數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)中考動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用研究

郭逢博

(甘肅省臨夏市第一中學(xué) 甘肅 臨夏 731100)

數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)踐性和應(yīng)用性很強(qiáng),因此在教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。而數(shù)學(xué)學(xué)科本身也有很大的挑戰(zhàn),要想學(xué)好數(shù)學(xué),高效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,就必須要有高效的解題方法,要有完善的思維基礎(chǔ),教師在日常數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)過(guò)程中,要對(duì)學(xué)生進(jìn)行一系列的合理的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng),還有面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)高效合理的數(shù)學(xué)思想的教育,教師要想盡辦法在完善學(xué)生思維能力的同時(shí)還要讓學(xué)生有正確良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。因此行之有效的數(shù)學(xué)解題思維是非常重要的,此時(shí)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)便顯現(xiàn)了出來(lái)。

1.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的意義

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,就是在題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)在線段、直線上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的一類開(kāi)放性題目,因?yàn)樯婕暗絼?dòng)點(diǎn)問(wèn)題靈活度也比較高,因此,解決這類問(wèn)題主要是要將一切動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題全部靜點(diǎn)化。以不動(dòng)應(yīng)萬(wàn)變是最理想的境界，可以自如的靈活的運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)將這些數(shù)學(xué)問(wèn)題解決。初中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一直以來(lái)都是學(xué)生們的噩夢(mèng)，是難中之難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以至于大部分學(xué)生看到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題都會(huì)下意識(shí)的產(chǎn)生放棄的心里，懷疑自我認(rèn)為自己不行，認(rèn)為自己肯定解不出來(lái)答案。所以說(shuō)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題對(duì)于初中生而言是重要的考題但也是難題所在，因此對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解答應(yīng)該采用更高效易懂的數(shù)學(xué)方法。[1]因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)問(wèn)題一方面考查了圖形變換中的知識(shí)點(diǎn),另一方面又包括了三角函數(shù)等知識(shí),覆蓋題型范圍大，所以很多學(xué)生都不能成功解決這類考題。因此也要求教師結(jié)合學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況,進(jìn)行針對(duì)性的教學(xué)，排除學(xué)生解答過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題,幫助學(xué)生在掌握相關(guān)知識(shí)的同時(shí),鍛煉學(xué)生解題能力。教師在課堂上應(yīng)當(dāng)為學(xué)生制定與其學(xué)習(xí)水平及理解能力相適應(yīng)的指導(dǎo),幫助學(xué)生攻克這一難關(guān)。

2.數(shù)形結(jié)合的含義

2.1 數(shù)形結(jié)合的概念。數(shù)形結(jié)合所利用的是數(shù)與形之間存在一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,這種關(guān)系可以讓數(shù)和形彼此轉(zhuǎn)化,這樣在解決數(shù)學(xué)難題的過(guò)程中,很多問(wèn)題可以借助這一原理得到更加便捷的解決方式,同時(shí)很多知識(shí)抽象而難以理解,若是進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,理解起來(lái)就會(huì)更加簡(jiǎn)單,是初中數(shù)學(xué)課上至關(guān)重要的思想方法。運(yùn)用這種思想,實(shí)際上就是考察結(jié)論和條件的聯(lián)系。將這種聯(lián)系用數(shù)軸或者圖形進(jìn)行表達(dá),這樣可以將幾何以及代數(shù)問(wèn)題解決,解題效率更高,同時(shí)結(jié)果會(huì)更加準(zhǔn)確。數(shù)形結(jié)合就是既要將其代數(shù)意義分析透徹,也要將其中的幾何意義挖掘出來(lái),這樣數(shù)量與空間就能結(jié)合在一起,讓解題思路更加清晰。[2]

2.2 數(shù)形結(jié)合的意義和作用

2.2.1 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)非常重要的概念，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中起著不可替代的作用。可以是很多高度抽象的問(wèn)題的視覺(jué)表達(dá)形式。這樣，初中生就可以更方便地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，有效地降低了解決問(wèn)題的難度。靈活運(yùn)用這一思路，很多非常復(fù)雜的問(wèn)題會(huì)變得非常簡(jiǎn)單，解決問(wèn)題的思路會(huì)更加多樣化，初中生的數(shù)學(xué)能力會(huì)得到顯著提高。

