考慮經濟相關性的復雜二維保修裝備組合維修策略

董恩志, 程中華, 王榮財

(1. 陸軍工程大學石家莊校區, 河北 石家莊 050003;2. 河北省機械設備狀態檢測與評價重點實驗室, 河北 石家莊 050003)

0 引 言

隨著新軍事技術和理論不斷創新,一大批性能先進、系統性強的復雜裝備陸續列裝部隊。在列裝部隊的復雜裝備中,有大量裝備的壽命受日歷時間、使用程度等因素的共同影響,即過久的使用時間或過高的使用強度都會加快裝備部件的退化速度。二維保修服務所涵蓋的變量數量通常包括日歷時間和使用程度,如某型高炮有長達3年與250 000公里的二維保修期。復雜裝備的編配極大提高了部隊的作戰效能,但由于部隊難以在短時間內形成自主保障能力,因此完全依靠建制力量完成復雜裝備的維修保障面臨較大困難。將承制單位這一地方維修保障力量納入新型復雜裝備的維修保障體系之中的方式,在實際運作過程中缺乏具體的決策技術支持,使部隊在裝備保修期內的保修成本支出較大,保修效果不夠理想。

除此之外,復雜裝備大多技術先進、內部結構復雜,包含眾多多部件系統,保修服務通常針對多部件系統展開。多部件經濟相關是指對系統部件的維修工作進行組合后,系統的保修費用高于或低于分別保修費用之和。

本文選擇串聯多部件系統為研究對象,在保修期內若孤立地對各單部件進行維修,會出現頻繁停機等情況,浪費維修資源,增加預防性維修準備費用的支出,因此采用恰當的組合維修策略可大幅縮減其保修期內的保修費用。

本文的研究目標是使保修期內的保修費用最低,若達到此要求,則表明本文所建立的模型有效。保修期內保修費用的影響因素包括保修方式和維修策略。保修方式包括一維保修、二維保修等;維修策略包括修復性維修、預防性維修、組合維修等。本文擬采取的保修方式為二維保修,采取的維修策略為不完美預防性維修與組合維修。在實例分析部分,通過與其他保修方式或維修策略下的保修費用比較,驗證本文所建立模型的優越性。本文結合裝備保障實際,研究了二維預防性維修服務下新型復雜裝備組合維修策略,用以降低保修期內部隊的保修費用,減少軍地雙方的利益沖突,優化保修效果。

1 二維保修研究現狀分析

1.1 二維保修決策模型研究現狀

二維保修的特征是保修期包含日歷時間與使用程度兩個變量,通?？捎啥S平面上的一塊區域表示,保修政策會引起保修區域形狀的變化,Wang等詳細梳理了二維保修政策及其對應的保修區域形狀。二維保修的研究思路一般為:先確定二維保修區域,然后將其劃分為若干子區域,確定各子區域的維修方式,以保修費用、可用度、費效比等為目標建立優化模型。文獻[10-13]等都按照上述思路進行研究,依據不同的優化目標進行建模。近幾年,二維保修研究又呈現出一些新的趨勢:Peng等開發了一個隨機動態的維修模型,隨機和動態使用率直接影響預防性維修決策;文獻[15]為雙渠道(線上與線下)銷售廠家制定了一種使用價值風險方法同時優化二維保修政策和定價。在充分考慮了保修服務對象異質性的基礎上,文獻[16-19]為不同客戶量身定做二維保修服務;文獻[20-22]在二維保修服務中采用預防性維修措施,用以降低保修費用,提高可用度。從歷史索賠數據中獲取關鍵信息作為建模的依據,文獻[23-25]研究了數據驅動的二維保修決策模型。通過文獻回顧可以看出,當前對二維保修的研究越來越關注消費者的利益訴求與產品的多樣性,也逐步凸顯了保修數據的重要性。此外,由于預防性維修能夠預防故障或故障的嚴重后果,減少因故障停機造成的損失,也越來越受到研究者的重視。

