基于Drucker-Prager 準則的含瓦斯水合物煤體強度準則研究

高 霞，孟 偉，張保勇

（1.黑龍江科技大學 建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150022；2.商丘工學院 土木工程學院，河南 商丘 476000；3.黑龍江科技大學 安全工程學院，黑龍江 哈爾濱 150022）

煤與瓦斯突出機制表明，煤與瓦斯突出是地應力、瓦斯壓力及煤體自身力學性質三者綜合作用的結果[1]。Wu 等[2]和高霞[3]提出利用瓦斯水合固化技術防治煤與瓦斯突出并通過試驗初步證實瓦斯水合物的生成降低了瓦斯壓力，提高了煤體的強度，有利于煤與瓦斯突出的防治。利用水合物技術預防煤與瓦斯突出的關鍵之一在于深入了解含瓦斯水合物煤體的力學性質。然而，煤礦開采處于復雜應力條件中，且圍壓對于壓縮強度影響顯著，煤體某處的應力狀態超過強度準則確定的臨界應力狀態，此時煤體將發生破壞。Drucker-Prager（D-P）破壞準則[4]很好地反應了一些巖土材料壓力敏感的破壞特性，這一破壞準則為基礎研究巖土材料的軟化提供思路[5]。目前，基于D-P 準則的含瓦斯水合物煤體強度尚未有報道，國內外部分學者對基于D-P 準則的巖石強度進行了研究，證明了M-C 準則和D-P 準則中強度參數換算公式有很多種[6-8]，按不同換算公式計算求極限載荷甚至相差4～5 倍[9]，考慮不同程度中間主應力的影響，與M-C 準則相比，并結合軟件數值模擬，確定了D-P 準則更能保證工程實踐的安全性[5,10-14]。鑒于此，對高飽和度含瓦斯水合物煤體變形破壞過程中的強度變化規律深入研究，初步根據其試驗結果研究D-P 準則中壓力相關系數變化，同時，分析常用的M-C 準則和D-P 準則對于常規三軸壓縮下含瓦斯水合物煤體強度的適用性，為利用瓦斯水合固化原理預防煤與瓦斯突出提供理論依據。

1 試驗概況

采用含瓦斯水合物煤體原位生成與力學性質測定一體化裝置[3]，裝置由水合固化反應釜、三軸壓縮系統、恒溫控制箱、氣體增壓系統、數據采集系統組成。含瓦斯水合物煤體力學性質原位測試裝置如圖1。

圖1 含瓦斯水合物煤體力學性質原位測試裝置Fig.1 In-situ test device for the physical properties measurement of gas hydrate-coal mixture

煤樣選自桃山礦，型煤直徑50 mm，高100 mm；試驗所用氣體為純度99.99%的CH4，由哈爾濱黎明氣體有限公司提供；試驗所用水為自制蒸餾水。試驗主要包括飽和度為50%、60%、70%、80%的煤樣分別在圍壓為4、5、6 MPa 下進行常規三軸壓縮試驗。設備參數、試樣制備與具體試驗步驟詳見文獻［3］。

2 試驗結果

通過常規三軸壓縮試驗獲得飽和度分別為50%、60%、70%、80%，圍壓分別為4、5、6 MPa 時含瓦斯水合物煤體的應力-應變特征曲線。由于篇幅所限，不同飽和度相同圍壓下的應力-應變曲線的變化規律相似，因此，只展開對含瓦斯水合物煤體在飽和度為80%圍壓分別為4、5、6 MPa 時常規三軸壓縮破壞過程中的應力-應變曲線進行詳細分析，含瓦斯水合物煤體應力-應變曲線關系如圖2。

圖2 含瓦斯水合物煤體應力-應變曲線關系Fig.2 Stress-strain curves relationship of gas hydrate-coal mixture

從圖2 可以看出，高飽和度下含瓦斯水合物煤體試驗過程中應力-應變曲線呈應變軟化型，可大致分為3 個階段：①應力-應變曲線近似線性關系的彈性階段，應變幾乎均在2%內的變形階段；②應力-應變曲線開始向下彎曲，偏離直線階段的屈服階段；③應力超過峰值后的破壞階段，隨著應變的增加，軸向應力在不斷減小，最終應力隨著應變的增加趨于平緩。含瓦斯水合物煤體三軸力學試驗強度參數見表1。

