復雜、變元較多的數學問題，通過引入一些新的變量進行代換，來簡化其結構，以此來達到解決問題的目的，是一種簡便易用的計算方法。變量替換法通常可以為我們簡化相應的數學計算，降低計算的復雜度。為了幫助同學們更好地理解和掌握變量替換法，本文將通過一些具體實例，研究數學分析中的函數極限、復合函數求導以及積分運算等問題。筆者主要利用變量替換法構造新的變量，將所研究的實例轉化為新的數學表達形式，從而利用基本分析方法對新的數學表達式進行求解。為了更加清晰、直觀地體現我們的解題思路，我們不僅給出了每一個實例的具體分析思路，而且針對每一題題型的結構特點也給出了詳細的計算過程。

數學分析中的極限、導數以及積分運算等求解問題的研究對象主要可分為含有一個自變量的函數和含有多個自變量的函數。若只含有一個自變量的函數，則稱之為一元函數。若含有多個自變量的函數，則稱之為多元函數。多元函數是一元函數的推廣，它具有一元函數的許多性質，但自變量的增加也導致了一些新的性質出現，在講解這部分內容時即要注意多元函數與一元函數的聯系，又要注意與一元函數的區別。對于多元函數的求解問題，本文主要以二元函數為例，循序漸進，深入講解，幫助學生熟練掌握二元函數的有關理論和方法，切實打好學生的數學分析基礎，從而進一步加強學生邏輯思維能力的培養。

在本文中，筆者主要闡述變量替換法在極限、導數以及積分運算中的應用。我們精選了部分能夠反映極限、導數以及積分運算等章節基本知識點和基本方法的典型例題，并給出了詳細的分析思路和解答過程，以此來進一步突出變量替換法在數學分析解題中的重要應用價值，最終能夠促進學生綜合解題的能力的提升。下面，我們將給出一些具體實例。

一、變量替換法在函數極限中的應用

極限是數學分析中的一個重要知識點，而且數學分析中幾乎所有的概念都可以借助極限來進行定義。可以說，數學分析的基本方法就是極限的方法。因此，極限對數學分析有著非常重要的作用。

例1.求.

分析：上述所求極限針對的是一個結構較為復雜的一元函數，如果直接對其進行求解，則計算過程將變得比較煩瑣冗長。為簡化其計算過程，我們采用變量替換法。通過觀察，不難發現，所求極限函數的分子與分母中都可以化簡成為均含有和的函數。因此，先考慮變量替換。假設存在一個新的變量和一個大于0的常數，令變量等于，常數等于。那么，我們就可以很容易地將這個較為復雜的函數轉化為一個分子分母均含有和的分數表達形式。隨后，不難看出得到的分數表達式的分子與分母均可因式分解，故利用因式分解法分別對表達式的分母和分子進行因式化簡。最后，利用消元法求其極限。具體步驟如下。

解：首先，對所求的極限函數作變量替換。假設存在一個新的變量和一個大于0的常數，使得變量等于，常數等于。那么，變量趨近于常數這個條件等價為變量趨近于。則原式等于<<Eqn00108.wmf>>。由函數的分子可分解為與兩個函數的乘積，分母可分解為與兩個函數的乘積。上述極限函數的分子分母同時除以共同的因子，可將上式轉化為。最后，計算當趨近于時，可得函數所求函數的極限為根號下除以1除以根號下與的乘積。最后，將等于代入上述所得到的極限可得該函數的極限為2倍根號分之一，即。

上述主要利用了變量替換法和消元法了研究了一元函數的極限求解問題。為了讓同學們能夠清晰直觀地看出多元函數極限求解與一元函數極限求解之間的聯系，我們計算了下面的二元函數的極限。

例2. 求

分析：該題考慮的是對一個二元函數求極限的問題。不難發現，這個二元函數的結構具有一個很好的特性，極限函數的第一個分數的分母為和乘數中都有一個共同的元素。因此，如果將視為一個新的變量，那么，我們就可以把這個二元函數極限的求解問題轉化為一個簡單的一元函數極限求解問題。也就是說，這個二元函數求極限的問題將退化為一個一元函數求極限的問題。這也就很好地說明了二元函數求極限的研究實質上就是對一元函數求極限研究的推廣。針對例題2，我們將采用變量替換法來研究這個二元函數的極限求解問題。詳細步驟如下。