但是,當前對于復雜多部件系統二維保修策略的研究較少,在一定程度上脫離了工程實踐。

1.2 多部件系統經濟相關性研究現狀

針對復雜多部件系統的經濟相關性問題,學者們從不同角度開展研究:文獻[26]提出了一種考慮經濟依賴和狀態依賴檢查間隔的多狀態串并聯系統維修優化方法;針對具有隨機和經濟相依關系的兩部件系統,文獻[27]提出了一種基于狀態的維修策略模型; Dao等探索了部件經濟相關的多狀態串并聯系統的選擇性維修策略的制定:決策者可以根據維修目標、資源可獲得性以及每個部件的維修時間和成本,選擇不同的部件進行維修以降低維修成本;蘇春等考慮了風力機部件之間的經濟相關性,基于更新過程理論建立狀態維修策略下長期運行平均成本率模型,分析出多部件系統最優檢測周期。文獻[30]考慮了多部件串聯系統的維修分組方法,在維修時間與維修人員均有限并隨時間變化的條件下得到系統最優的維修計劃。文獻[31]提出一種退化狀態空間劃分方法，用于具有經濟相關性的相同多部件系統的機會維修建模,為具有相同部件的多部件系統的維修優化提供了一種新的廣義建模方法?？梢钥闯?復雜多部件系統的保修研究中,多部件之間的經濟相關性較為受研究者關注,分別從不同角度給出維修工作的組合策略,但是,這些研究都是采用的一維保修方式,考慮經濟相關性的二維保修策略的研究很少。文獻[32]為了降低二維保修期內的保修費用,將多部件的預防性維修工作進行了組合優化,研究區分了用戶和廠家進行預防性維修的修復因子,而在實際中開展預防性維修經常由用戶或廠家獨立進行,這種聯合開展的情況較少。除此之外,該研究缺乏與其他保修方式或維修策略的對比分析,導致模型的優劣難以直觀體現出來。

針對現有研究的不足,本文研究包含多部件系統的復雜裝備的二維預防性維修策略,并在此基礎上考慮多部件系統的經濟相關性,研究二維預防性維修策略下串聯多部件系統組合維修策略。通過建立單部件二維預防性維修費用模型,得到使保修費用最低的最優預防性維修間隔期,將不同部件之間的預防性維修工作進行組合,重新設置各單部件的預防性維修間隔期,降低保修期內部隊的保修費用。本文可為二維預防性維修服務下復雜裝備組合維修策略的制訂提供科學依據與定量化分析方法。

2 模型描述與假設

2.1 模型描述

本文以串聯多部件系統為研究對象,部件按照間隔(0,0)進行預防性維修。其中，0表示部件在時間維度的預防性維修間隔期,0表示部件在使用程度維度的預防性維修間隔期。部件使用時間和使用程度有一個達到0或0則開展預防性維修。以二維保修期(,)內單部件預防性維修費用模型為基礎,借助預防性維修基準間隔期,將各單部件預防性維修工作組合優化,用以降低串聯多部件系統保修的費用。

2.2 模型假設

(1) 復雜裝備的某子系統由若干單部件串聯組成。

(2) 各單部件均是可修部件,具有隨時間和使用度兩個維度同時退化的特性,故障率隨使用期限增加而增加。

(3) 對各單部件執行定期預防性維修,全部由承制單位執行,維修程度為不完美維修,每次預防性維修之前都需支付一定的預防性維修準備費用,用 表示,部件單次預防性維修費用為。

(4) 相對于保修期長度,維修時間很短,忽略不計。

(5) 部件在兩次不完美預防性維修間隔期之間故障后實行最小維修,全部由承制單位執行,部件單次最小維修費用為。

(6) 串聯多部件具有相同的使用率分布,()為部件使用率的概率密度函數,其概率累積分布函數為()。

(7) 系統內多部件之間具有經濟相關性,在同一時刻進行多個部件的預防性維修工作,只需繳納一次預防性維修準備費用。如果孤立地開展各個部件預防性維修工作,會導致系統頻繁停機,產生大量的預防性維修準備費用。各個部件的預防性維修工作組合之后,將會減少系統的停機次數,減少預防性維修準備費用的繳納,保修期內的保修費用支出將會減少。

3 模型構建

3.1 故障率模型

一般來說,系統的可靠性與使用率關系密切,在設計階段,可靠性指標是在一定的使用強度下設計的,因此在使用階段,使用率的變化必然會導致可靠性及故障函數的變化?；诖?本文在加速失效時間(accelerated failure time, AFT)模型的基礎上構建部件的故障率函數。Lawless利用AFT的概念和比例風險模型來構造使用率對系統故障的影響,該方法具有一定的理論基礎且應用較為成熟。