從表1 可以看出，飽和度和圍壓對含瓦斯水合物煤體的峰值強度影響較大，高飽和度下含瓦斯水合物煤體峰值強度隨著圍壓的增大不斷增加。由于篇幅所限，選取飽和度為50%和80%進行詳盡分析。在飽和度為50%，圍壓分別在4、5、6 MPa 時，煤樣的峰值強度增量分別為2.07、1.47 MPa，增幅分別為35.03%、18.42%；在飽和度為80%，圍壓分別為4、5、6 MPa 時，煤樣的峰值強度增量分別為3.25、4.69 MPa，增幅分別為37.27%、39.18%。分析可知，在同一飽和度下，隨著圍壓的增加含瓦斯水合物煤體的峰值強度不斷增加。此外，在圍壓分別為4、5、6 MPa 下，飽和度越高，含瓦斯水合物煤體的峰值強度越大且其增量越大，可見在飽和度為80%、圍壓從4 MPa 升至6 MPa 時，峰值強度從8.72 MPa 升到16.66 MPa，增量為7.94 MPa，增幅為91.06%。分析可得，飽和度越高，即水合物生成越多，含瓦斯水合物煤體承受破壞能力越強。

表1 含瓦斯水合物煤體三軸力學試驗強度參數Table 1 Strength parameters of gas hydrate-coal mixture in triaxial mechanical test

通過同時考慮圍壓和飽和度2 種因素發現，含瓦斯水合物煤體的峰值強度隨著圍壓和飽和度的增大而增大，因此，為了明確飽和度和圍壓對峰值強度的耦合關系，預測峰值強度隨飽和度和圍壓的變化趨勢，建立飽和度和圍壓與峰值強度的多元方程。

式中：σy為峰值強度，MPa；z0為常數；a、b、d、g、l為回歸系數；σ3為圍壓，MPa；Sh為飽和度，%。

不同圍壓和飽和度下含瓦斯水合物煤體峰值強度的多元方程擬合結果如圖3。

基于圖3 中的相關數據，利用多元回歸方程分析方法，可確定多元回歸方程的回歸系數。

圖3 不同圍壓和飽和度下含瓦斯水合物煤體峰值強度的多元方程擬合結果Fig.3 Results of peak strength of gas hydrate-coal mixture under different pressures and saturation

對多元回歸方程進行檢驗，得到R2為0.989 4，說明回歸方程與試驗數據擬合度較好，能表達圍壓、飽和度與峰值強度之間的關系。分析認為，圍壓和飽和度對含瓦斯水合物煤體強度影響較大，即圍壓對煤樣具有壓密作用[15]，圍壓越大，壓密作用越明顯，煤樣內部微裂隙閉合程度和顆粒之間的作用越緊密，圍壓越大，峰值強度越大。已有對含水合物沉積物的研究發現，水合物生成對其賦存介質的黏聚力有明顯的提升作用，水合物的生成對煤樣黏聚力具有提升作用[16]，因此，隨著圍壓和飽和度的增加，即水合物不斷生成，同時在圍壓不斷增大的情況下，含瓦斯水合物煤體的峰值強度整體上呈上升趨勢。

3 煤巖變形破壞過程中強度準則

3.1 Mohr-Coulomb 準則

利用Mohr-Coulomb 強度理論（簡稱M－C 準則），含瓦斯水合物煤體的強度準則可以寫成主應力形式：

式中：σ1為第1 主應力，MPa；σc為單軸壓縮下的抗壓強度，MPa；m 為圍壓σ3對軸向承載力的影響系數，無量綱。

根據三軸壓縮極限應力圓可用黏聚力和內摩擦角表示[17]：

式中：c 為黏聚力，MPa；φ 為內摩擦角，（°）。

因此，由式（2）可得黏聚力與內摩擦角：

3.2 Drucker-Prager 準則

Drucker-Prager 準則[4]是Mises 準則在主應力空間中的推廣，體現了靜水壓力和中間主應力的作用。

式中：f 為強度準則判斷條件，當f=0 時煤體處于臨界狀態；K1、K2為材料常數，僅與內摩擦角和黏聚力有關；I1為應力第1 不變量，MPa；J2為應力偏量第2 不變量，MPa2。

式中：σ2為第2 主應力，MPa。

K1、K2可以由內摩擦角和黏聚力確定：

4 強度準則的適用性

4.1 Mohr-Coulomb 準則

分別針對12 組含瓦斯水合物煤體的試驗數據進行擬合，將采用有效圍壓數值σe，見式（8）。

式中：σe為有效圍壓，MPa；p 為氣壓，取3.7 MPa。

將含瓦斯水合物煤體在飽和度分別為50%、60%、70%、80%和有效圍壓分別為0.3、1.3、2.3 MPa下的三軸壓縮試驗數據代入式（8），得到式（9）中第1 主應力σ1與有效圍壓σe之間的擬合關系。

