試題命制“五步走”

丁益民

摘要：在一次市級高一數學期末聯考命題中，命制了一道解答題。從人教A版高中數學必修第一冊《指數函數與對數函數》一章中一道與雙曲函數有關的恒等式證明題出發，經歷了從“原型”到“雛形”、從“雛形”到基本“定形”、推敲打磨細節、設置參考答案、“再次讀題，調整表述”的過程，加入了數學文化情境，擴大了考查范圍，完善了細節內涵，保證了科學嚴謹。

關鍵詞：試題命制;教材;雙曲函數;數學文化

本文系江蘇省蘇州市前瞻性項目“新時代教育評價改革背景下的精準測評研究”的階段性研究成果。教學離不開評價，評價常常以測試的形式進行量化。新高考評價體系下，如何命題是重要的研究課題。前不久，筆者參加了一次市級高一數學期末聯考命題工作，命制了一道解答題。現以該題為例，談談試題命制的基本過程。

一、從“原型”到“雛形”

試題命制通常會在“原型”（如陳題、情境、素材等）的基礎上進行加工。為了確保命題不“走偏”，以教材中的題為“原型”是一個比較可靠、適切的做法。這是因為教材中的例、習題往往具有較強的基礎性、典型性與示范性。“用教材命題”，一方面可以引導教師重視“用教材教”，另一方面可以充分挖掘教材中典型素材的教學功能。而現實的情況是，在很多單元、期中或期末測試中，由教材例、習題改編而成的試題占比不高;在教學中，教材時常處于一種可有可無、形同虛設的尷尬地位。因此，“用教材命題”是新高考背景下評價教學質量的重要途徑，更是糾偏教學中“輕教材、重教輔”現象的有效舉措。

本次命題考查的范圍是人教A版高中數學[根據《普通高中數學課程標準（2017年版）》編寫的教材，也是目前蘇州市高一、高二學生使用的教材]必修第一冊中的所有知識。命題之初，筆者認真研讀了該冊教材中的所有例、習題，憑借自己的認知和經驗，挑選了一些有研究價值的題目作為“原型”。其中包括第四章《指數函數與對數函數》復習參考題的第6題：

這道題的訓練點是指數運算法則以及乘法公式。但如果挖掘下去，就知道f（x）、g（x）分別是雙曲正弦函數和雙曲余弦函數，即著名的懸鏈線函數，而要證的結論則是與雙曲函數有關的幾個相對簡單的恒等式（類似于三角恒等變換的幾個基本公式），進而可以挖出與之相關的數學史素材。華志遠.高中數學文化校本選修課的基本樣態——以《函數與數學文化》一課為例[J].教育研究與評論（中學教育教學），2022（1）：33。同時，收集往年的高考題和模擬題，也發現了雙曲函數的“身影”，如2014年江蘇高考數學卷第19題、2015年湖北高考文科數學卷第21題等，均以雙曲函數為函數載體。考慮到雙曲函數的數學文化屬性，在試題情境方面，采用簡明扼要的數學文化知識敘述來呈現。這就有了試題的“雛形”：

如圖1，懸索橋的外觀大氣漂亮，它的圖形是平面幾何中的懸鏈線。1691年，萊布尼茨和伯努利推導出懸鏈線的方程為y=c2（exc+e-xc），其中c為參數。當c=1時，就是雙曲函數，其中雙曲余弦函數cosh x=ex+e-x2，雙曲正弦函數sinh x=ex-e-x2。

下列說法正確的是（）

A.函數y=sinh xcosh x為奇函數

B.cosh2 x-cos2 x=sinh2 x+sin2 x

C.函數y=cosh 2x+sinh x的最小值為78

D.對x∈0，π2，有cosh（cos x）>sinh （sin x）

這樣命制是基于三方面的思考。一是對學生而言，函數載體取自教材，測試背景是公平的，也能間接地反映平時的教學是否真正重視教材、研究教材。二是以數學文化情境呈現試題，運用數學史簡述雙曲函數的由來，對接新高考的命題風格，發揮數學文化在命題上的點綴功能。三是最重要的，即將指數運算、指數函數以及三角函數（在必修第一冊第五章）等基礎知識，通過運算、復合等手段整合在一起，考查學生對基礎知識和基本方法的掌握情況，進而考查學生的數學運算和邏輯推理等核心素養。四個選項分別考查代數運算、函數性質的不同方面：除了B選項繼續考查教材原題第1小題的雙曲函數恒等式之外，A選項實際上考查的是雙曲正切函數的奇偶性;C選項則既考查了教材原題第3小題和第1小題的雙曲函數恒等式，又在雙曲正弦函數與二次函數復合的基礎上，考查雙曲正弦函數的值域和二次函數的最值;D選項則在三角函數與雙曲函數復合的基礎上，考查正弦函數、余弦函數和指數函數的單調性以及相關的不等關系。

