一道模考試題的探究歷程及教學(xué)啟示

◎丁春年 (甘肅省武威第十八中學(xué),甘肅 武威 733000)

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是高考數(shù)學(xué)題目中的一道必考題，其特點是入手容易，但具體運算起來有些棘手，其解答過程呈現(xiàn)出一種程序化的模式，即通過將直線方程與曲線方程進行消元整理后求解.該類題一般有兩問，其中第1問很容易，第2問往往涉及“弦長、面積、范圍、定點、定值”等問題，而“定點問題”在近幾年高考中備受關(guān)注，它時而出現(xiàn)在全國卷中，時而出現(xiàn)在地方卷中，成了一個常考不衰的問題.對于一線教師來說，解讀高考考綱、研究高考試題、領(lǐng)會高考命題者意圖、展望高考命題的方向至關(guān)重要.現(xiàn)以2021年甘肅省武威市第一次五校聯(lián)考試題第20題為例，再現(xiàn)其探究歷程，并提出高考復(fù)習(xí)中解題教學(xué)的啟示.

1 題目呈現(xiàn)

(1)求橢圓的方程.

(2)設(shè)過點(4，0)的直線l與橢圓交于C，D兩點，點C關(guān)于x軸的對稱點為E，求證：直線DE過定點.

點評直接法是求曲線軌跡方程的常用方法，方法中蘊含了方程思想，也就是尋求一個關(guān)于曲線上動點坐標(biāo)的方程，為了得到這個方程，就要探求動點滿足的條件等式，列出條件等式后，化簡等式為最簡形式即可.需要說明的是：如果題設(shè)中有坐標(biāo)系，可省略“建立直角坐標(biāo)系”這一步.另外，本題也揭示了橢圓的“斜率定義”，此定義在課本中以例題的形式呈現(xiàn)，并且在課本習(xí)題中也進行了一定的拓展，因此，它時常會進入高考命題者的法眼，必須引起我們一線教師的足夠重視.

(2)設(shè)C(x1,y1)，D(x2,y2)，E(x1,-y1)，過點(4，0)的直線l的方程為x=my+4，代入橢圓方程得(3m2+4)y2+24my+36=0，

依題意有Δ>0，

因為直線DE的方程為(x2-x1)(y+y1)=(y1+y2)(x-x1),

所以在直線DE的方程中，令y=0，得

因此，直線DE過定點(1，0).

點評(2)的解答過程是解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的常用過程，其特點就是過程繁重、算式堆砌、運算量不言而喻.從學(xué)生的角度上看，即便是在思路清晰、算理明確、算式正確的情況下，一不留神就會出現(xiàn)運算上的錯誤，從而導(dǎo)致失分.為降低運算量，可將直線方程設(shè)為x=my+4較為穩(wěn)妥，此方程隱含了m=0與m≠0兩種情形.如果將直線方程設(shè)為y=k(x-4)，必然要對k分情況討論，從而產(chǎn)生了不必要的麻煩，運算中多出了不必要的運算，人為地加大運算量得不償失.

2 題目反思

對題目1的條件和結(jié)論探究，不難發(fā)現(xiàn)動直線l所過的定點(4，0)在橢圓的準(zhǔn)線上，動直線DE恒過橢圓的焦點.由此，筆者產(chǎn)生了如下的困惑：橢圓的焦點與準(zhǔn)線是橢圓的重要元素，在此處交匯在一起，是偶然的巧合？還是必然的聯(lián)系？如果是必然的，那么題目1的結(jié)論就應(yīng)對任意橢圓成立.既然是圓錐曲線中的問題，那么對另外兩種曲線如何呢？

經(jīng)過探究，筆者得出如下結(jié)論.

3 相關(guān)結(jié)論

證明設(shè)C(x1,y1)，D(x2,y2)，E(x1,-y1)，

依題意有Δ>0，

因為直線DE的方程為(x2-x1)(y+y1)=(y1+y2)(x-x1),

所以在直線DE的方程中，令y=0，得

因此，直線DE過橢圓的右焦點F.

評注以上證明過程中的思路及方法是在解析幾何中解決直線與圓錐曲線問題的通法，當(dāng)然，結(jié)論中涉及橢圓的焦點與準(zhǔn)線，其中橢圓的準(zhǔn)線在課本中沒有以概念的形式給出，但在課本中它以習(xí)題的形式呈現(xiàn).這就要求我們在處理課本習(xí)題時，不能僅僅著眼于習(xí)題的形式，而要深入挖掘習(xí)題中隱含的東西.另外，此結(jié)論中的焦點如果是左焦點，則準(zhǔn)線就是左準(zhǔn)線.

類比橢圓，對雙曲線和拋物線也有類似的結(jié)論.

4 高考鏈接

(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程.

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，求證：∠OMA=∠OMB.

(2018年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第19題)

圖1

圖2

證法2分析(從已得出的結(jié)論出發(fā))如圖2，

圖3

所以Rt△ACM∽Rt△BDM，從而，

∠AMC=∠BMD，

故∠OMA=∠OMB.