M-C 準則下含瓦斯水合物煤體強度擬合關系如圖4。

圖4 M-C 準則下含瓦斯水合物煤體強度擬合關系Fig.4 Fitting curves of gas hydrate-coal mixture strength under M-C criterion

為預測第1 主應力σ1隨有效圍壓σe的變化趨勢，基于M-C 準則建立了不同飽和度下第1 主應力與有效圍壓之間的線性回歸方程：

基于圖4 相關數據，得到當Sh=50%，R2=0.992 6；Sh=60%，R2=0.994 5；Sh=70%，R2=0.991 2；Sh=80%，R2=0.986 0，可見相關系數擬合很好，說明擬合公式較為合理。根據擬合所得數據，將其代入式（3），得到含瓦斯水合物煤體強度特征參數，不同強度準則下含瓦斯水合物煤體強度參數見表2。

表2 不同強度準則下含瓦斯水合物煤體強度參數Table 2 Characteristic parameters of the gas hydrate-coal mixture under different criteria

4.2 Drucker-Prager 準則

將含瓦斯水合物煤體在不同高飽和度和有效圍壓下獲得的常規三軸壓縮試驗數據代入式（10）得到基于D-P 準則下之間的擬合關系，由此得到的D-P 準則下含瓦斯水合物煤體強度擬合關系如圖5。

圖5 D-P 準則下含瓦斯水合物煤體強度擬合關系Fig.5 Fitting curves of gas hydrate-coal mixture strength under D-P criterion

基于圖5 中的相關數據，得到當Sh=50%，R2=0.986 6；Sh=60%，R2=0.996 8；Sh=70%，R2=0.996 4；Sh=80%，R2=0.993 4，可見相關系數擬合很好，說明擬合公式較為合理。

分析表2 可知，在飽和度為50%、60%、70%、80%，有效圍壓為0.3、1.3、2.3 MPa 下，M-C 準則和D-P 準則下的黏聚力、內摩擦角值相差不大，且隨著飽和度的增加內摩擦角呈線性增大；擬合度R2均在0.98 以上，可見采用M-C 準則與D-P 準則下的相關系數擬合很好，說明擬合公式較為合理，可以進行預測常規三軸壓縮下含瓦斯水合物煤體在圍壓和高飽和度耦合作用下的強度變化規律。

4.3 M-C 與D-P 準則對比

采用經典M-C 與D-P 準則，分別對12 組含瓦斯水合物煤體的試驗數據進行擬合。為驗證計算所得三軸抗壓強度的準確性，將模型計算結果與實測三軸壓縮強度進行對比。因此，采用強度絕對誤差，見式（11）：

式中：σT為強度計算值，MPa。

含瓦斯水合物煤體破壞試驗值與不同準則理論值見表3。

表3 含瓦斯水合物煤體破壞試驗值與不同準則理論值Table 3 Test values and theoretical values of different criteria of gas hydrate-coal mixture

從表3 可知，M-C 強度理論進行計算與實測下含瓦斯水合物煤體常規三軸壓縮強度具體數值接近，絕對誤差的平均值為2.33%，其理論值與試驗值絕對誤差均小于10%，最大絕對誤差為6.77%，最小相對誤差為0.81%。對D-P 準則而言，所得高飽和度下含瓦斯水合物煤體常規三軸壓縮強度下絕對誤差的平均值為2.23%，其理論值與試驗值的絕對誤差均小于5%，最大絕對誤差為3.66%，最小絕對誤差為0.92%，說明采用D-P 準則中壓縮錐求理論值相對穩定，所得理論值與試驗值相差更小，較為適用高飽和度下含瓦斯水合物煤體壓縮強度預測。

5 結 論

1）不同飽和度、圍壓下含瓦斯水合物煤體的應力-應變曲線均呈應變軟化型。含瓦斯水合物煤體的峰值強度在圍壓和飽和度的耦合作用下，隨著圍壓和飽和度的增加而增加，建立飽和度和圍壓與峰值強度的多元方程，較好地預測了峰值強度隨飽和度和圍壓的變化趨勢。

2）針對高飽和度下含瓦斯水合物煤體，且與MC 強度準則進行對比，得到黏聚力、內摩擦角值差距較小；相對而言，D-P 強度準則下的峰值強度與試驗值強度絕對誤差比M-C 準則下的要小，說明D-P準則在高飽和度下含瓦斯水合物煤體中更為適用。