數(shù)值計(jì)算在求解帶電體電勢(shì)教學(xué)中的應(yīng)用

何 沛 張 鑫

（ 1.銅陵學(xué)院，安徽 銅陵 244061 2.池州學(xué)院，安徽 池州 247000 ）

一、前言

電勢(shì)作為電學(xué)中最基礎(chǔ)的物理量之一， 其求解方法有兩種： 一種是根據(jù)帶電體在空間所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，通過(guò)電勢(shì)的定義，直接積分獲得空間任意一點(diǎn)的電勢(shì)。 若取無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，則空間任意點(diǎn)P 的電勢(shì)為[1]，

由于電場(chǎng)是矢量， 該積分計(jì)算需要將電場(chǎng)沿坐標(biāo)軸進(jìn)行分解， 將其在各坐標(biāo)軸上的分量進(jìn)行積分運(yùn)算，計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜。

另一種求解電勢(shì)方法為根據(jù)電勢(shì)疊加原理，將連續(xù)帶電體分割成很多電荷元，每個(gè)電荷元在空間P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為[2,3]，

其中r 為電荷元到P 點(diǎn)之間距離，則帶電體在P點(diǎn)處所產(chǎn)生的電勢(shì)為：

對(duì)于規(guī)則均勻帶電體，式(2)中的積分計(jì)算易于求解。 但對(duì)非均勻帶電體則需要采用數(shù)值計(jì)算方法。

如圖1 所示的均勻帶電圓環(huán)，其半徑為R，帶電量為Q，圓環(huán)電荷線密度為λ。 現(xiàn)計(jì)算帶電圓環(huán)在圓環(huán)中心O 點(diǎn)，以及圓環(huán)內(nèi)任意一點(diǎn)p（x,y）處產(chǎn)生的電勢(shì)。

圖1 均勻帶電圓環(huán)示意圖

對(duì)于圓環(huán)中心O 點(diǎn)的電勢(shì)， 因圓環(huán)上所有點(diǎn)到達(dá)O 的點(diǎn)距離均為帶電圓環(huán)的半徑R，即式(2)中的r等于R，

上述積分計(jì)算比較簡(jiǎn)便， 但對(duì)圓環(huán)內(nèi)任意一點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢(shì)計(jì)算， 根據(jù)連續(xù)帶電體在空間產(chǎn)生電勢(shì)計(jì)算公式(2)，可得P（xp,yp）處的電勢(shì)

若該帶電圓環(huán)所帶的電荷在圓環(huán)上并非均勻分布，則式(2)積分將變得更加復(fù)雜。 因此需要采用數(shù)值計(jì)算進(jìn)行求解近似解。下文將對(duì)帶電圓環(huán)在圓環(huán)內(nèi)任意一點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為例，介紹數(shù)值求解過(guò)程，并將數(shù)值解與解析解比較分析。

二、均勻帶電圓環(huán)電勢(shì)解析解與數(shù)值解比較分析

（一）電勢(shì)解析求解

P（xp，yp）點(diǎn)處的電勢(shì)式(4)解析解求解如下，荷元在p 點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢(shì)之和。 基于此，首先將連續(xù)帶電體作離散處理， 用離散分布的電荷替代連續(xù)帶電體。將帶電圓環(huán)分為N 等份，每個(gè)等份點(diǎn)上分布帶電量為電荷， 則P 點(diǎn)電勢(shì)為N 個(gè)帶電量為的點(diǎn)電荷在p 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)疊加，即。當(dāng)N 取值很大時(shí)， 該電勢(shì)可近似代替均勻帶電圓環(huán)在p 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)。

根據(jù)輔助角三角變換公式，以及二倍角公式，代入（5）得：

若帶電圓環(huán)帶電均勻，則式(7)可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)，由于帶電圓環(huán)帶電均勻即電荷分布具有對(duì)稱(chēng)性，為了計(jì)算方便，可以選取Op 為x 軸，則圓環(huán)內(nèi)任意一點(diǎn)p(xp，0)所產(chǎn)生的電勢(shì)，

