研究生彈性力學與有限元課程案例教學模式探析*

范俊鍇 原永亮

摘? 要? 研究生專業(yè)課程建設以及教學模式的優(yōu)化是保證研究生培養(yǎng)質(zhì)量的重要途徑。對于工科研究生，特別是機械、土木等專業(yè)研究生來說，彈性力學與有限元是其主干必修課程。該門課程具有理論性強、交叉知識點多和專業(yè)基礎要求高的特點，傳統(tǒng)的授課方法難以取得良好的教學效果。案例教學突破了傳統(tǒng)教學中以教為主的教學思路，通過課程案例將抽象理論具體化，且能夠?qū)崿F(xiàn)教師與學生的雙向交流，為解決該課程的教學難題提供新的思路。對案例教學在研究生彈性力學與有限元課程教學中的應用進行剖析，并通過具體案例驗證案例教學在該課程中的優(yōu)勢。與課程教學內(nèi)容和研究生培養(yǎng)目標相匹配，提出該課程的案例庫建設思路和具體案例構(gòu)成，對于提升教學質(zhì)量具有重要意義。

關鍵詞? 彈性力學與有限元；案例教學模式；研究生；案例庫

中圖分類號：G643.2? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2022）22-0093-05

0? 引言

當前我國研究生教育高速發(fā)展，研究生招生人數(shù)逐年提升，如何有效保證研究生教學質(zhì)量，提高學生對于專業(yè)知識的理解吸收以服務于后期科研能力的培養(yǎng)，成為研究生教育中的重點內(nèi)容。

彈性力學與有限元是當前機械類研究生的主干課程，與研究生后期的科研緊密相連。該課程綜合了彈性力學與有限元兩部分內(nèi)容，它們之間既有緊密的聯(lián)系，也有很大的區(qū)別：彈性力學主要基于各種假設條件和力學模型而得到解析解，側(cè)重培養(yǎng)學生構(gòu)建力學模型的能力；有限元則基于數(shù)值計算方法獲得所求解問題的數(shù)值解，側(cè)重培養(yǎng)學生對于具體問題的數(shù)值求解能力。

彈性力學和有限元綜合了以上兩部分內(nèi)容的特點，具有理論性強、交叉知識點多和抽象化的教學難題。針對該課程的特點，目前已經(jīng)提出可視化教學[1]、課程論文[2]、參與式教學[3]等教學模式，但對于研究生的課程教學模式探索還鮮有涉及。

案例教學模式最早被應用于商業(yè)教學中[4]，由于其能夠改變傳統(tǒng)的教師單向?qū)⒅R傳授給學生的方式，使學生在真實的情境中開拓思維能力，提升創(chuàng)新意識[5-6]，與研究生的課程培養(yǎng)目標高度契合，近年來在工科研究生教學中受到高度關注。例如：王洪生[7]分析了當前我國專業(yè)學位研究生課程教學中的不足，并提出研究生課程案例教學的實施思路和注意事項；王家忠等[8]針對機械工程專業(yè)碩士研究生案例教學中出現(xiàn)的矛盾和問題，提出相應的解決方法；魏昕蓉[9]圍繞研究生案例教學模式，從案例教學模式構(gòu)成要素、作用機理、存在問題和改進措施等多個角度進行研究。2015年，教育部[10]在借鑒國外先進經(jīng)驗的基礎上明確指出：加強案例教學，是強化專業(yè)學位研究生實踐能力培養(yǎng)，推進教學改革，促進教學與實踐有機融合的重要途徑，是推動專業(yè)學位研究生培養(yǎng)模式改革的重要手段。

從教學實踐出發(fā)，基于機械類研究生的專業(yè)基礎能力，探究通過案例教學模式來解決教學中存在的問題，通過具體案例來說明案例教學在本門課程教學中的具體應用方法和效果，并提出與該課程理論教學相配套的案例庫建設思路，對于提升本門課程的教學質(zhì)量具有重要的指導作用。