假設和分別表示在設計使用率和使用率下首次故障的時間,則其關系可表示為

(1)

假設(;,)為在設計使用率下的累計故障分布函數。其中,設計使用率下故障分布的尺度參數和形狀參數分別用和表示。在使用率為時,系統累計故障分布函數與設計使用率下系統的累計故障分布函數有形式相同,但是尺度參數發生了變化:

(2)

其中,AFT參數≥1?；诖?使用率為時系統的累計故障分布函數可以表示為

(3)

由于形狀參數不隨使用率的變化而改變,因此在以下表達式中將其省略。使用率為時系統的故障率函數為

(4)

(5)

3.2 單部件二維預防性維修費用模型

本文采取的維修策略為:在預防性維修間隔期內的故障采取最小維修,部件最小維修后故障率不變;預防性維修為不完美預防性維修,部件在維修后介于“修復如新”與“修復如舊”之間。本文運用“虛擬工齡方法”對不完美預防性維修進行建模,其基本思想為:預防性維修降低了部件或系統的故障率,提高了系統或部件的性能,如同部件或系統的年齡向前推移了一段時間。引入改善因子(用表示)描述不完美預防性維修的效果。假設部件的改善因子受部件的實際工齡、不完美預防性維修間隔期0和單次不完美預防性保修費用的影響,則改善因子可表示為

(6)

第次不完美預防性維修后,部件或系統的故障率下降到維修前0時的故障率,因此,部件或系統的故障率為

(7)

其中,(;)表示部件在使用率下的第次與第+1不完美預防性維修之間的故障率函數。圖1演示了部件進行不完美預防性維修時故障率函數的變化情況。

圖1 不完美預防性維修下故障率變化Fig.1 Failure rate change under incomplete preventive maintenance

圖1中,表示部件在第次不完美預防性維修后的虛擬工齡。由于裝備的保修期限是二維的,即(,),預防性維修間隔期不是確定值,因此由預防性維修間隔期導出的使用率0存在不確定性,建模時應分兩種情況討論,分別是0≤與0>。

(8)

因為實際使用時使用率不是定值,因此保修期限會出現不同情況。具體來說,當實際使用率較低時,如圖2中所示,保修期限為[0,);當實際使用率較高時,如圖2中所示,保修期限為[0,)。

圖2 不同使用率對應的保修期限Fig.2 Warranty period corresponding to different usage rates

基于不同的保修期限,不完美預防性維修的次數又有4種情況,如表1所示。其中，int表示向下取整。

表1 不同期限下不完美預防性維修次數

(1) 當0≤時。如圖3所示,在這種情況下又要區分≤0,0<≤和>3種不同情況。部件的預防性維修間隔為0，在二維保修期下部件的預防性維修次數為。

圖3 二維不完美預防性維修周期(r0j≤rW)Fig.3 Two-dimensional incomplete preventive maintenance cycle (r0j≤rW)

部件的期望保修費用包括兩部分:總預防性維修費用和總故障后維修費用,分別用和 表示。當≤0時,保修期內部件期望保修費用為

= +=(+ )·+

(9)

當0<≤時,部件的預防性維修間隔期為0,在二維保修期下預防性維修次數為。保修期內部件的期望保修費用為

= +=(+ )·+

(10)

當>時,部件的預防性維修間隔期為0,在二維保修期下預防性維修次數為。保修期內的期望保修費用為

= +=(+ )·+

(11)

那么,在保修期(,)內,當0≤時,部件的總期望保修費用:

(12)

其中,1為部件使用率的下限;為部件使用率的上限。

(2) 當0>時。如圖4所示,當≤時,部件的維修間隔期為0,在二維保修期下預防性維修次數為。

圖4 二維不完美預防性維修周期(r0j>rW)Fig.4 Two-dimensional incomplete preventive maintenance cycle (r0j>rW)

部件的期望保修費用為

= +=(+ )·+

(13)

當<≤0時,部件的維修間隔期為0,在二維保修期下完整的預防性維修次數為。裝備的期望保修費用為

= +=(+ )·+

(14)

當>0時,部件的預防性維修間隔期為0,在二維保修期下預防性維修次數為。部件的期望保修費用為

= +=(+ )·+

(15)

那么在二維保修期(,)內,當0>時,部件的總期望保修費用為

(16)

