基于大地坐標系的IMM航空器短期航跡外推

湯新民, 鄭鵬程

(南京航空航天大學民航學院, 江蘇 南京 211106)

0 引 言

隨著空域內航空器密度的增加,管制員的負荷不斷增加,當管制員負荷高于一定水平之后,空域內產生運行不安全事故的可能性會大大增加。對于在航路運行的航空器,飛行員的工作內容少、工作負荷低,因此,如果在航路飛行階段將部分間隔保持責任由管制員移交給飛行員,可以在降低管制負荷的同時保證運行安全。

將間隔保持責任轉移到飛行員的前提是該空域范圍內的航空器具有感知周圍環境態勢的能力,在當前及可預見的未來一段時間內,航空器能夠通過廣播式自動相關監視(automatic dependent surveillance-broadcast, ADS-B)的接收功能(簡稱為ADS-B-IN)獲取周圍航空器的狀態信息,但目前沒有關于飛機廣播意圖信息的技術規范,所以難以獲取周圍航空器的意圖信息,而周圍航空器的意圖信息使得本機能夠預測他機在未來一段時間內的軌跡,若在計算間隔保證策略時能夠獲得他機的意圖信息,將會極大地提升間隔保持策略的安全與效率。因此,需要根據航空器的歷史狀態信息推測航空器的意圖信息,并根據航空器的意圖信息進行外推,得到航空器在未來一段時間的外推航跡。

單運動模型跟蹤算法在跟蹤目標發生機動時會產生跟蹤模型的失配問題,交互式多模型 (interacting multiple model, IMM)算法是在廣義偽貝葉斯基礎上提出的一種具有馬爾可夫轉移概率的算法,IMM算法考慮了目標可能處于的多種運動狀態,分別建立多個運動子模型,并考慮子模型之間的交互作用,以達到對機動目標的自適應跟蹤。

IMM算法的優劣取決于模型集的選取是否恰當,目前常用的模型集包括勻速運動模型、勻加速運動模型、協同轉彎模型等,對機動目標加入Singer模型可以在目標發生機動時無需進行機動檢測,就能進行無時間滯后的機動目標跟蹤。Singer模型是一個零均值的一階相關模型,該模型認為目標在加速度的均值為0,然而目標在機動過程中,下一時刻加速度的均值應該是當前時刻加速度的均值,因此,根據Singer模型進行改進得到的“當前”統計模型被廣泛用于IMM算法運動模型集中。為了提高目標跟蹤的精度,會盡量選取更多的模型加入到模型集中,從而使該算法能夠覆蓋盡可能多的運動情況,但是隨著模型數量的增加,在每個時間段內的計算量會大量增加。此外,模型數量過多會導致模型間出現競爭問題,導致算法的性能下降。為了在保證跟蹤準確率的情況下減小計算量,提出了一系列的變結構模型集的IMM算法,例如自適應網格算法、機動判別算法、有向圖切換算法等。針對多普勒雷達目標跟蹤中非線性的特點,以IMM算法為基本框架,根據最佳線性無偏估計的卡爾曼濾波和序貫濾波器更新模型概率,最后的估計是序列濾波器輸出和模型概率的加權和,仿真結果表明該算法能實現較好的機動目標跟蹤精度。針對復雜機動情況下跟蹤精度低、易發散的問題,文獻[21-22]對IMM算法中的濾波算法進行了改進,文獻[21]提出了一種基于增益矩陣和轉移概率矩陣實時動態調整思想的IMM強跟蹤平方空間卡爾曼濾波;文獻[22]提出了一種改進的IMM自適應強跟蹤隨機加權容積卡爾曼濾波;文獻[23]提出了使用極限梯度提升(extreme gradient boosting, XGBoost)方法來替代最大似然估計方法計算目標最終的狀態估計,從而最大化利用系統的先驗信息。針對傳統恒速度子模型和恒加速度子模型在降噪方面的不足,文獻[24]改變了狀態空間的結構,使用了動態狀態轉移矩陣,從而提高模型的收斂速度并降低噪聲影響。

