數形結合法在初中數學中考動點問題中的應用研究

郭逢博

(甘肅省臨夏市第一中學 甘肅 臨夏 731100)

數學學科的實踐性和應用性很強,因此在教學中要培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。而數學學科本身也有很大的挑戰(zhàn),要想學好數學,高效解決數學問題,就必須要有高效的解題方法,要有完善的思維基礎,教師在日常數學課堂的教學過程中,要對學生進行一系列的合理的數學思維的培養(yǎng),還有面對數學問題時高效合理的數學思想的教育,教師要想盡辦法在完善學生思維能力的同時還要讓學生有正確良好的數學學習習慣。因此行之有效的數學解題思維是非常重要的,此時數形結合的優(yōu)勢便顯現(xiàn)了出來。

1.動點問題的意義

動點問題,就是在題設圖形中存在一個或多個在線段、直線上運動的點的一類開放性題目,因為涉及到動點問題靈活度也比較高,因此,解決這類問題主要是要將一切動點問題全部靜點化。以不動應萬變是最理想的境界，可以自如的靈活的運用數學知識來將這些數學問題解決。初中動點問題一直以來都是學生們的噩夢，是難中之難的數學問題，以至于大部分學生看到動點問題都會下意識的產生放棄的心里，懷疑自我認為自己不行，認為自己肯定解不出來答案。所以說動點問題對于初中生而言是重要的考題但也是難題所在，因此對于動點問題的解答應該采用更高效易懂的數學方法。[1]因為動點問題一方面考查了圖形變換中的知識點,另一方面又包括了三角函數等知識,覆蓋題型范圍大，所以很多學生都不能成功解決這類考題。因此也要求教師結合學生的實際學習情況,進行針對性的教學，排除學生解答過程中出現(xiàn)的問題,幫助學生在掌握相關知識的同時,鍛煉學生解題能力。教師在課堂上應當為學生制定與其學習水平及理解能力相適應的指導,幫助學生攻克這一難關。

2.數形結合的含義

2.1 數形結合的概念。數形結合所利用的是數與形之間存在一種對應關系,這種關系可以讓數和形彼此轉化,這樣在解決數學難題的過程中,很多問題可以借助這一原理得到更加便捷的解決方式,同時很多知識抽象而難以理解,若是進行數與形的轉化,理解起來就會更加簡單,是初中數學課上至關重要的思想方法。運用這種思想,實際上就是考察結論和條件的聯(lián)系。將這種聯(lián)系用數軸或者圖形進行表達,這樣可以將幾何以及代數問題解決,解題效率更高,同時結果會更加準確。數形結合就是既要將其代數意義分析透徹,也要將其中的幾何意義挖掘出來,這樣數量與空間就能結合在一起,讓解題思路更加清晰。[2]

2.2 數形結合的意義和作用

2.2.1 數形結合是數學領域中一個非常重要的概念，在解決數學問題中起著不可替代的作用。可以是很多高度抽象的問題的視覺表達形式。這樣，初中生就可以更方便地理解數學問題的本質，有效地降低了解決問題的難度。靈活運用這一思路，很多非常復雜的問題會變得非常簡單，解決問題的思路會更加多樣化，初中生的數學能力會得到顯著提高。

2.2.2 數形結合有利于培養(yǎng)學生的思維方式。在清楚地理解什么是“數與形的結合”之前，我們首先應該清楚地知道什么是“數”和“形”。數與形之間存在什么樣的聯(lián)系，在什么情況下，“數”與“形”可以相互轉化，等等，我們通常稱這種聯(lián)系和轉化為“數形結合”。運用數形結合的概念思考問題，可以使學生頭腦中復雜的數學公式和概念直觀化，通過圖形表達數與數的關系，可以更好地解決學生抽象的問題。這種思維方式，不僅可以應用于數學教學范疇，還可以廣泛應用于其他教學領域，這是激發(fā)學生思維的好方法，可以讓學生以正確的方式思考，面對復雜抽象的問題，用簡單的圖形簡化思維方式，快速得到解決方案。

2.2.3 數與形的結合是數學思想的重要組成部分。目前，有很多數學思想的應用是非常關鍵的，掌握這些數學思想，可以讓學生更容易地解決問題，找到數學學習的方法。常見的數學思想有數形組合思想、等價變換方法、函數與方程思想等。這些數學思想使用不同的條件，但它們代表一種數學思想，一種解決問題的思想。其中，最重要的是數形結合。顧名思義，數形結合的思想是將數性問題與形性問題結合起來。因為數學本身是一門由數字、字母和圖形組成的學科，所以在教學中，數字與圖形密不可分，圖形與數字密不可分。近年來，數形結合在初中數學教學中得到了廣泛的應用，并取得了較好的效果。例如，在計算追逐問題和遭遇問題時，僅僅依靠問題中給出的數字是不夠的，通過顯示信息的意圖來解決問題要方便得多。這使得數字和形式的使用與理念相結合。[3]

