二階時滯方程的調和解穩定性分析

王雪

引 言

對于含有參數激勵的非線性動力系統是振動理論中的一類經典系統，對它的研究是極其豐富而又復雜的動力學行為，對此已經有了大量的研究[9].然而，對于含有參數激勵的非線性時滯動力系統的研究，相關的文獻較少，僅限于文獻[10][1]等少量工作.

本文用某些承受周期激勵的地震波和具有時滯彈性地基作用的結構為背景[2]，因為地基具有一定的長度，當彈性力在特定的時刻作用在物體上時沒有馬上導致物體活動狀態，而是必須經過固定的時間距離，在物體的加速度達到均衡狀態的時候，物體初步活動.在這個階段一定包含著時間滯后，同時，在處理相關實際難點的體系開展探索時，滯量是必須重視的.所以，去掉滯量就不能使精確度準確，嚴重的能引起體系紊亂，總而言之，最后的數學模型為：

x··-（α-βx·2）x·+x（t-τ）+γx3（t-τ）+（KcosΩt）x=0（1）

其中K=εL，L=1，2，3，…，ε是一個小參數.Ω≈2ω，t為時間，τ為時滯量，t>0，τ>0.

當γ=ε=0時，系統（1）的Hopf分支以及穩定性分析已經在文獻[8]中進行了研究，本文主要是研究在該系統存在Hopf分支的情況下，外加周期參數擾動時，調和解是否穩定的問題.本文主要運用多尺度分析的方法討論（1）中介紹的地震波方程在周期參數擾動下，仍然存在穩定的周期解的問題，并給出解的近似表達式.

一、調和解的存在性

對于系統（1）存在調和解：

定理1.1

ⅰ.當τγ1-β1>0，ατ-2>0，1-2σω>0 時，系統（1.1）存在調和解，

此時a=a01=16·-（τω2+α）ω2[（β1-τγ1）ω2+（β1ω2+αγ1）（1-ατ）]>0，b=b′01>0.

ⅱ.當ατ-1=0且τγ1-β1=0，且（1-2σω）（τα-2）同號時，系統（1.1）存在調和解，

此時a=a02=（τα-2）ω-σ[（τω2+α）2+ω2（τα-2）2]6[τβ1ω5+（2γ1+αβ1）ω3+α2γ1ω]>0，b=b′02>0.

ⅲ.當1-2σω<0，ατ-2>0，τγ1-β1>0時，系統（1.1）存在調和解，

此時a=a03=a01>0，b=b03=b′01>0.

二、調和解的穩定性定理

記f（a，b）=ma+（n+σ2）b+6（-mQ-nP）a2b+6（mP-nQ）ab2+6（mP-nQ）a3+6（-nP-mQ）b3，

g（a，b）=（n-σ2）a-mb+6（mP-nQ）a2b+6（mQ+nP）ab2+6（nP+mQ）a3+6（mP-nQ）b3.

則有：

f（a，b）a=m+12（-mQ-nP）ab+6（mP-nQ）b2+18（mP-nQ）a2，

f（a，b）b=（n+σ2）+6（-mQ-nP）a2+12（mP-nQ）ab+18（-nP-mQ）b2，

g（a，b）a=（n-σ2）+12（mP-nQ）ab+6（mQ+nP）b2+18（nP+mQ）a2，

g（a，b）b=-m+6（mP-nQ）a2+12（mQ+nP）ab+18（mP-nQ）b2.

當a=a>0，b=b=0時，

f（a，b）aa=a*

b=b*=m+18（mP-nQ）a2，

f（a，b）ba=a*

b=b*=（n+σ2）+6（-mQ-nP）a2，

g（a，b）aa=a*

b=b*=（n-σ2）+18（nP+mQ）a2，

g（a，b）ba=a*

b=b*=-m+6（mP-nQ）a2.