2.2.2 數(shù)形結(jié)合有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維方式。在清楚地理解什么是“數(shù)與形的結(jié)合”之前，我們首先應(yīng)該清楚地知道什么是“數(shù)”和“形”。數(shù)與形之間存在什么樣的聯(lián)系，在什么情況下，“數(shù)”與“形”可以相互轉(zhuǎn)化，等等，我們通常稱這種聯(lián)系和轉(zhuǎn)化為“數(shù)形結(jié)合”。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的概念思考問(wèn)題，可以使學(xué)生頭腦中復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式和概念直觀化，通過(guò)圖形表達(dá)數(shù)與數(shù)的關(guān)系，可以更好地解決學(xué)生抽象的問(wèn)題。這種思維方式，不僅可以應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)范疇，還可以廣泛應(yīng)用于其他教學(xué)領(lǐng)域，這是激發(fā)學(xué)生思維的好方法，可以讓學(xué)生以正確的方式思考，面對(duì)復(fù)雜抽象的問(wèn)題，用簡(jiǎn)單的圖形簡(jiǎn)化思維方式，快速得到解決方案。

2.2.3 數(shù)與形的結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分。目前，有很多數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用是非常關(guān)鍵的，掌握這些數(shù)學(xué)思想，可以讓學(xué)生更容易地解決問(wèn)題，找到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形組合思想、等價(jià)變換方法、函數(shù)與方程思想等。這些數(shù)學(xué)思想使用不同的條件，但它們代表一種數(shù)學(xué)思想，一種解決問(wèn)題的思想。其中，最重要的是數(shù)形結(jié)合。顧名思義，數(shù)形結(jié)合的思想是將數(shù)性問(wèn)題與形性問(wèn)題結(jié)合起來(lái)。因?yàn)閿?shù)學(xué)本身是一門(mén)由數(shù)字、字母和圖形組成的學(xué)科，所以在教學(xué)中，數(shù)字與圖形密不可分，圖形與數(shù)字密不可分。近年來(lái)，數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用，并取得了較好的效果。例如，在計(jì)算追逐問(wèn)題和遭遇問(wèn)題時(shí)，僅僅依靠問(wèn)題中給出的數(shù)字是不夠的，通過(guò)顯示信息的意圖來(lái)解決問(wèn)題要方便得多。這使得數(shù)字和形式的使用與理念相結(jié)合。[3]

2.2.4 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是包括很多東西的，不是用一兩句簡(jiǎn)單的話語(yǔ)就可以來(lái)進(jìn)行解釋的。但是從總體上看，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)與基本能力、數(shù)學(xué)方法與邏輯思維、數(shù)學(xué)思維與靈活運(yùn)用的結(jié)合。因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)幾乎涵蓋了數(shù)學(xué)教學(xué)的所有內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要意義。隨著新課程改革的深入，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)變得越來(lái)越重要。教師逐步擺脫了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，把“學(xué)”與“用”充分結(jié)合起來(lái)，這是最重要的理念。數(shù)與形的結(jié)合只是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中非常關(guān)鍵的一部分。當(dāng)很多學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)，代數(shù)問(wèn)題就是代數(shù)問(wèn)題，幾何問(wèn)題就是幾何問(wèn)題，他們沒(méi)有意識(shí)到把這兩個(gè)問(wèn)題放在一起思考，這是非常錯(cuò)誤的。作為教師，我們應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的這種意識(shí)，當(dāng)他們習(xí)慣了它，它就成為一種素質(zhì)，這是數(shù)學(xué)的核心素質(zhì)。

2.3 數(shù)形結(jié)合思想的主要體現(xiàn)。

2.3.1 建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題往往是復(fù)雜的不易懂得，因此我們要借助有效的解題方式去解題數(shù)學(xué)問(wèn)題。我們要把數(shù)形結(jié)合的思維擴(kuò)展到建立不等式、函數(shù)以及方程的模型，這樣才利于掌握題型規(guī)律,以便更好的解題復(fù)雜的數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。

2.3.2 解決幾何問(wèn)題和函數(shù)問(wèn)題。幾何問(wèn)題以及和函數(shù)問(wèn)題在初中學(xué)習(xí)中是非常常見(jiàn)且重要的，在中考中壓軸的題也是從這兩類中出現(xiàn)，是很多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的瓶頸。但是數(shù)形結(jié)合的方式，可以幫助學(xué)生通過(guò)圖形來(lái)對(duì)幾何圖形以及函數(shù)的一些特點(diǎn)做出直觀地分析，利于解決問(wèn)題。