5 教學(xué)啟示

對于高考復(fù)習(xí)中的試卷講評課，一線教師往往是按照試卷的標(biāo)準(zhǔn)答案進行講解，很少對題目進行深度的剖析，如：題目涉及的考點有哪些、題目的解答從什么地方入手、題目的題源在課本中的什么位置、題目是否為一般情形下的特殊情形等.教師如果帶著這些問題進行解題教學(xué)，將會使解題教學(xué)煥發(fā)活力.也就是說，如果教師按照試卷的標(biāo)準(zhǔn)答案講解，那么對教師來說節(jié)省了備課的時間，這樣一來，教師輕松了，但學(xué)生未必輕松.這樣的解題教學(xué)如同平靜的湖水一樣波瀾不驚，毫無懸念.同樣的道理，在高考復(fù)習(xí)的解題教學(xué)中，教師如果針對某一道題目提出一些具有挑戰(zhàn)性的問題，將會觸發(fā)學(xué)生的認知沖突，引領(lǐng)學(xué)生針對問題進行主動的探究，這樣的探究筑牢了學(xué)生的基礎(chǔ)知識，使學(xué)生能從一道題目中收獲很多，因此，這樣的解題教學(xué)無疑是高效的.

5.1 解題教學(xué)應(yīng)以“研題”為熱身

作為一線教師，尤其是帶高三畢業(yè)班的教師，一定要潛心研究各種試題.通過研究不同類型的題目，使教師成為解題的行家里手，而不僅僅是淪為解題的工具.以試卷講評課為例，大多數(shù)教師在試卷講評之前，先是瀏覽標(biāo)準(zhǔn)答案，對一些簡單的題目一掃而過，對中檔的題目，在關(guān)鍵點上稍加推演，而后才在所謂的難題上下一番功夫.這里所謂的下功夫，不是深入題目中，而是閱讀答案的解析過程，換句話說，就是先自己看懂了解析過程，再將解析過程傳遞給學(xué)生，至于題目考到了哪些知識，題目的審查過程是怎樣的，題目是從什么地方突破的，題目還有沒有其他的解法等，這些都沒有考慮過.這樣的試卷講評，對教師來說，備課輕松，上課輕松，但對學(xué)生來說，由于教師沒有把準(zhǔn)學(xué)生的脈，因而無法觸及學(xué)生內(nèi)心深處的那根探究的神經(jīng)，自然對學(xué)生的學(xué)習(xí)起不到應(yīng)有的促進作用.基于此，教師在試卷講評之前，要靜下心來，潛心研究試題.首先，要研究題目的難易程度，對于一些簡單的題目，只需明確題目的考點，特別是對于一些看似容易，實則有埋伏的題目，一定要給學(xué)生強調(diào)注意事項，以避免學(xué)生在不該丟分的地方丟分.其次，要研究題目的來歷，拿到一個題目，要看此題從何而來，即看此題考什么，有哪些已知條件，同時還要看此題到哪里去，即看題目要解決什么問題，題目是否與我們以前做過的某一道題相似，題目是否為某現(xiàn)成結(jié)論的推廣等，只有揭開了題目的面紗，才能認清題目的本質(zhì).

5.2 解題教學(xué)應(yīng)以選“好題”為依托

解題教學(xué)的首要任務(wù)就是選題，選出好的試題，將其作為進行課堂教學(xué)的例題，或作為學(xué)生在課堂中的限時訓(xùn)練題目，這是解題教學(xué)效果好壞的關(guān)鍵.以高考復(fù)習(xí)中的一輪復(fù)習(xí)為例，目前的解題教學(xué)現(xiàn)狀是：教師先復(fù)習(xí)知識要點，然后對復(fù)習(xí)資料上的典型例題，按照題目的排列順序依次講解，最后將復(fù)習(xí)資料上與典型例題對應(yīng)的習(xí)題留給學(xué)生作為限時訓(xùn)練.這樣的復(fù)習(xí)沒有經(jīng)過選題的環(huán)節(jié)，是對資料上給出的題目通盤全吃，全然不顧題目是否適合學(xué)生實際，如此不經(jīng)過選題的解題教學(xué)不利于學(xué)生解題能力的提高，因此，解題教學(xué)的前提是選題，而且是選好題.那么，什么樣的題能成為好題？衡量一道題是好題的標(biāo)準(zhǔn)又是什么？這是我們一線教師都面臨的問題.筆者認為，選好題應(yīng)考慮以下幾個方面：第一，所選的題目要具有基礎(chǔ)性、情境性、示范性的特點.從高考命題角度來說，有些重要的知識點是每年的必考內(nèi)容，是知識模塊中的基礎(chǔ)知識，這些知識點的考查在每年高考中都以不同的面目出現(xiàn)，同樣的考點知識，考了一年又一年，每年情境不一樣，一年問這個，另一年又問那個，變換形式而又不離本質(zhì)，這樣的題目是具有示范性的好題.第二，所選的題目要具有入口小，但又具有探索價值的特點.入口小，容易讓學(xué)生的思維瞬間聚焦到問題本身，排除其他因素的干擾，盡快地進入題目的情境中，進入解決問題的狀態(tài)中.隨著問題解決的進展，學(xué)生自然而然地會觸及所解決問題的本質(zhì)，這時就需要學(xué)生進行深度的思考，需要學(xué)生的思維具有穿透力，能從所解決問題的表層透析出問題的本質(zhì).這樣的題目就是好題.它好就好在能一下子抓住學(xué)生，能引領(lǐng)學(xué)生進入深層次的探究過程中.它好就好在能通過一道題目讓學(xué)生學(xué)會解決一類題目的方法，能通過一道題目對學(xué)生進行思維的穿透力及思維深刻性的訓(xùn)練.