當目標的觀測數據丟失,IMM算法采用的軌跡外推算法是將記錄最后時刻各模型的概率取值,并根據模型的馬爾可夫狀態轉移矩陣進行概率矩陣的外推,得到各個模型的概率取值后,各個模型交互得到該時刻目標的狀態信息。

本文采用IMM算法,首先跟蹤航空器的飛行航跡,并辨識航空器子模型的概率分布,然后預測航空器關鍵運動參數的變化趨勢,最后根據末時航空器狀態和子模型概率分布對航空器進行合理的短期航跡外推。

1 問題描述和目標運動模型

1.1 問題描述

機載ADS-B的發射功能(簡稱為ADS-B-OUT)可以將航空器的經度、緯度、高度、速度、航向、爬升率等信息編碼后進行廣播,本機的ADS-B-IN設備接收到ADS-B報文后進行解碼,能夠獲取周圍他機的狀態信息,用于對周圍空域內的他機進行追蹤監視。對于機載自主間隔保持系統來說,周圍航空器狀態信息的準確性至關重要,因此本文采用IMM算法結合卡爾曼濾波對ADS-B報文中的航空器狀態信息進行處理,辨識航空器的關鍵運動參數,最后根據航空器的運動趨勢進行短期航跡的外推。

1.2 坐標系的選擇

圖1 空間直角坐標系中的航空器位置坐標Fig.1 Aircraft position coordinates in rectangular coordinate system

圖2 空間直角坐標系中的線性外推航跡與理想外推航跡的對比Fig.2 Comparison between linear and ideal extrapolation track in rectangular coordinate system

圖3 航空器在大地坐標系中的位置示意圖Fig.3 Position of aircraft in geodetic coordinate system

1.3 目標運動模型

航空器的運動狀態可以用如下的離散系統方程表示:

狀態方程:

(+1)=()()+()()

(1)

觀測方程:

()=()()+()

(2)

式中:()為狀態轉移矩陣;()為噪聲驅動矩陣;()∈為狀態方程白噪聲,其協方差矩陣為();()為觀測矩陣;()∈為觀測噪聲,其協方差矩陣為();()∈為系統在時刻的狀態向量;()為時刻航空器狀態的觀測向量。其中,()與()為互不相關的零均值高斯白噪聲。

在大地坐標系中,選取的目標航空器的運動狀態變量為

(3)

利用IMM算法跟蹤目標航空器的關鍵在于選取適當的運動模型作為子模型,模型集應當能夠覆蓋航空器所有可能的運動狀態。本文的模型集中共選取3個方向上的6個運動子模型,如表1所示。

首先對巡航階段航空器運動狀態進行分析,判斷模型集能否滿足覆蓋性要求。

巡航階段飛機可能的運動狀態及模型集組合如表2所示。

表1 IMM算法模型集

表2 飛機可能的運動狀態與子模型組合的關系

根據分析,可以看出表1中的模型集能夠覆蓋巡航階段航空器的各種運行狀態。

1.3.1 勻角速度-零速運動模型

(1) 經度方向,目標做勻角速度運動時,其連續時間狀態方程為

(4)

(+1)=()()+()()

(5)

(2) 緯度方向,目標的勻角速度運動模型與經度方向的勻角速度運動模型一致,所以可得緯度方向的離散時間狀態方程為

(+1)=()()+()()

(6)

其中,

=[2,, 1]

(3) 高度方向,由于零速運動模型中,航空器高度方向的速度為0,所以離散時間狀態方程為

(+1)=()()+()()

(7)

其中,

132 “當前”運動模型

“當前”統計模型是對Singer模型的改進,Singer模型是零均值的時間相關模型,而實際上航空器下一時刻的加速度的均值是當前時刻的加速度,隨機加速度在時間軸上仍然符合一階時間相關過程,即

(8)

(9)

加速度的方差為

(10)

(11)

(12)

(1) 經度方向,目標做變加速運動時,根據式(11)與式(12)可得其連續時間狀態方程為

(13)

相應的離散形式的運動狀態方程為

(14)

其中,

=[2,, 1]

(2) 緯度方向,目標的變加速運動模型與經度方向的變加速運動模型一致,所以可得緯度方向的離散時間狀態方程為

(15)

其中,

=[2,, 1]