3.數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中應(yīng)用得好處

3.1 形成完整的數(shù)學(xué)概念:數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)步驟，也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的重要起點(diǎn)，是學(xué)生接觸數(shù)學(xué)問(wèn)題的第一步，也是學(xué)生形成思維的核心步驟，利用數(shù)形結(jié)合的思想可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念。

3.2 數(shù)形結(jié)合有利于培養(yǎng)學(xué)生的形象思維和抽象思維：數(shù)形結(jié)合豐富了表象的儲(chǔ)備,而表象的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可促進(jìn)形象思維發(fā)展，除此之外，還結(jié)合了代數(shù)與幾何，但任何的學(xué)習(xí)遷移都是通過(guò)概括這一思維過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)的,而數(shù)形結(jié)合在應(yīng)用的過(guò)程中,常常根據(jù)數(shù)量關(guān)系與圖形特征么間的聯(lián)系和規(guī)律,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化遷移到與之相應(yīng)的數(shù)的問(wèn)題,反之?dāng)?shù)的問(wèn)題也能轉(zhuǎn)化遷移到與之相應(yīng)的形的問(wèn)題上來(lái)。利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。[4]

3.3 數(shù)與形的結(jié)合有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維：在教學(xué)中，我們可以從數(shù)與形兩個(gè)方面突出我們所知與未知的關(guān)系，從而激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生新的想法、新的方法和新的問(wèn)題。鼓勵(lì)學(xué)生轉(zhuǎn)換現(xiàn)有的思維方式，探索和發(fā)現(xiàn)新的思維形式和方法，迸發(fā)創(chuàng)造性思維的火花。

4.數(shù)形結(jié)合應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的可行性策略

4.1 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境。所有的學(xué)科的學(xué)習(xí)都來(lái)源于生活，最后又回到生活。雖然動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題屬于幾何問(wèn)題范疇，但大多數(shù)問(wèn)題仍然可以從生活中選擇素材，立足于基礎(chǔ)，為學(xué)生創(chuàng)造出貼近學(xué)生生活的問(wèn)題情境，從而更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效果。要想很好的解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，就必須要學(xué)會(huì)分析圖形，然后回到主題去讀解題要求，理解所要求的問(wèn)題是什么，要對(duì)題干中關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的描述仔細(xì)閱讀理解，關(guān)注題中給予的圖形的特點(diǎn)，在草圖上指出信息，繪制一些更深入的問(wèn)題分析基本圖形，盡可能詳細(xì)地表示條件，特別是固定點(diǎn)，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向、速度、時(shí)間等表示出來(lái)，最后得到運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡。

4.2 探究動(dòng)點(diǎn)內(nèi)涵。教師在進(jìn)行動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題舉例時(shí)，應(yīng)自覺(jué)關(guān)注學(xué)生的興趣點(diǎn)，將動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中明顯存在的動(dòng)點(diǎn)與相對(duì)的“靜態(tài)”狀態(tài)要素有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，營(yíng)造良好和諧的課堂教學(xué)氛圍。在互動(dòng)式教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用扎實(shí)的基礎(chǔ)工作，在解決問(wèn)題的過(guò)程中嘗試建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用映射、演繹等方法確定變量之間的關(guān)系，在樣本條件相同的情況下是相對(duì)不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)分解問(wèn)題，并將受試條件歸納為相應(yīng)的問(wèn)題解決步驟，對(duì)每一步的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深入分析，以達(dá)到解決問(wèn)題的效果。[5]

4.3 在有理數(shù)的教學(xué)課程中引入數(shù)形結(jié)合思想。初中階段的數(shù)學(xué)研究對(duì)象都在有理數(shù)的范圍內(nèi),有理數(shù)的課程在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位。剛開(kāi)始接觸有理數(shù)時(shí).教師應(yīng)該讓每個(gè)學(xué)生都清楚的理解有理數(shù)的概念和意義。