如圖2 顯示的是N=4 時(shí)， 整個(gè)圓環(huán)被4 等份，等分點(diǎn)分別為A1（xA1，yA1），A2（xA2，yA2），B1（xB1，yB1），B2（xB2，yB2），每個(gè)等分點(diǎn)上的電荷量為Q/4，每個(gè)等分點(diǎn)P 到達(dá)點(diǎn)的距離分別用rA1、rA2、rB1、rB2表示， 每個(gè)等分點(diǎn)上的電荷在p 點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢(shì)分別用φA1、φA2、φB1、φB2，則p 點(diǎn)的電勢(shì)為各等分點(diǎn)在P 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)之和，可得點(diǎn)P 的電勢(shì)為，通過(guò)上述的同樣推導(dǎo)過(guò)程可得式(7)的等效式，

圖2 帶電圓環(huán)等效四等分點(diǎn)

根據(jù)積分公式以及第一類(lèi)非完全橢圓積分公式[4]

當(dāng)N 取值很大時(shí)， 上述解可近似代替均勻帶電圓環(huán)在P 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)。

如圖3 所示的是帶電量為Q， 半徑為R=1 的均勻帶電圓環(huán)在點(diǎn)p (0.2,0) 處產(chǎn)生的電勢(shì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果。 x 軸對(duì)應(yīng)的是圓環(huán)的等分?jǐn)?shù)，y 軸對(duì)應(yīng)的是p 點(diǎn)的電勢(shì)φp與Q/4πε0的比值。 解析解p 點(diǎn)的電勢(shì)與Q/4πε0的比值為1.010，282，3。 通過(guò)圖3 可以看出，隨著圓環(huán)等分?jǐn)?shù)N 的增加，p 點(diǎn)的電勢(shì)與Q/4πε0的比值數(shù)值解逐漸收斂于1.010，3。

圖3 不同N 值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)電勢(shì)計(jì)算值

所有單位取國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)單位制， 當(dāng)xp=0.2m，yp=0m，R=1m 通過(guò)查表計(jì)算可得，

（二）電勢(shì)數(shù)值求解

下面介紹均勻帶電圓環(huán)所產(chǎn)生電勢(shì)的數(shù)值解法。 根據(jù)電勢(shì)疊加原理可知，p 點(diǎn)的電勢(shì)等于所有電

三、復(fù)雜非規(guī)則帶電面板電勢(shì)數(shù)值計(jì)算

如圖4 所示的平面帶電體。 假設(shè)其電荷面密度為σ=1C/m2。求解空間點(diǎn)P(0.5,0.25,1)處產(chǎn)生的電勢(shì)。基于上述數(shù)值計(jì)算思想， 需要將連續(xù)的面電荷離散到有限網(wǎng)格面上， 并將該網(wǎng)格面電荷集中在網(wǎng)格中心以點(diǎn)電荷代替該網(wǎng)格面電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)， 最后進(jìn)行疊加計(jì)算得到數(shù)值解。 具體如下：

圖4 非規(guī)則均勻帶電體及網(wǎng)格劃分

對(duì)帶電體進(jìn)行網(wǎng)格劃分，結(jié)果如圖4 所示，計(jì)算出每個(gè)三角形重心到P 點(diǎn)的距離， 根據(jù)點(diǎn)電荷在空間一點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)φp=q/4πε0r，累加計(jì)算可得P 點(diǎn)電勢(shì)的數(shù)值解

四、開(kāi)孔平行電極板間電勢(shì)數(shù)值計(jì)算及分析

開(kāi)孔電極板在靜電除塵[5]中具有重要的應(yīng)用且靜電區(qū)內(nèi)的電場(chǎng)直接影響靜電除塵效率[6]，因此多孔電極板間的電場(chǎng)電勢(shì)研究對(duì)多孔極板的設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。 下面利用上述介紹的數(shù)值計(jì)算方法研究不同結(jié)構(gòu)的電極板間電勢(shì)分布情況。