1? 課程教學現(xiàn)狀及存在的問題

彈性力學與有限元具有理論性強的特點，課程教學中涉及大量的概念、公式推導，內(nèi)容抽象化強，要求學生具有較強的力學理論和數(shù)學基礎。在傳統(tǒng)的教學模式下，學生對于一些概念和公式的應用場景模糊，難以建立明確的課程知識體系。隨著近年來研究生招生規(guī)模的擴大，研究生的理論基礎總體上呈現(xiàn)出下降的趨勢，許多學生存在科研成績高，但本科知識體系弱、理論基礎差的特點。這些因素進一步加劇了該課程培養(yǎng)目標與傳統(tǒng)教學方式之間的矛盾。

在課程內(nèi)容上，彈性力學與有限元涵蓋了彈性力學和有限單元法兩部分主體內(nèi)容，這兩部分內(nèi)容既存在聯(lián)系也存在差別。對于一個具體的工程問題，彈性力學為構(gòu)建模型的力學基礎，而有限元為求解該力學模型的有效工具，兩者之間存在緊密的關聯(lián)。目前，國內(nèi)關于彈性力學與有限元的教材較少，且普遍采用彈性力學在前、有限元在后的教材內(nèi)部排布方式，割裂了兩者之間的聯(lián)系。在課程目標上，彈性力學與有限元應以培養(yǎng)學生解決具體的工程問題能力為教學目標，而現(xiàn)有的課程內(nèi)容安排和教學模式均難以達到教學預期。如圖1所示，目前該課程在教學中存在的問題主要表現(xiàn)在四個方面：

1）部分研究生基礎較為薄弱，對于抽象的力學模型難以理解和重構(gòu)，彈性力學理論性強的特點導致學生缺少學習興趣；

2）對于研究生來說，本課程教學的首要目的是能夠?qū)⑺鶎W內(nèi)容應用于具體的問題分析中，但傳統(tǒng)以理論為主的教學模式割裂了所學內(nèi)容與實際問題之間的聯(lián)系；

3）學生對于有限元軟件學習興趣高，但多是根據(jù)相關指導材料的按步操作，對于操作背后的理論知識不甚了解；

4）由于力學理論基礎薄弱，學生在有限元分析結(jié)果合理性判定方面能力較弱。

近年來的案例教學方法為解決以上問題提供了新的思路：在一個具體的工程案例下，通過對具體問題的解析，可以有效地將彈性力學知識和有限元技術(shù)有效結(jié)合起來，且彈性力學解析解和有限元數(shù)值解之間可以相互印證，從而進一步加深學生對課程內(nèi)容的理解，激發(fā)學生的學習興趣。

2? 案例教學模式的應用解析

對于彈性力學與有限元課程來說，采用案例教學模式就是要打破傳統(tǒng)的兩部分內(nèi)容割裂的組織架構(gòu)，在具體的工程案例中將兩者有效地統(tǒng)一起來。在教學目標上，彈性力學部分著重于基礎理論的推演和對有限元基礎理論的構(gòu)建，有限元部分則通過結(jié)果可視化特點深化對力學概念和基礎理論應用邏輯的認識，進而構(gòu)成閉環(huán)的課程目標體系，如圖2所示。在課堂教學中，首先采用傳統(tǒng)的教學模式引入課程內(nèi)容，而后通過具體的工程案例引導學生使用相關知識點進行分析和求解，所引入工程案例的重點和難點要與所講授的課程內(nèi)容高度重合，以提升學生對知識點理論和應用場景的理解。在教學安排上，通過分組討論的形式，讓學生之間、學生與教師之間對于相關知識點進行深入交流，加深對于關鍵知識點的理解。

以彈性力學中的圣維南原理為例，該原理是力學模型中邊界條件簡化的一種重要方法，但其使用需要滿足特定的模型條件。同時，該原理目前尚沒有有效的理論證明，僅為力學問題的文字描述，在傳統(tǒng)教學模式下很難使學生有清晰的理解。針對該部分內(nèi)容，采用案例教學的形式，充分利用有限元的結(jié)果可視化特征，能夠?qū)崿F(xiàn)良好的教學效果。