解：假設存在一個新的變量，使得變量等于的平方與的平方之和成立。那么所求極限中的趨近于0和趨近于0這兩個條件就可以用一個條件趨近于0來代替。也就是說，所求極限中的趨近于與新的變量趨近于0是等價的。故此題所研究的二元函數極限求解問題就可以等價變換為一個形式相對簡單的一元函數極限求解問題，可得等于5乘以。最后，利用數學分析中的第一個重要極限公式：當z趨近于0時，除以的極限為1這個性質，可得此題的極限等于5。

二、變量替換法在函數求導中的應用

在對復合函數求導時，使用頻率最多的就是變量替換法。這里面主要運用的方法就是復合函數的求導法則：鏈式法則。在運用鏈式法則時，同學們必須要注意到復合函數中哪些是自變量，哪些是中間變量。只有這樣，我們才能夠正確使用多元復合函數求導中的鏈式法則。在對復合函數的求導數時，我們常常會引入一些新的中間變量，并將所研究的復合函數轉化為多個形式相對簡單的函數導數的乘積，以此來利用復合函數中的求導法則，從而計算出函數的導函數。需要指出的是，這里引入的中間變量對函數導函數的表達形式是毫無影響的，它們只是起到了過渡的作用。值得注意的是，引入的中間變量可以是多種形式的，具體要采用哪一種形式，要看哪一種能夠極大地簡化我們能的運算。因此，采用變量替換法也是具有較高的技巧性。

例3.求的導函數

分析：不難看出，本題所研究的是一個一元函數的求導問題。為了計算出這個函數的導函數，我們計劃利用多元復合微分法對其進行求解。針對所研究對象的結構，我們有如下解題思路。若直接選擇引入一個中間變量，其中等于。那么，所計算的一元函數就可看成等于和等于兩個函數的復合函數。當對這個復合函數求導時，我們發現需多次使用鏈式法則，才能獲得它的導函數，致使該函數的導函數計算過程較為復雜。考慮到函數導函數的求解結果與引入的中間變量無關，筆記考慮引入另外一個新的中間變量求解它的導函數。因此，我們考慮引入一個新的中間變量，其中等于cos2x。這時，所研究的復合函數就可轉化為等于和兩個函數的復合函數。此時，經過基本分析，我們發現只需利用一次鏈式法則，即可獲得所求函數的導函數，這極大地簡化了我們計算復雜度。具體步驟如下。

解：作變量替換，令z等于，則所求函數為等于，那么，利用復合函數的求導法則，可知函數的導數可以轉化為與的乘積，其中等于除以，等于2乘以。可得原式等于<<Eqn00172.wmf>>除以。將等于代入可得的導函數為除以。

3.變量替換在積分中的應用

在對一個積分進行求解時，筆者發現數學分析中所計算的大部分積分是無法直接利用已知公式簡單推導得出的。針對這種情況，我們一般可以適當地利用變量替換法將所求積分轉化為一個新變量的積分，隨后再利用已知的基本積分公式、歐拉積分等工具，對新的變量積分進行求解。

例4. 求

分析：不難看出，這個積分是一個含參量的反常積分。首先，利用傳統的含參量非正常積分判別法判斷它的一致收斂性。目前，含參量反常積分的一致性判別法主要有魏爾斯特拉斯M判別法、狄利克雷判別法以及阿貝爾判別法。在含參量反常積分在某一個區間具有一致收斂性的基礎上，再根據數學分析書中的含參量反常積分的性質中的可積性定理判斷它的可積性。最后我們才能進一步對反常積分進行求解。在一般情況下，對反常積分直接進行求解是相當復雜的。通常情況下，針對這類含參量反常積分，可以通過分析被積函數的結構，利用恰當的變量替換法對反常積分的結構進行變換，隨后對其進行求解。針對上述的例4，可知該反常積分的瑕點為正無窮。通過對這個反常積分結構形式的觀察，我們發現被積函數的分子可以轉化為含有的函數，分母也可以轉化為含有的函數。即，分子等于和分母16+x4等于。顯然，分子與分母中都存在著一個共同的元素。所以，可以利用變量替換法，先將所求積分進行變換。假定存在一個新的變量等于，則所求的反常積分將可以轉化為含有變量的的積分，即為。顯然，這個反常積分的結構形式與我們常見的歐拉積分結構形式很相似。基于這個想法，可以考慮將此反常積分進行結構變換。要讓積分結構發生變換，就要用到變量替換法。因此，為了將這個反常積分轉化為學生們所熟悉的歐拉積分，筆者再次利用變量替換法。再進一步假設，存在一個新的變量等于y/（1+y），則該反常積分將轉化為一個含有變量的歐拉積分，即為。需要指出的是，這個歐拉積分是學生們比較熟悉的貝塔函數。接下來，我們就可以利用貝塔函數和伽馬函數之間的性質來對這個歐拉積分進行求解。具體步驟如下。