多孔極板幾何結(jié)構(gòu)如圖5 所示， 九孔直徑均為10mm，極板幾何尺寸為100mm×100mm。 兩極板之間的距離為10mm。 兩極板均勻帶電，電荷面密度分別為σ，-σ。

圖5 多孔平行板電極結(jié)構(gòu)

采用三角形網(wǎng)格對(duì)極板劃分并采用電勢(shì)疊加計(jì)算得YZ 面電勢(shì)分布如圖7 所示。

改變圖6 極板的孔徑大小,數(shù)值計(jì)算兩極板間的等勢(shì)線，其分布如圖7 所示。

圖6 多孔平行板電極YZ 面等勢(shì)線分布圖

圖7 平行板電極YZ 面等勢(shì)線分布圖

由圖7 可知隨著極板上孔徑的減小， 兩極板之間的等勢(shì)線與無(wú)開(kāi)孔平行板之間等勢(shì)線差距逐漸減小。 取z 軸為2mm 處的電勢(shì)值進(jìn)行比較結(jié)果如圖8所示。

圖8 平行板電極YZ 面在Z=2mm 處的電勢(shì)

由圖8 可知在Y=0mm 處，各電勢(shì)相差較大。 無(wú)孔平行板在該處的， 其它孔徑在該處的數(shù)值如表1 所示。

表1 不同孔徑在Y=0mm,Z=2mm 處電勢(shì)

由圖8 可知， 有限大平行板間的電勢(shì)呈現(xiàn)中間強(qiáng)兩側(cè)弱的分布。 取無(wú)孔平行板Y=0mm, Z=2mm 處電勢(shì)的90%作為上限和下限值， 可以得到在離平板中心約80%的區(qū)間內(nèi)具有較好的均勻性， 且在以平板為中心的60%區(qū)間內(nèi)，電勢(shì)僅有約4%的下降。 而在平板兩端的邊界區(qū)電勢(shì)的下降可達(dá)中心電勢(shì)的50%。 由此可知在有限大平行板的實(shí)際使用中，邊界區(qū)電勢(shì)均勻性較差， 應(yīng)盡可能使用中心區(qū)域60%-80%面積。

對(duì)于極板開(kāi)孔大小對(duì)電勢(shì)分布的影響如表1 所示，隨著電極板開(kāi)孔直徑的減小，兩極板間的電勢(shì)與無(wú)孔平行極板之間的電勢(shì)變化減少， 在孔直徑為8mm 時(shí)， 其產(chǎn)生的電勢(shì)與無(wú)孔平行板電極產(chǎn)生的電勢(shì)相差27.6%。在孔直徑為2mm 時(shí)，其產(chǎn)生的電勢(shì)與無(wú)孔平行板電極產(chǎn)生的電勢(shì)僅相差2.7%。 由此看出平行板上的小孔徑開(kāi)孔對(duì)極板間電勢(shì)分布影響較小。 上述結(jié)果也可以用在對(duì)電極板上開(kāi)孔布置朗繆爾探針[7]測(cè)量?jī)蓸O板間的等離子體相關(guān)參數(shù)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中。 為開(kāi)孔電極板間的電勢(shì)分布計(jì)算提供數(shù)值解法。

五、結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)均勻帶電圓環(huán)內(nèi)任意一點(diǎn)的電勢(shì)計(jì)算為例，介紹其數(shù)值計(jì)算方法，并對(duì)其結(jié)果與解析解進(jìn)行比較分析。 在此基礎(chǔ)上介紹了數(shù)值方法計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)帶電體在空間產(chǎn)生的電勢(shì)，這為加深學(xué)生對(duì)數(shù)值計(jì)算意義的理解具有重要的意義。 其次文中采用數(shù)值方法研究了不同開(kāi)孔數(shù)量和孔徑大小對(duì)多孔平行板的電勢(shì)分布影響，得到在多孔且小孔徑的條件下只會(huì)有限的改變不開(kāi)孔時(shí)平行板空間電勢(shì)分布的結(jié)論。 這一結(jié)論也為采用朗繆爾探針測(cè)量極板間等離子體參數(shù)裝置的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供一定的理論指導(dǎo)。