基于位移置換法的超靜定梁變形解析計算*

李銀山 劉燦昌 王新筑 李欣業

1河北工業大學機械工程學院 天津 300401 2山東理工大學交通與車輛工程學院 淄博 255000 3重慶大學航空航天學院 重慶 400044

0 引言

梁的變形計算是現代設計的重要內容之一，其計算方法有解析法和數值法2種，但其均存在解的結構復雜、計算量大等問題，增加了工程計算成本[1-4]。能量法和力矩—面積法能較快計算梁特定點的變形, 但該方法計算量大，難以應用到復雜載荷作用的梁變形計算，限制了其在復雜載荷環境的工程應用。共軛梁法避免了積分的計算, 但卻無法適用于載荷復雜的問題。喻曉今[5]利用置換法求解一端外伸梁變形，提出一種基于疊加無需積分的變形計算方法；彭如海[6]研究了梁上特殊點的位移置換函數，提出一種求解梁的變形位移置換方法。

計算機代數系統在工程計算和計算機輔助教學等領域得到廣泛應用[7-16]；高云峰、李銀山、阿鮑夫斯基 H Π等[17-20]利用連續分段獨立一體化積分法得到位移置換函數，通過計算機軟件符號計算得到解析解，發展了一種計算機輔助計算方法；王小明[21]以加筋板中板與筋的耦合力和力矩為中間未知量，提出了一種板筋分離法的計算方法。

本文利用位移置換法求解了復雜載荷作用下超靜定梁任意一點的撓度、轉角和彎矩，利用位移互等定理求解了單位力作用下的互等位移，通過變形疊加方法計算復雜載荷作用下超靜定梁任意一點變形，推導多邊界、多載荷作用下的超靜定梁位移置換函數，通過位移置換法給出梁變形解析解，利用Maple程序計算任意節點位移數值，得到超靜定梁變形曲線。

1 位移置換法

1.1 位移置換法

由位移互等定理可知，若分別在橫坐標ξ和x處作用單位力F0＝1 (見圖1a)，則在ξ處的單位力引起x處的位移δq（x；ξ）與在x處的單位力引起ξ處的位移δq（ξ；x）應相等，即

圖1 位移互等定理

設梁上作用分布力q（x），分布彎矩m（x），在ai處的集中力Fi，在bi處的集中力偶矩Mei。則點ξ的撓度v（ξ）為

1.2 超靜定梁的位移置換函數

由圖2可知，給出超靜定梁的3種情況下δq（x；ξ）的表達式。

圖2 超靜定梁位移置換函數計算示意圖

1）固定-鉸支梁

3）固定-鉸支-外伸梁

當載荷在0≤ξ≤l時，即有

綜上所述，位移置換函數可采用連續分段獨立一體化積分法快速得到。

2 工程實例

1）實例1

如圖3所示，受均布載荷的固支-鉸支梁，試求B點的轉角。已知梁彎曲剛度EI為常數，用位移置換法求解。

圖3 固支-鉸支梁受力簡圖

圖4 轉角圖

2）實例2

如圖5所示，受復雜載荷三鉸梁，試求D點的撓度。已知梁各段彎曲剛度EI為常數。已知：L=8 m，q=4 kN/m，F=qL/4，a=L/2，用位移置換法求解。

圖5 受復雜載荷三鉸

①載荷函數

②求單位力作用下的撓度

③求外載荷作用下的撓度函數

撓度函數(見圖6)為

圖6 撓度圖

④求D點的撓度

3）實例3

如圖7所示，受復雜載荷的固定-鉸支-外伸梁，試求A點和D點的彎矩。已知梁各段彎曲剛度EI為常數。已知：L=6 m，q=3 kN/m，F=（5/9）qL，a=L/2，用位移置換法求解。

圖7 固支-鉸支外伸梁

圖8 彎矩圖

3 求超靜定梁的位移置換函數

以固支-鉸支梁為例，介紹連續分段獨立一體化積分法求位移置換函數的步驟如下：

1）本題分為2段，即n=2，各段的撓曲線近似微分方程為

2）積分1次得剪力方程的通解；

3）積分2次得彎矩方程的通解；

4）積分3次得轉角方程的通解；

5）積分4次得撓度方程的通解；

6）根據邊界條件和連續光滑條件確定積分常數為

7）求撓度函數

4 結論

本文將位移置換法由求解梁特定點變形計算推廣到一般點的變形計算，發展了梁變形計算方法，給出了一種超靜定梁變形計算的簡化方法。同時，研究了位移置換函數確定方法，給出了各種邊界超靜定梁在復雜載荷作用下位移置換函數，利用位移置換法給出梁變形解析解，并利用Maple程序計算任意節點位移數值，得到超靜定梁變形曲線。