綜合考慮以上兩種情況,在保修期(,)內,當部件使用率服從一定的分布()時,在二維不完美預防性維修下,部件的總期望保修費用為

(17)

(18)

預防性維修組合之前,多部件系統的保修費用就是各單部件最優保修費用相加,即

(19)

3.3 多部件系統二維預防性組合維修費用模型

由于每一次預防性維修都需要投入固定的準備費用,因此如果將各單部件預防性維修工作進行組合,可以減少二維保修期內多部件系統停機的總次數,降低預防性維修所需投入的準備費用。

基于此,引入預防性維修基準間隔期(,),分別為所有單部件最優預防性維修時間間隔期和使用程度間隔期的最小值,即

(20)

(21)

其中,[·]表示四舍五入后取整。

圖5給出時間維度預防性維修工作組合優化的示意圖。

圖5 各部件預防性維修時刻優化Fig.5 Optimization of preventive maintenance time for components

(22)

4 實例分析

批量列裝部隊的某新型防空導彈武器系統,其導彈發射車的動力裝置屬于二維保修串聯多部件系統,可看作由3個單部件組成。在設計使用率下,單部件的累積故障分布函數為

(;)=1-exp[-()]

(23)

在使用率為時,單部件的累積故障分布函數為

(24)

單部件的故障率函數為

(25)

保修期內由承制單位對多部件系統內各單部件執行預防性維修,每次執行預防性維修部隊都需要繳納一定的維修準備費用,任一單部件出現故障,都會導致系統故障,部件之間存在經濟相關性。對該動力裝置各單部件預防性維修工作進行組合優化,實現降低保修費用的目標。該動力裝置具有二維保修期，日歷時間維度的保修期為3年，行駛里程維度的保修期為3×10公里。最低使用率為01×10公里年,最高使用率為10×10公里年。該動力裝置使用率服從雙參數威布爾分布,即:

(26)

其中,為尺度參數;為形狀參數。其他參數如表2所示。

表2 參數設置

采用數值解法對單部件的二維預防性維修費用進行計算,具體的算法流程如圖6所示。

圖6 單部件二維預防性維修費用算法流程圖Fig.6 Flow chart of single component two-dimensional preventive maintenance cost algorithm

如圖6所示,令0以步長01年在[01年,3年]內取值,0以步長01萬公里在[01萬公里,3萬公里]內取值,分別計算每一組(0,0)對應的保修費用(,),并儲存。最終生成900組(0,0),分別對應不同的保修費用值。

圖7 各部件保修費用變化趨勢Fig.7 Trend of warranty cost of each component

對各部件保修費用的變化趨勢進行降維分析,研究某一維度的預防性維修間隔確定時,保修費用隨另一維度預防性維修間隔期的變化趨勢,如圖8所示。圖8(a)與圖8(d)、圖8(b)與圖8(e)、圖8(c)與圖8(f)分別代表部件1～3,圖8(a)～圖8(c)展示了0取不同值時,各單部件保修費用隨0的變化情況,圖8(d)～圖8(f)展示了0取不同值時,保修費用隨0的變化情況。

圖8 各部件保修費用變化降維分析Fig.8 Dimension reduction analysis of each component warranty cost

通過圖8可以看出,單部件的保修費用隨著預防性維修間隔期的變化而變化。固定任一維度的預防性維修間隔期,都存在另一維度上的最優預防性維修間隔期使部件的保修費用達到最低。對于部件2與部件3而言,當兩個維度上的預防性維修間隔期都較小時,部件在保修期內進行的預防性維修次數變多,因此會產生較大的保修費用。當固定時,部件1的保修費用隨的增加呈現先減少后增加的趨勢,這主要是因為部件1的故障率與部件2和部件3相比較大,若長時間不進行預防性維修會增加修復性最小維修的費用,進而導致保修期內部件的保修費用增加。

4.1 采取一維保修與二維保修方式保修費用對比

引言中提到,影響保修期內保修費用的因素包括保修方式與維修策略,本文所采取的保修方式為二維保修。本節將對一維保修與二維保修下的保修費用進行對比,用以驗證二維保修下預防性組合維修策略的優越性。兩種保修方式下的維修策略相同,即均采取預防性組合維修策略。兩種保修方式保修費用的對比如表3所示。