(3) 高度方向,目標做變加速升降運動時,根據式(11)與式(12)可得其連續時間狀態方程為

(16)

相應的離散形式的運動狀態方程為

(17)

其中,

=[2,, 1]

133 目標運動解耦

本文采用大地坐標系進行建模,在使用IMM算法跟蹤目標航空器時,如果將經度、緯度和高度3個方向上運動模型結合在一起,可能會導致航空器在3個方向上的運動產生耦合現象。子模型的耦合作用會導致3個方向上的“勻角速度-零速運動模型”的概率取值相同,3個方向上的“當前”運動模型的概率取值也相同,這種耦合現象會導致跟蹤效果較差,因此本文將3個方向上的運動進行解耦。

具體的解耦方法如下:

(1) 經度方向,對軌跡數據中的經度數據使用經度方向的“勻角速度運動模型”和“當前”運動模型進行跟蹤;

(2) 緯度方向,對軌跡數據中的緯度數據使用緯度方向的“勻角速度運動模型”和“當前”運動模型進行跟蹤;

(3) 高度方向,對軌跡數據中的高度數據使用高度方向的“零速運動模型”和“當前”運動模型進行跟蹤。

將3個方向的跟蹤數據進行合并,即可得到IMM算法的跟蹤結果。

2 IMM算法

IMM算法是在廣義偽貝葉斯基礎上提出的一種具有馬爾可夫轉移概率的算法,其本質是將前一時刻多個模型的輸出進行加權組合作為各個模型的當前輸入,多個模型并行估計,最后得到組合狀態估計。

完整的IMM 循環由以下4 部分組成: 輸入交互、濾波、模型概率更新、輸出交互。

假設IMM算法模型集包含有個模型,在時刻,從模型轉移到模型(1≤,≤)服從一個給定狀態轉移概率的馬爾可夫矩陣:

={()|(-1)}

(18)

2.1 輸入交互

-1時刻,模型轉移到模型的概率為

(-1)=·(-1)

(19)

因此,-1時刻,由其他模型轉移到模型的總概率(歸一化常數)為

(20)

模型到模型混合概率為

(21)

模型的混合狀態估計為

(22)

模型的混合協方差估計為

{(-1|-1)+

(23)

2.2 狀態濾波

本文采用卡爾曼濾波算法作為各個子模型的濾波器對輸入交互的結果進行濾波,首先根據狀態轉移方程計算模型的估計狀態,然后將目標的觀測數據作為先驗信息來對狀態估計進行修正,得到濾波后的狀態估計。卡爾曼濾波的執行步驟如下。

根據狀態轉移方程進行狀態一步預測:

(24)

一步預測的協方差矩陣為

(25)

卡爾曼濾波的增益矩陣為

()=(|-1)··[(|-1)+]

(26)

使用觀測數據作為先驗信息對目標狀態進行更新:

(27)

協方差矩陣更新:

(|)=[-()()](|-1)

(28)

2.3 模型概率更新

對于第個模型,其似然函數為

(29)

模型的概率更新方程為

(30)

2.4 輸出交互

濾波器的總輸出為對各個模型進行濾波后的估計結果的加權值,加權的狀態估計為

(31)

加權后的協方差估計為

(32)

3 航空器航跡外推算法

IMM算法可以提供周圍他機的當前狀態信息,但是他機在未來一段時間內的航跡對于航空器自主間隔保持也是同等重要的,本節的主要內容是根據航空器的歷史軌跡信息外推得到他機未來一段時間的航跡,為航空器自主間隔保持算法提供數據支持。

對于單一運動子模型的系統,可以根據最近一段時間的狀態轉移矩陣使用式(24)進行狀態的一步預測,但對于含有多個子模型的系統,狀態轉移矩陣難以確定。

(33)

(34)

式中:()是時刻子模型的概率。由于子模型之間的轉移概率服從馬爾可夫過程,因此可以通過-1時刻各個子模型的概率(-1)和得出()：

(35)