5.3 解題教學(xué)應(yīng)注重課本習(xí)題的開發(fā)

每年的高考結(jié)束后，試題一經(jīng)公布，就會引起眾多一線教師的高度關(guān)注.他們對試題的難度、試題的亮點、試題的創(chuàng)新、試題在課本中的出處等方面的研究，都投入了極大的熱情，這是高考試題的原創(chuàng)性所致.我們仔細研究試題就會發(fā)現(xiàn)，試題雖然是原創(chuàng)的，但仍然閃爍著課本中習(xí)題的影子，它們往往是由課本習(xí)題中的B組題目改編而成的.因此，我們的解題教學(xué)，要用好課本中的習(xí)題，這里的用習(xí)題，不是對原題的照搬照抄，而是要進行再創(chuàng)造.比如，將原題中的常量改為變量，為確保修改后題目合適度，可借助幾何畫板的計算與繪圖功能，以完成對題目的改編；再比如，將不同章節(jié)的題目合編成一道題目，這也是高考命題中的一個常用招數(shù).同時，將改編后的習(xí)題作為學(xué)生的作業(yè)，可以使作業(yè)發(fā)揮應(yīng)有的作用.時下，學(xué)生在平時做題時，須臾離不開參考答案，如果手頭沒有答案，也會用手機上的軟件“作業(yè)幫”搜題找答案，而如果是自己編制出的原創(chuàng)題，就搜不到答案，如此便可杜絕學(xué)生抄襲的源頭，從根本上扭轉(zhuǎn)學(xué)生在學(xué)習(xí)上的不良習(xí)慣.

5.4 解題教學(xué)應(yīng)注重知識的本質(zhì)

高三解題教學(xué)的首要任務(wù)就是幫助學(xué)生整理所學(xué)知識，構(gòu)建學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).但由于高三復(fù)習(xí)課面對的現(xiàn)實是時間少、任務(wù)量大，不少一線教師往往采取“題海戰(zhàn)術(shù)”，做了一套又一套試卷，講了一類又一類的題目，卻很少關(guān)注高考考點內(nèi)容和方法的講解是否清楚或透徹，很少關(guān)注考點內(nèi)容的本質(zhì)，這樣做的后果往往是學(xué)生對問題的理解只停留在問題的表面，而不能從問題的本源去考慮問題.正如題目中的(1)的解答，問題的表征是利用直接法求曲線的方程，而問題的本質(zhì)是橢圓的“斜率定義”； 題目中的(2)的解答，問題的表征是橢圓中直線過定點的問題，而問題的本質(zhì)是圓錐曲線中直線過定點的問題，它涉及了圓錐曲線的焦點與準(zhǔn)線.因此，高三解題教學(xué)要關(guān)注知識的本質(zhì)，只有認清了知識的本質(zhì)，才能在解決問題的過程中不因問題變化而束手無策.

5.5 解題教學(xué)應(yīng)注重數(shù)學(xué)思想方法

眾所周知，高考一方面考查學(xué)生的能力，另一方面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法.數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)思想方法的落實就是課堂教學(xué)，因此，我們的解題教學(xué)要充分凸顯數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)思想方法.例如，本文中對題目1的探究中，由特殊情形引出了一般性的結(jié)論，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法；從結(jié)論1出發(fā)引出了其他一系列結(jié)論，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的類比思想；例題的高考題解答中的證法3從圖形出發(fā)，將角的相等轉(zhuǎn)化為證明兩個三角形相似，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想.基于此，我們在日常的教學(xué)中，始終要在課堂中進行數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的滲透.唯有如此，我們的高考復(fù)習(xí)中的解題教學(xué)才是高效的教學(xué).

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題，而今市面上的模擬試題多如牛毛，令學(xué)生應(yīng)接不暇，學(xué)生不假思索地抄寫試卷，教師成了解題專家，在課堂上為學(xué)生展示精妙的解法，似乎不如此便不能顯示出教師的功力似的.這樣的解題教學(xué)將學(xué)生束縛在一個固定的套路中，學(xué)生完全沒有了自己的思想，如此下去，學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解就只能停留在表面，而不能深入其本質(zhì).基于此，我們的解題教學(xué)就要以合適的題目為依托，培養(yǎng)學(xué)生深刻的思維，碰到數(shù)學(xué)問題時能迅速認清問題的本質(zhì)，使問題得以解決.