2.2.4 數學核心素養(yǎng)是包括很多東西的，不是用一兩句簡單的話語就可以來進行解釋的。但是從總體上看，數學核心素養(yǎng)是關于數學知識與基本能力、數學方法與邏輯思維、數學思維與靈活運用的結合。因此，數學核心素養(yǎng)幾乎涵蓋了數學教學的所有內容，在初中數學教學中具有重要意義。隨著新課程改革的深入，數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)變得越來越重要。教師逐步擺脫了傳統(tǒng)的教學模式，把“學”與“用”充分結合起來，這是最重要的理念。數與形的結合只是數學核心素養(yǎng)中非常關鍵的一部分。當很多學生解決問題時，代數問題就是代數問題，幾何問題就是幾何問題，他們沒有意識到把這兩個問題放在一起思考，這是非常錯誤的。作為教師，我們應該培養(yǎng)學生的這種意識，當他們習慣了它，它就成為一種素質，這是數學的核心素質。

2.3 數形結合思想的主要體現(xiàn)。

2.3.1 建立適當的代數模型。有些數學問題往往是復雜的不易懂得，因此我們要借助有效的解題方式去解題數學問題。我們要把數形結合的思維擴展到建立不等式、函數以及方程的模型，這樣才利于掌握題型規(guī)律,以便更好的解題復雜的數學動點問題。

2.3.2 解決幾何問題和函數問題。幾何問題以及和函數問題在初中學習中是非常常見且重要的，在中考中壓軸的題也是從這兩類中出現(xiàn)，是很多學生學習數學的瓶頸。但是數形結合的方式，可以幫助學生通過圖形來對幾何圖形以及函數的一些特點做出直觀地分析，利于解決問題。

3.數形結合在初中數學動點問題中應用得好處

3.1 形成完整的數學概念:數學概念是學習數學的基礎步驟，也是培養(yǎng)數學思維的重要起點，是學生接觸數學問題的第一步，也是學生形成思維的核心步驟，利用數形結合的思想可以幫助學生理解數學概念。

3.2 數形結合有利于培養(yǎng)學生的形象思維和抽象思維：數形結合豐富了表象的儲備,而表象的運動過程可促進形象思維發(fā)展，除此之外，還結合了代數與幾何，但任何的學習遷移都是通過概括這一思維過程來實現(xiàn)的,而數形結合在應用的過程中,常常根據數量關系與圖形特征么間的聯(lián)系和規(guī)律,把問題轉化遷移到與之相應的數的問題,反之數的問題也能轉化遷移到與之相應的形的問題上來。利于培養(yǎng)學生的思維能力。[4]

3.3 數與形的結合有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維：在教學中，我們可以從數與形兩個方面突出我們所知與未知的關系，從而激發(fā)學生產生新的想法、新的方法和新的問題。鼓勵學生轉換現(xiàn)有的思維方式，探索和發(fā)現(xiàn)新的思維形式和方法，迸發(fā)創(chuàng)造性思維的火花。

4.數形結合應用到初中數學動點問題的可行性策略

4.1 創(chuàng)設問題情境。所有的學科的學習都來源于生活，最后又回到生活。雖然動點問題屬于幾何問題范疇，但大多數問題仍然可以從生活中選擇素材，立足于基礎，為學生創(chuàng)造出貼近學生生活的問題情境，從而更好地激發(fā)學生的學習興趣，提高學習效果。要想很好的解決數學學習中的動點問題，就必須要學會分析圖形，然后回到主題去讀解題要求，理解所要求的問題是什么，要對題干中關于動點問題的描述仔細閱讀理解，關注題中給予的圖形的特點，在草圖上指出信息，繪制一些更深入的問題分析基本圖形，盡可能詳細地表示條件，特別是固定點，將點的運動方向、速度、時間等表示出來，最后得到運動點的軌跡。