4.4 在教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想,幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)框架。在傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)模式下,數(shù)學(xué)教師最擅長(zhǎng)灌輸式教學(xué)和題海戰(zhàn)術(shù),讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上麻木的接受理論知識(shí),在課下時(shí)間給學(xué)生布置大量的習(xí)題。這就導(dǎo)致一些創(chuàng)新能力低、思維不靈活的學(xué)生不會(huì)正確解答題目,他們不理解理論知識(shí)的本質(zhì)以及探究方式,當(dāng)題型稍微發(fā)生變化,學(xué)生就無(wú)法應(yīng)對(duì)新的題目。這種教學(xué)方法還不利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣,打擊了學(xué)生的數(shù)學(xué)自信心。在教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行授課,這不僅能幫助學(xué)生去真正理解數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)的概念和相.關(guān)性質(zhì),并將學(xué)過(guò)的知識(shí)靈活運(yùn)用,提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,為學(xué)生的做題和學(xué)習(xí)提供新的思路,開(kāi)闊新的數(shù)學(xué)眼界。所謂數(shù)形結(jié)合,就是數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)圖形相結(jié)合。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了讓數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更為直觀，教師應(yīng)注重通過(guò)“以形助數(shù)”教學(xué)方式指導(dǎo)學(xué)生快速解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，以更加直觀的數(shù)學(xué)解題方法，提高數(shù)學(xué)問(wèn)題解題正確率。比如這道題，A、B是射線0M、ON上兩動(dòng)點(diǎn),0M⊥ON,∠0AB和∠ABN的角平分線相交于點(diǎn)C.試問(wèn):在A、B兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,∠ACB的度數(shù)是否發(fā)生變化。為什么?在面對(duì)此類數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的解題思維是十分有效的，同學(xué)們可以通過(guò)畫(huà)出圖形來(lái)助力解題，如下圖所示如下圖所示：

圖3

當(dāng)面對(duì)晦澀難懂的題目時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想在幾何證明中的作用就顯現(xiàn)出來(lái)了。

總之，數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是將抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái),在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí),想到它的圖形,在研究圖形時(shí),利用代數(shù)性質(zhì)解決幾何問(wèn)題,這樣能夠啟發(fā)思維.找到解題之路。長(zhǎng)期進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思維的訓(xùn)練,學(xué)生久而久之就能構(gòu)建起完備的數(shù)學(xué)知識(shí)框架。觀察和測(cè)量等相關(guān)手段,對(duì)圖形的性質(zhì)、關(guān)系等問(wèn)題,比如線與線之間的關(guān)系,線與角的關(guān)系,進(jìn)行更深程度的探索,定性或者定量的分析問(wèn)題,提升課堂學(xué)習(xí)效果。

4.5 以形換數(shù),在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合的思想實(shí)際上是一種探究式的思想。為了提高教學(xué)質(zhì)量,增強(qiáng)教學(xué)效果,教師應(yīng)該在講課過(guò)程中把數(shù)形結(jié)合的思想傳遞給學(xué)生,學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中以及做數(shù)學(xué)題中自然而然的應(yīng)用這種思想,從不同的角度去探索問(wèn)題,解決問(wèn)題。學(xué)生在課上學(xué)習(xí)以及課下自學(xué)的時(shí)候,可以將數(shù)學(xué)題目用思維導(dǎo)圖的方式表達(dá)出來(lái),畫(huà)出圖解,更容易理清題意,整理思路。快速解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，以更加直觀的數(shù)學(xué)解題方法，提高數(shù)學(xué)問(wèn)題解題正確率。例如，在《不等式》一課教學(xué)時(shí)，為了能夠幫助學(xué)生深入理解不等式解集，教師應(yīng)遵從“以形助數(shù)”原則，運(yùn)用圖解法指導(dǎo)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題，以直觀、有效的表達(dá)方式向?qū)W生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)。

教師在指導(dǎo)學(xué)生們解決這樣一道問(wèn)題時(shí)，可以先通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生們求出不等式集是-1≤x<2,再重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出數(shù)軸上的不等式解集。如下所示:

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師通常采用長(zhǎng)篇大論的文字?jǐn)⑹龅姆绞街v解數(shù)學(xué)知識(shí),但是這種方式比較無(wú)聊,而且推理過(guò)程繁多容易出錯(cuò),學(xué)生不具備基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,很難獨(dú)立完成推理過(guò)程。利用數(shù)形結(jié)合思維可以幫助學(xué)生建立建良好的效李結(jié)合思想。

5.結(jié)語(yǔ)

總而言之,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想已經(jīng)深入初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)學(xué)老師可以把數(shù)形結(jié)合作為一種實(shí)用的教學(xué)方法,探索更高效.更符合現(xiàn)代學(xué)生的數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法,把數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)具體化、簡(jiǎn)單化,從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)自信心,提升初中生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,讓初中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量有質(zhì)的飛躍。