表3 一維保修與二維保修方式下保修費用對比

通過表3可以看出,如果該多部件系統采取一維保修方式,即僅在時間維度上考慮預防性維修工作,那么預防性維修基準間隔期為0.3年,組合后的保修費用為66 758元;如果該多部件系統采取二維保修方式,預防性維修基準間隔期分別為0.4年和1.5萬公里,組合后的保修費用為58 998.5元。結果表明,采取二維保修方式可以節省部隊保修期內的保修費用。

4.2 有無預防性維修措施的保修費用對比

保修期內,若對各個部件不采取預防性維修措施,僅在故障后進行修復性最小維修,則各個部件在二維保修期內的保修費用可分別求出,將其與采取預防性維修措施的最優保修費用進行對比,結果如表4所示。

表4 有無預防性維修措施的保修費用對比

通過表4可知,在保修期內采取預防性維修措施后,部件1與部件2的保修費用都有了明顯降低,其中部件1的保修費用降低最為明顯,降幅高達75.03%,部件3加入預防性維修措施后保修費用有所提高。但總體來看,保修期內該動力裝置的保修費用降低了63.31%,這表明預防性維修可以降低保修期內的故障發生的概率,極大地削減保修費用。

4.3 組合維修前后保修費用對比

按照第3.3節中的模型對多部件預防性維修工作進行組合,并計算組合后保修費用。將組合前后的保修費用進行對比,如果嚴格執行各部件的預防性維修計劃,那么在保修期內串聯多部件系統保修總費用為6.44萬元。按照提出的組合優化方法對各單部件的預防性維修工作進行組合,串聯多部件系統的保修費用為5.9萬元,費用比優化之前降低8.37%,表明該組合優化方法可以降低該動力裝置的保修費用。

根據第3.3節中的模型可知,與優化前相比,各單部件的預防性維修不再是周期性的,轉而以基準預防性維修間隔期的整數倍執行,在使用時間維度上,系統共執行7次預防性維修。在使用程度維度上,系統共進行2次預防性維修。在不同使用率下,單部件執行預防性維修的時刻和使用程度如表5和表6所示,表中“+”表示執行預防性維修,“-”表示不執行預防性維修。

表5 各部件預防性維修時刻

表6 各部件預防性維修使用度

各部件的預防維修工作進行組合后,當各部件的實際使用率小于等于0時,保修期的截止期限先在日歷時間維度到達。當部件1的使用率小于等于5×10公里年時,需要在日歷時間維度上進行7次不完美預防性維修;當部件2的使用率小于等于107×10公里年時,需要在時間維度上進行2次不完美預防性維修;部件3的使用率小于等于1×10公里年時,需要在時間維度上進行1次不完美預防性維修。其中,在4與7時刻,即16年與28年時,3個部件需要共同進行預防性維修。

由表6可知,各部件的預防維修工作進行組合后,當各部件的實際使用率大于0時,保修期的截止期限先在使用程度維度到達。具體來說,當部件1的使用率大于5×10公里年時,需要在使用程度維度進行1次不完美預防性維修;當部件2的使用率大于107×10公里年時,需要在使用程度維度進行1次不完美預防性維修;當部件3的使用率大于1×10公里年時,需要在使用程度維度進行2次不完美預防性維修。當裝備使用程度達到時,即動力裝置的使用程度達到15×10公里時,3個部件需要共同進行預防性維修。通過表6和表7可以看出,依據不同的使用率,各部件在時間維度或使用度維度按一定間隔執行預防性維修工作,表明該優化方法可為制定動力裝置組合維修方案提供參考依據。

5 結 論

本文研究了復雜二維保修裝備的組合維修策略,針對包含串聯多部件系統的復雜裝備,以保修期內保修費用最低為目標,在單部件二維預防性維修費用模型的基礎上,引入預防性維修基準間隔期,通過調整各單部件的預防性維修時刻,將各單部件的預防性維修工作進行組合,建立了串聯多部件系統二維預防性組合維修費用模型。以某新型防空導彈武器系統導彈發射車動力裝置為例進行分析,結果表明,采取組合維修策略后該動力裝置的二維保修費用明顯降低,充分驗證了組合維修策略的有效性。本文建立的預防性維修組合優化模型可為復雜裝備的二維保修方案制定提供理論和技術支持?？紤]到部隊對于裝備可用度要求較高,下一步需要對具有經濟相關性的復雜二維保修裝備進行可用度優化研究。