4.2 探究動點內涵。教師在進行動點問題舉例時，應自覺關注學生的興趣點，將動點問題中明顯存在的動點與相對的“靜態(tài)”狀態(tài)要素有機地聯(lián)系起來，激發(fā)學生的學習興趣，營造良好和諧的課堂教學氛圍。在互動式教學中，教師應指導學生運用扎實的基礎工作，在解決問題的過程中嘗試建立數學模型，運用映射、演繹等方法確定變量之間的關系，在樣本條件相同的情況下是相對不動點問題，在教學過程中引導學生自覺分解問題，并將受試條件歸納為相應的問題解決步驟，對每一步的知識點進行深入分析，以達到解決問題的效果。[5]

4.3 在有理數的教學課程中引入數形結合思想。初中階段的數學研究對象都在有理數的范圍內,有理數的課程在初中數學教學中占有重要地位。剛開始接觸有理數時.教師應該讓每個學生都清楚的理解有理數的概念和意義。

4.4 在教學中體現(xiàn)數形結合思想,幫助學生建立數學框架。在傳統(tǒng)的初中數學模式下,數學教師最擅長灌輸式教學和題海戰(zhàn)術,讓學生在數學課堂上麻木的接受理論知識,在課下時間給學生布置大量的習題。這就導致一些創(chuàng)新能力低、思維不靈活的學生不會正確解答題目,他們不理解理論知識的本質以及探究方式,當題型稍微發(fā)生變化,學生就無法應對新的題目。這種教學方法還不利于培養(yǎng)學生對數學的興趣,打擊了學生的數學自信心。在教學過程中運用數形結合進行授課,這不僅能幫助學生去真正理解數學教材中出現(xiàn)的概念和相.關性質,并將學過的知識靈活運用,提高學生分析問題、解決問題的能力,為學生的做題和學習提供新的思路,開闊新的數學眼界。所謂數形結合,就是數學問題與數學圖形相結合。在初中數學教學中，為了讓數學問題變得更為直觀，教師應注重通過“以形助數”教學方式指導學生快速解決數學問題，以更加直觀的數學解題方法，提高數學問題解題正確率。比如這道題，A、B是射線0M、ON上兩動點,0M⊥ON,∠0AB和∠ABN的角平分線相交于點C.試問:在A、B兩點的運動過程中,∠ACB的度數是否發(fā)生變化。為什么?在面對此類數學問題時，利用數形結合的解題思維是十分有效的，同學們可以通過畫出圖形來助力解題，如下圖所示如下圖所示：

圖3

當面對晦澀難懂的題目時，數形結合思想在幾何證明中的作用就顯現(xiàn)出來了。

總之，數形結合的實質是將抽象數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來,在解決代數問題時,想到它的圖形,在研究圖形時,利用代數性質解決幾何問題,這樣能夠啟發(fā)思維.找到解題之路。長期進行數形結合思維的訓練,學生久而久之就能構建起完備的數學知識框架。觀察和測量等相關手段,對圖形的性質、關系等問題,比如線與線之間的關系,線與角的關系,進行更深程度的探索,定性或者定量的分析問題,提升課堂學習效果。

4.5 以形換數,在教學中運用數形結合思想。數形結合的思想實際上是一種探究式的思想。為了提高教學質量,增強教學效果,教師應該在講課過程中把數形結合的思想傳遞給學生,學生在學習數學中以及做數學題中自然而然的應用這種思想,從不同的角度去探索問題,解決問題。學生在課上學習以及課下自學的時候,可以將數學題目用思維導圖的方式表達出來,畫出圖解,更容易理清題意,整理思路。快速解決數學問題，以更加直觀的數學解題方法，提高數學問題解題正確率。例如，在《不等式》一課教學時，為了能夠幫助學生深入理解不等式解集，教師應遵從“以形助數”原則，運用圖解法指導學生解決實際問題，以直觀、有效的表達方式向學生呈現(xiàn)數學知識。

教師在指導學生們解決這樣一道問題時，可以先通過帶領學生們求出不等式集是-1≤x<2,再重點引導學生畫出數軸上的不等式解集。如下所示:

在傳統(tǒng)數學教學中,教師通常采用長篇大論的文字敘述的方式講解數學知識,但是這種方式比較無聊,而且推理過程繁多容易出錯,學生不具備基本的數學運算能力,很難獨立完成推理過程。利用數形結合思維可以幫助學生建立建良好的效李結合思想。

5.結語

總而言之,數形結合的數學思想已經深入初中數學教學中,數學老師可以把數形結合作為一種實用的教學方法,探索更高效.更符合現(xiàn)代學生的數形結合教學方法,把數學中的難點和重點具體化、簡單化,從而激發(fā)學生的數學思維和對數學的學習興趣,增強學生的數學自信心,提升初中生分析問題和解決問題的能力,讓初中數學的教學質量有質的飛躍。