4 仿真

4.1 航跡跟蹤仿真

本文使用2021年3月3日,航班號為CCA1516的航空器的ADS-B軌跡數據進行濾波跟蹤。首先,將采集過的數據進行可視化,判斷軌跡數據是否連續,然后將采集到的ADS-B數據進行數據清洗,然后使用分段3次 Hermite 插值將離散的軌跡點插值成時間間隔=1 s的采樣點,得到1 113個軌跡點。仿真采用的參數如下。

仿真得到的IMM跟蹤軌跡和觀測軌跡曲線圖如圖4所示。

圖4 航空器觀測航跡和IMM跟蹤軌跡曲線圖Fig.4 Observation track and IMM tracking curve of aircraft

IMM算法跟蹤誤差曲線圖如圖5所示,可以看出,大部分時間段內,IMM算法跟蹤的誤差小于50 m,僅在極少數位置會出現大于250 m的誤差,總體的跟蹤效果較好。

圖5 IMM軌跡跟蹤誤差曲線圖Fig.5 IMM trajectory tracking error curve

IMM跟蹤過程中,3個方向上,各個子模型的概率變化曲線圖如圖6所示。

圖6 子模型概率變化曲線圖Fig.6 Probability variation curve of sub model

4.2 航跡外推仿真

選取某一時刻航空器的狀態作為初始狀態,外推時間為250 s,外推航跡與觀測航跡的對比如圖7(a)所示,外推航跡的誤差隨時間變化的關系如圖7(b)所示。

圖7 基于大地坐標系的航跡外推結果Fig.7 Track extrapolation result based on geodetic coordinate system

第1.2節僅從理論上說明了空間直角坐標系在航跡外推方面的不足,本節使用兩種參考系,針對同一初始狀態、使用相同的外推方法計算航空器的外推航跡。基于空間直角坐標系的外推航跡與觀測航跡的對比如圖8(a)所示,外推航跡的誤差隨時間變化的關系如圖8(b)所示。

圖8 基于空間直角坐標系的航跡外推結果Fig.8 Track extrapolation result based on spatial Cartesian coordinate system

基于大地坐標系和空間直角坐標系的航跡跟蹤誤差對比如圖9所示,在航跡跟蹤過程中,二者相對于觀測航跡的誤差均保持在較低的水平。

圖9 大地坐標系和空間直角坐標系下的跟蹤誤差對比Fig.9 Tracking error comparison between geodetic coordinate system and spatial cartesian coordinate system

基于大地坐標系和空間直角坐標系的航跡外推的誤差對比如圖10所示。可以看出,隨著外推時間的增加,基于空間直角坐標系的航跡外推的誤差在70 s的時候已經增長到大約1 000 m,而此時基于大地坐標系的航跡外推的誤差僅為50 m左右;在第250 s時,基于空間直角坐標系的航跡外推的誤差超過了7 000 m,而基于大地坐標系的航跡外推的誤差為700 m左右。仿真結果表明,基于大地坐標系在航跡外推方面比基于空間直角坐標系具有更好的性能。

圖10 大地坐標系和空間直角坐標系下的外推誤差對比Fig.10 Extrapolation error comparison between geodetic coordinate system and spatial cartesian coordinate system

5 結 論

本文研究了航路飛行階段的航跡跟蹤和短期航跡外推的問題:

(1) 針對航路運行狀態下的航空器,使用IMM算法結合卡爾曼濾波跟蹤航空器的運動軌跡,通過對大地坐標系與空間直角坐標系進行比較后,采用大地坐標系來定位航空器的位置;

(2) 基于大地坐標系,將航空器的運動狀態解耦成3個方向上的獨立運動,分別推導各個方向上可能的運動模型,建立航空器運動方程;

(3) 基于線性外推的思想,根據航空器末時狀態和子模型的概率進行航跡外推,同時對比大地坐標系和空間直角坐標系下航跡外推的性能。結果表明,在跟蹤性能相近的情況下,采用大地坐標系進行航跡外推的性能優于空間直角坐標系。

本文提出的基于大地坐標系的IMM算法的跟蹤效果在與基于空間直角坐標系的IMM算法性能相近的情況下,其外推性能有了很大的提升,為航空器短期航跡外推提供了可靠的方法。未來的工作會基于本文提出的短期航跡外推算法進行航空器之間潛在沖突的探測。