二、從“雛形”到基本“定形”

從“原型”到“雛形”，更多考慮知識范圍及考查內容。此后，需要重點關注學生能力與題型特點、考查要求，對“雛形”進行改造、確定，讓試題基本“定形”。

命題組成員認為，“雛形”中這種同一情境下“拼盤式”的多選題對學生的能力要求頗高，可能起不到很好的測試效果。首先，從題目本身來看，一些學生可能在選擇A選項后便“收工”了，這就導致B、C、D三個選項起不到預設的測試效果，進而影響試題的效度。其次，高一的學生對D選項的外在形式容易產生畏懼心理，可能會直接放棄;若進行嚴格的推斷，也具有一定的難度（需要分類討論，找到反例）。再者，四個選項均以運算、推演為主要的思維活動，若要完整地解答，需要較長的時間，這使得整道題難度、容量過大。鑒于此，命題組一致認為，應該將此題調整為解答題并適當減少考查點。

解答題的命制，首先要考慮各個小題的配置，既要有一定的難易梯度，還要有相對理想的區分度。一開始，我們為該解答題設計了以下三個小題：

（1）求證：cosh 2x=cosh2 x+sinh2 x;

（2）求函數y=cosh 2x+sinh x的最小值;

（3）求證：對x∈-3π4，π4，cosh （cos x）>sinh （sin x）。

第1小題就是教材原題的第3小題，繼續考查雙曲函數恒等式的證明，并且降低了難度（去掉了之前B選項中的三角函數式），定位是基礎題，考查學生運用指數運算法則進行數學運算的素養。第2小題由之前的C選項轉化而來，繼續考查通過雙曲函數之間的關系將原題轉化為二次函數的最值問題，定位是中檔題，考查學生數學運算及邏輯推理的素養。第3小題由之前的D選項轉化而來，并且基于結論“對x∈-3π4，π4，cos x>sin x”調整了變量的取值范圍（避免了分類討論），定位是難題，考查學生綜合運用知識進行邏輯推理的素養。

回過頭來看教材原題，我們發現，這樣的設計有些偏離了教材原題考查雙曲函數恒等式證明的初衷。而且，第1小題和第2小題分為兩小題，也在一定程度上割裂了它們之間的關聯：借助第1小題的雙曲函數恒等式，代換轉化第2小題的函數表達式，發現它是復合而成的二次函數，從而解決第2小題。另外，從設問的風格看，兩個證明題中夾著一個求最值題，顯得極不協調。

綜合考量這些問題，我們將上述第1小題和第2小題合并成試題基本“定形”的第1小題（自然，上述第3小題就成了試題基本“定形”的第2小題）：

請從下列三個結論中選擇一個進行證明，并求函數y=cosh 2x+sinh x的最小值;

①cosh2 x-sinh2 x=1;

②sinh 2x=2sinh xcosh x;

③cosh 2x=cosh2 x+sinh2 x。

這一調整也能體現開放設問的意味，可以滿足不同學生的答題需求，契合了新高考對新題型不斷探索與實驗的做法。

三、推敲打磨細節

試題命制基本完成后，需要對其中的一些細節，如數據的大小、條件的開放與限制等，進行推敲打磨，以追求更好的考查效果。

對于試題基本“定形”的第2小題，命題組成員提出：-3π4，π4這樣的范圍設計是否過于簡單（可以直接得出cos x>sin x）？是否可以擴大（保持結論成立）？如果可以擴大，擴大到哪里比較合適（高一學生能夠用所學的數學知識證明結論）？