得到雅可比陣記為A=m+18（mP-nQ）a2 （n+σ2）+6（-mQ-nP）a2（n-σ2）+18（nP+mQ）a2 -m+6（mP-nQ）a2

其特征方程為A-λE=m+18（mP-nQ）a2-λ （n+σ2）+6（-mQ-nP）a2（n-σ2）+18（nP+mQ）a2 -m+6（mP-nQ）a2-λ=[m+18（mP-nQ）a2-λ][-m+6（mP-nQ）a2-λ]-[（n+σ2）+6（-mQ-nP）a2][（n-σ2）+18（nP+mQ）a2]=λ2-[24（mP-nQ）a2]λ+[12n2P-12m2P+36mnQ+12σnP+6σmQ]a2+108（mP-nQ）a4+108（-mQ-nP）（nP+mQ）a4-m2-n2-σ24.

由一元二次方程求根公式λ=-b±b2-4ac2a，

其中a=1，

b=-24（mP-nQ）a2，

c=[12n2P-12m2P+36mnQ+12σnP+6σmQ]a2+108（mP-nQ）a4+108（-mQ-nP）（nP+mQ）a4-m2-n2-σ24.

當b=-24（mP-nQ）a2>0，即mP-nQ<0時，λ就有實部小于零的根，此時系統的調和解是穩定的.對調和解的討論中滿足mP-nQ<0，在此條件下的調和解是穩定的.其他兩個條件下的調和解是不穩定的.

于是有

定理2.1 當1-ατ=ε>0即mP-nQ<0時，系統（3.1）存在穩定的調和解，

此時a=a02=（τα-2）ω-σ[（τω2+α）2+ω2（τα-2）2]6[τβ1ω5+（2γ1+αβ1）ω3+α2γ1ω]>0，b=b′02>0.

三、調和解的近似表達式

由x0（T0，T1）=A（T1）eiωT0+cc ，其中A=A（T1）=[a（T1）+ib（T1）]eiσT12

得x0（T0，T1）=[a（T1）+ib（T1）]eiσT12eiωT0+cc =（a+ib）cos（σ2T1）+isin（σ2T1）cos（ωT0）+isin（ωT0）+cc =（a+ib）[cos（σ2T1）cos（ωT0）+icos（σ2T1）sin（ωT0）+isin（σ2T1）cos（ωT0）-sin（σ2T1）sin（ωT0）]+cc =2a[cos（σ2T1）cos（ωT0）-sin（σ2T1）sin（ωT0）]-2b[cos（σ2T1）sin（ωT0）+sin（σ2T1）cos（ωT0）] =2acos（ωT0+σ2T1）-2bsin（ωT0+σ2T1）.

再由D02x1-αD0x1+x1（T0-τ，T1）=A3e3iωT0（-γ1e-3iωτ+iβ1ω3）+12Aei（3ω+εσ）T0，

可解得：x1（T0，T1）.

于是經過參數激勵后，系統（3.1）仍能得到穩定的調和解：

x（t）=x0（T0，T1）+εx1（T0，T1）+o（ε2）.

【參考文獻】

[1]K Gopalsamy.Stability and Oscillations in Delay Differenlial Equations of Population Dynamics[M].Kluwer Academic Publishers，1992.

[2]戴護軍，徐鑒.時滯對于參數激勵系統周期運動的影響[J].力學季刊，2004（9）：36-37.

[3]馬知恩.種群生態學的數學建模與研究[M].合肥：安徽教育出版社，1996.

[4]白萍.一類中立型時滯系統的周期運動的近似解[J].數學的實踐與認識，2008，38（16）：163-168.

[5]劉延柱.陳立群.非線性振動[M].北京：高等教育出版社，2001.

[6]岳錫亭.一類二階時滯神經網絡系統穩定區域的劃分及Hopf分支分析[J].黑龍江大學自然科學學報，2006（4）：236-240.

[7]張錦炎.常微分方程幾何理論與分支問題[M].北京：北京大學出版社，1981.

[8]張萍.岳錫亭.一類時滯系統的Hopf分支計算及穩定性分析[J].長春工業大學學報自然科學版，2010（4）：374-378.

[9]張偉，陳予恕.含有參數激勵非線性動力系統的現代理論發展[J].力學進展，1998，28（1）：1-16.

[10]Plaut R H，Hisen J C.Nonliear structural vibrations involing a time delay in daming[J].

Journal of Sound and Vibration，1987，117（3）：495-510.