弧長和扇形面積公式教學設計

蘭標超

一、內容和內容解析

（一）內容

弧長和扇形面積公式

（二）內容解析

弧長和扇形面積公式是與圓有關的計算中的兩個常用公式，應用弧長和扇形面積公式可以計算一些與圓有關的圖形的周長和面積，也可以解決一些簡單的實際問題.學習這兩個公式也為圓錐側面積公式的推導打下了基礎.

弧長公式是在等分圓周和圓周長公式的基礎上，借助部分與整體之間的聯系推導出來，運用相同的方法，可以在圓面積公式的基礎上推導出扇形面積公式，進而通過弧長公式表示扇形面積.

基于以上分析，確定本節課的教學重點是：弧長和面積公式的推導及運用.

二、目標和目標解析

（一）目標

1.以圓的周長和面積為基礎，探究弧長和扇形的面積公式，并會用來計算弧長和扇形面積.

2.體會類比、轉換的數學思想.

（二）目標解析

達成目標1的標志是：學生能夠理解10的圓心角所對的弧長等于圓周長的對的扇形面積等于圓面積的;能夠發現n0的圓心角所對的弧長和扇形面積都是10的圓心角所對的弧長和扇形面積的n倍;能夠利用弧長表示扇形面積，并能利用公式計算弧長和扇形面積.

達成目標2的標志是：在弧長和扇形面積公式的推導過程中，發現弧長與圓周長、扇形面積與圓面積都是部分與整體之間的關系，從而將計算弧長和扇形面積的問題轉化為求圓周長和圓面積的一部分來解決，體會轉化、類比的數學思想

三、教學問題診斷分析

對于“10的圓心角所對的弧長等于圓周長的”，有些學生覺得有些抽象，難以把等分弧與等分3600角聯系起來。因此公式的推導過程設計應圍繞著如何突破這個難點。

基于以上分析，本節課的教學難點是：推導弧長和扇形面積公式的過程。

教學過程設計：

問題引入：數學來源于生活，在我們日常生活中，弧形隨處可見，大到星體運行軌道，小到水管彎管，操場跑道，高速立交的環形入口等等，你有沒有想過，這些弧形的長度怎么計算呢？請大家再觀察扇面，這節課我們就一起探討與扇形有關的一些幾何量.

設計意圖：激發學生的學習興趣，引發學生的數學思考.讓學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、尋求結果、解決問題的過程。

溫故知新：復習“圓弧”的概念.

老師提問：圓的周長是否可以看作弧長？若可以，它應看成多少度的圓心角所對的弧長？

設計意圖：讓學生加深對“弧長是圓周長的一部分”“圓周長可以看作360°的圓心角所對的弧長”的理解，為下一步用“部分”與“整體”的關系推導弧長公式做鋪墊.

1.推導并應用弧長公式

問題1：試計算下圖中各段弧長，并總結弧長計算公式.

歸納：弧長計算公式是：

設計意圖：理解了弧長是圓周長的一部分后，先讓學生計算180°，90°，60°這些特殊圓心角所對的弧長，其實就是讓學生在數學實踐中理解“具體的一段弧長占所在圓周長的幾分之幾”的問題，進而發現計算規律.如果學生沒發現計算規律，教師再啟發學生思考同圓或等圓中1°的圓心角所對的弧長與n°的圓心角所對的弧長有何數量關系，最后總結弧長計算公式.

教師提問：我們是如何推導弧長公式的？

學生回答：在同圓或等圓中， 先1°的圓心角所對的弧長，再求n °的圓心角所對的弧長.

設計意圖：嘗試回顧解決問題的過程，培養學生總結數學經驗，養成樂于思考的良好品質，體會數學的基本思想和思維方式.

教師提醒：弧長公式中n和180習慣上是不帶單位的.

設計意圖：提醒學生在以后的解題中要注意數學書寫的規范性.

例1：制造彎形管道時，經常要先按中心線計算“展直長度”，再下料，已知圖中∠AOB=100°，試計算圖

設計意圖：通過實際問題，加深學生對弧長公式的認識，同時讓學生體會數學與生活生產息息相關，數學廣泛應用于社會生產和生活的各個方面

師生活動：讓學生獨立完成，并讓學生代表展示解題結果.