在教材中，圣維南原理一般表述為：如果作用在彈性體一小塊表面上的力被作用于同一塊表面上的靜力等效力系替代，這種替換僅使局部表面產(chǎn)生顯著的應力變化，而在比應力變化表面的線性尺寸更遠的地方，其影響可忽略不計。依據(jù)該原理的文字描述，可建立圖3所示三個對照有限元案例模型。三個有限元模型的左端均采用對稱邊界條件，而右端則分別采用均布力、拋物線變化力和集中力，但右端力的總和相等。有限元分析云圖結(jié)果直觀地表明，雖然三個模型右端力的形式不同，但模型中間位置的圓孔周圍應力相同。模型右端不同力學形式的影響僅集中在模型右端一個有限的區(qū)域內(nèi)。進一步提取模型位移場的流線結(jié)果，可以更加直觀地看到模型右端載荷在模型內(nèi)部的均勻化過程。

通過該案例，圣維南定理的有效性和適用條件得以直觀展現(xiàn)，通過分組討論和相互交流，加強學生對該原理的理解。同時，有限元結(jié)果可視化的特點可以激發(fā)學生的學習興趣，有效保證教學效果。

3? 課程案例庫建設路徑

建立教學案例庫是案例教學的核心內(nèi)容，所選擇的教學案例必須充分把握課程的內(nèi)容安排和教學邏輯。在以培養(yǎng)研究生解決具體工程問題能力為教學目標的前提下，彈性力學與有限元課程應根據(jù)彈性力學和有限元的關聯(lián)邏輯，在內(nèi)容深度上采用層層遞進的策略建立系統(tǒng)的課程案例庫。

基于本課程的特點及教學目標，案例庫的構(gòu)建邏輯如圖4所示。案例庫以彈性力學基礎知識作為基礎，通過彈性力學中的位移解法，引入有限元理論。基于彈性力學對具體的工程問題進行力學模型抽取，結(jié)合有限元理論，建立有限元模型。通過具體的有限元模型，探究具體有限元案例的求解策略。同時，通過有限元結(jié)果可視化技術(shù)，與彈性力學理論解進行相互印證，以加強學生對相關知識點的理解。課程案例庫構(gòu)建的最終目標是要實現(xiàn)學生針對具體的工程問題，能夠以彈性力學為基礎理論，構(gòu)建有限元分析模型，并通過適當?shù)那蠼獠呗缘玫綔蚀_的有限元分析結(jié)果。

基于以上案例庫構(gòu)建邏輯，本門課程所建立的案例庫如圖5所示。該案例庫在課程目標上涵蓋了力學模型抽取、有限元模型構(gòu)建、有限元求解策略、分析結(jié)果評定和工程問題求解等五個主題。每個主題均包含多個案例，每個案例突出解決在該課程中的關鍵知識點。同時，該案例庫還充分考慮了本校研究生的研究領域，以提升研究生采用本門課程知識點解決具體科研問題的能力。

4? 結(jié)束語

在以提升研究生科研能力為教學目標的背景下，對于彈性力學與有限元課程，傳統(tǒng)教學模式的弊端愈發(fā)明顯，采用案例教學模式可以為該門課程的教學提供新的思路。通過具體的工程案例，不僅能夠激發(fā)學生的學習熱情，更能夠?qū)崿F(xiàn)對于相關知識點的靈活應用，符合研究生的培養(yǎng)目標。當前，彈性力學與有限元課程案例教學模式還處于探索階段，繼續(xù)豐富和挖掘該門課程案例教學的課程體系，是持續(xù)提升課程教學質(zhì)量的重要途徑。

參考文獻

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[9] 魏昕蓉.專業(yè)學位研究生案例教學模式研究[D].沈陽：沈陽師范大學，2021.

[10] 教育部關于加強專業(yè)學位研究生案例教學和聯(lián)合培養(yǎng)基地建設的意見[A/OL].（2015-05-07）[2019-5-22].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A22/moe_826/201505/t20150511_189480.html.

*基金項目：河南理工大學2020年度研究生案例庫課程建設項目“《彈性力學與有限元技術(shù)》案例庫”（2020YAL06）。

作者：范俊鍇，河南理工大學機械與動力工程學院，講師，博士，研究方向為金屬氫脆及數(shù)值模擬技術(shù)；原永亮，通信作者，河南理工大學機械與動力工程學院，講師，博士，研究方向為多學科協(xié)同優(yōu)化及數(shù)據(jù)驅(qū)動的預測技術(shù)（454000）。