為了找到合適的范圍，我們借助繪圖軟件作出了y=cosh （cos x）、y=sinh （sin x）的圖像（如圖2所示）。根據圖像，我們形成了“可以擴大變量的取值范圍，讓學生分類討論證明結論”的共識。同時，我們聯想到，2020年全國新高考適應性考試（八省聯考）數學卷的最后一道題也是指數函數與三角函數的組合題，也是分成兩段區間討論解決的，從而堅定了上述共識。

在此基礎上，我們先將范圍調整為-5π4，π4，但嘗試解答后發現，解答起來有點拖泥帶水，不夠簡潔;繼而將范圍調整至-π，π4，解答只需要進行兩次討論即可。

四、設置參考答案

推敲打磨細節后，還需要設置參考答案（解題過程），一來檢查題目是否可解、是否適合學生解答，二來給閱卷評分提供參考。設置參考答案時，我們的原則是盡可能從學生的角度出發思考。

試題基本“定形”的第1小題，解題思路比較清晰，解答過程也比較簡單。這里重點談談第2小題參考答案的設置。

作差法應該是學生首選的解題方法，因為作差法是研究不等關系最樸素、最基本的一種方法。于是，我們從作差比大小的角度探索解題思路。cosh（cos x）-sinh（sin x）=ecos x+e-cos x2-esin x-e-sin x2，下面的問題就是如何判斷符號。注意到四項中只有-esin x為負數，其余三項均為正數，將三個正數項與-esin x組合來判斷符號應該是自然的想法。

比如組合成12[（ecos x-esin x）+（e-cos x+e-sin x）]，就需要比較ecos x、esin x的大小，自然想到運用指數函數的單調性轉化成比較cos x、sin x的大小，這就需要分x∈-3π4，π4和x∈-π，-3π4兩種情況討論。當x∈-3π4，π4時，解題過程如下：

當x∈-3π4，π4時，cos x≥sin x，且y=ex在R上單調遞增，得ecos x≥esin x，即ecos x-esin x≥0。又e-cos x>0，e-sin x>0，得cosh （cos x）-sinh （sin x）>0，即cosh （cos x）>sinh （sin x）。

而當x∈-π，-3π4時，用上述組合無法判斷，可考慮重新組合（這正是思維的難點所在）。比如組合成12[（ecos x+e-cos x）+（e-sin x-esin x）]，只需要說明e-sin x>esin x。解題過程如下：

當x∈-π，-3π4時，sin x≤0，由y=ex的單調性，得e-sin x≥esin x，故cosh（cos x）>sinh （sin x）。

當然，也可以分x∈[-π，0）和x∈0，π4兩種情況討論，分別用上述組合處理。

此外，當x∈0，π4時（也是判斷試題“雛形”中D選項時的一種分類），也可以在復合函數的視角下審視函數變化的快慢以及最值，但這要求學生對常見函數（雙曲線型函數）有足夠的理解：

當x∈0，π4時，令t=esin x，s=ecos x，則t∈[1，e22]，s∈[e22，e]，由于12t-1t≤12e22-e-22，12s+1s≥12e22+e-22，所以cosh （cos x）>sinh （sin x）。

五、再次讀題，調整表述

最后，需要再次完整讀題，調整表述（力求完美）：既要逐字逐句地讀文字表述，對可能存在的歧義以及不嚴謹之處予以糾正，也要一一檢查數據、圖表，避免出現科學上的問題。

閱讀試題基本“定形”的題干時，我們發現，“它（懸索橋）的圖形是平面幾何中的懸鏈線”這樣的表述并不嚴謹，因為懸索橋不僅僅包括懸索，還有其他結構，于是將其調整為“懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線”。我們又發現，“當c=1時，就是雙曲函數，其中雙曲余弦函數cosh x=ex+e-x2，雙曲正弦函數sinh x=ex-e-x2”這樣的表述也不嚴謹，因為由推導出的懸鏈線方程，當c=1時只能得到雙曲余弦函數，于是將其調整為“當c=1時，該方程就是雙曲余弦函數cosh x=ex+e-x2。類似地，我們得到雙曲正弦函數sinh x=ex-e-x2”。

另外，對于本題中懸索橋的圖片，我們也花費了一定的心思：在網絡上找了很多圖片進行對比，從清晰度、美觀性和印刷影響等方面綜合考量，最終選定為圖3。