設計意圖：（1）了解、評價學生學習弧長公式的過程和結果;

（2）培養學生獨立思考的能力，在運用數學知識和方法解決問題的過程中，認識數學的價值.

（3）讓學生感受成功的快樂，體驗獨自克服困難、解決數學問題的過程，有克服困難的勇氣，具備學好數學得信心.

2.推導扇形面積公式

師生活動：（出示圖）介紹扇形的定義。

教師師：強調扇形是面，對于面數學中往往考慮如何求它的面積。

教師提問：同學們已經認識了扇形.你能否類比剛才我們研究弧長公式的方法推導出扇形面積的計算公式？（學生在學案上完成任務，并讓學生代表展示學習成果）

設計意圖：（1）讓學生再次理解局部和整體的關系，培養學生獨立思考的能力，體會類比、轉化的數學思想，能針對他人所提出的問題進行反思，經歷借助圖形思考問題的過程，掌握分析問題和解決問題的一些基本數學思想方法.

（2）讓學生積極參與數學活動，對數學有好奇心和求知欲，敢于發表自己的想法，養成勤奮、合作交流等學習習慣，形成嚴謹求實的科學態度.

教師提問： 比較弧長與扇形面積公式，你能用弧長表示扇形面積嗎？試一試！

師生活動：教師引導。在得出扇形的另一個計算公式之后，教師可以引導學生，這個公式與三角形的面積公式類似，只要把扇形看作一個曲邊三角形，把弧長l看成底，半徑R看成高就可以了。

設計意圖：通過比較弧長和扇形面積公式，讓學生發現可以通過弧長表示扇形面積，為圓錐曲側面積公式的推導作準備。

例2;如圖，已知☉O的半徑是6cm，∠AOB=120°試求陰影部分面積.

（學生在學案上完成，學生代表展示解題結果）

設計意圖：加深學生對扇形面積公式的認識，培養學生養成認真勤奮、獨立思考的學習習慣，形成嚴謹的科學態度。

2.課堂小結

（1）弧長和扇形面積公式是什么？你是如何得到這兩個公式的？如何運用？（2）弧長與圓周長、扇形面積與圓面積之間有什么聯系？

設計意圖：通過小結梳理本節課所學內容，把我本節課的核心——弧長和扇形面積公式，并體會部分與整體之間的聯系和類比、轉化的數學思想.

2.布置作業：習題24.4? 1（1）（2），4，6，8.

設計意圖：考查學生對本節課學習目標完成效果.

課后教學反思：

本節課的內容一般來說老師會把重點放在公式的理解和熟練運用上，對于九年級的學生來說這很重要，而且弧長公式和扇形面積公式的推導過程也比較容易理解。但是這樣可能導致中等及以下學生因為某些概念、細節的不理解或者不懂，造成學習的障礙。結合學生的實際，分析學生可能出現障礙的地方，逐步引導學生觀察、比較，從基本的概念入手，處理好各個思維的轉折點，在注重基礎的同時發展學生的數學能力，關注了全體學生的發展。

針對學生的實際情況，在課堂中關注大多數學生能夠參與到教學中來很重要，存在的不足之處是，于九年級的學生來說，成績較好學生的思維明顯受到限制，不能最大限度地培養數學優生的數學思維。如何在關注全體學生的同時讓優生最大限度的發展，最終體現課程標準中讓不同的人在數學上得到不同的發展的理念，是我們數學課堂教學一直要思考的問題。本堂課的不足還在于時間的分配上不是很合理，由于在學生在探索弧長時我擔心引導措施不到位，導致時間過長，后面的教學環節比較吃緊，對學生在新知的應用上沒有足夠的時間。有待于在今后的教學中注意這方面的問題，以便進一步提高課堂教學效率.

參考文獻：

[1]韓美艷.“弧長和扇形面積”教學設計[J]. 中小學數學：初中版， 2017（5）：3.