解：作變量替換，假設存在一個新的變量等于，則原式等于再進一步假設存在一個新的變量等于。那么，上述反常積分就可以變換為含有變量的積分。利用歐拉積分中的貝塔函數的性質可將瑕積分轉變為貝塔函數的表示形式，即。又由貝塔函數與伽馬函數之間的性質可得等于與的乘積再除以。使用伽馬函數性質可知與的乘積等于除以，而且等于1。因此，可得等于除以。綜上所述，可得此題反常積分的值為除以。

四、結語

通過上述4個例子，可以看出變量替換法在數學分析求解中占據著重要的作用，它可以極大地簡化我們的計算過程。它更是一種極其有效的解題方法，在處理一些復雜函數求極限、復合函數求導以及積分運算等問題上，效果尤為顯著。通過例1，可以發現在計算函數極限時，利用變量替換法可以簡便我們的計算過程，縮短計算時間。通過例2，可以看出在對一個多元函數進行極限求解時，變量替換法依然是有效的。而且，還能幫助我們將二元函數極限求解問題轉化為一元函數的極限求解問題，使得學生們可以迅速快捷地解決多元函數極限問題。通過例3，不難發現，變量替換法中的替換變量的形式是非常多的，那么如何選擇適當的變量進行代換，簡化題目的求解過程，就有著極其重要的作用。因此，同學們如何尋找合適的變量替換是非常具有技巧性的。要做到這一點，就需要同學們針對性地多加練習此類題目，尋找規律，掌握方法，也要勤于思考，會舉一反三，學有所思，學有所得，學有所悟。善于觀察發現題目的結構形式和隱藏的題干信息，透過現象看本質，準確把握住題干運作的邏輯原理，對我們靈活運用變量替換法具有重要的作用。通過例4，不難發現，有時對于一個題目可以多次使用變量替換法來簡化我們的計算過程。具體地，要根據題目的結構形式，有效地分析題干的信息，善于利用已知的運算方法對一個題目進行求解。所以，當學生們在做題目訓練時，不是先急著進行驗算求解，而是要對逐步分析題目所給的信息，理清所給題目的信息脈絡，尋找隱藏在題干中的重要線索，進而與自己熟知的知識體系相融合，從而更加高效快捷地解決問題。

本文通過一些典型的實例闡述了變量替換法在數學分析求解中的幾點重要應用。不僅說明了變量替換法在一元函數的極限、導數以及積分運算等問題中的應用，而且也說明了變量替換法在二元函數極限、導數等問題求解中依然是有效的。變量替換方法除了在上述三點方面的應用外，在解析函數微分方程結構、復合函數的偏導數、無窮級數以及曲面積分等方面都有著廣泛的應用。因此，在數學分析課程教學中應重點強調變量替換法的理論方法和技巧，深入講解，教會學生們熟練掌握和靈活運用變量替換法，來進一步提高解題能力，確保學生們能夠學好用好數學分析知識，并逐漸形成穩固、扎實的知識網，從而為提高數學思維水平夯實基礎。

參考文獻：

[1] 華東師范大學數學科學學院. 數學分析（第五版）[M]. 北京： 高等教育出版社， 2019.

[2] 錢吉林. 數學分析題解精粹[M]. 武漢： 湖北辭書， 2009.

[3] 裴禮文. 數學分析中的典型問題與方法[M]. 北京：高等教育出版社，1993.

[4] 王炳順. 高等數學中“變量替換法”應用探討[J]. 平頂山工學院學報， 2007， 16（4）： 75-77.

本文系安徽工程大學教學研究項目：統計學專業金融類課程教學體系改革——基于學科交叉視角（2021jyxm23）的階段性成果。