STEAM理念下的初中數學拓展課教學探究

趙千惠 張維忠

【摘 要】隨著全球教育格局的變革，對學生綜合素養的發展提出了日趨迫切的訴求，培養學生的跨界思維已成為數學課堂教學改革的時代命題。文章立足STEAM理念的視角，以“曲線縫合：以‘直造‘曲”為例，對初中數學拓展課教學進行探究，旨在達成數學、藝術、技術等學科的交互融合。

【關鍵詞】STEAM理念;跨學科;數學拓展課;曲線縫合

STEAM教育是集科學（Science）、技術（Technology）、工程（Engineering）、藝術（Arts）、數學（Mathematics）于一體的有機結合體，強調多學科的交叉融合，而非五門學科的簡單疊加拼接，被寄予了打破傳統教育制度框架、促進綜合創新型人才培養的厚望，一躍成為風靡全球的教育新范式[1]。我國最新頒布的《義務教育數學課程標準（2022年版）》也十分注重數學課堂中跨學科教學的目標導向，明確指出以跨學科項目式學習的方式，整合數學與其他學科的知識和思想方法，從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡述社會生活以及科學與技術中遇到的實際問題[2]。由此可見，跨學科融合已成為當下數學教育一個重要的改革風向標，值得為之進行積極有效的探索和大膽的教學嘗試。事實上，現有的實際教學實施與呈現效果并不盡如人意。本應指向培養跨界思維、解決真實情境問題能力等的初中數學拓展課卻在設計與實施的過程中暴露出綜合性與實踐性不足、關聯學科較為局限等缺漏[3]。因此，借助STEAM理念來優化現有的初中數學拓展課顯得尤為重要，亦可延續二者的協同增效之路，鞏固相輔相成的優勢聯動關系。

一、STEAM理念下的數學拓展課教學

數學拓展課和STEAM理念在目標導向上具有一致性，二者具備堅實穩固且延續不斷的契合關系。一方面，STEAM理念能為數學拓展課的設計與開發提供豐富的內容基礎，另一方面，數學拓展課也能為STEAM理念的落地生根提供牢固抓手。其實，數學拓展課教學以STEAM理念作為促進策略，本質上是一種具體化、深入化的數學拓展課教與學的新形式，旨在通過STEAM理念的落實來凸顯數學拓展課教學的特征，進而打造跨學科性、問題性、綜合性、實踐性、現實性及過程性濃郁的數學拓展課堂。毫無疑問的是，立足于STEAM理念實施數學拓展課無疑是對師生教與學的開展提出了更高的要求。在保留傳統數學拓展課教學模式以確保其普適性的前提下，不僅需要從宏觀層面上設置切合實際、具體可操作的數學拓展課教學環節，在教學明線上堅守教學目標和教育初衷，更需要依托真實情境問題解決過程中的具象表征形態、內在認知水平的發展及數學化活動設計過程等暗線要素，在微觀層面上做出相應調整，思考如何在學習者、教學者雙主體的角色轉換間抓住真實問題并得以解決，實現綜合素養的提升。

基于此，整合斯海霞[4]、張國祥[5]等學者的研究以及TIMSS 2019數學測評框架從認知要求角度對數學問題解決能力的三水平劃分[6]，指出STEAM理念下的數學拓展課需包含以下四個關鍵的教學階段。1.激活階段。即問題情境信息與數學認知結構中“相似塊”的耦合、鏈接和活化階段，要求師生作為情境共同體，需從復雜現實中抽絲剝繭，擇出關鍵數學信息，對應數學化的情境層次（與問題情境息息相關，針對某一專題范疇，促使脈絡化知識及策略在情境中得以運用）。在激活階段，學生會經歷識別、檢索、測量等思維程序，其真實情境問題解決能力處于“知道”水平。2.尋求階段。即結合已知條件信息，利用已有的認知結構去尋求合適的問題解決方案或途徑，鏈接數學化的指涉層次（利用指涉問題所衍生情境的具體數學模型取代特定的數學對象）和普遍層次。在尋求階段，學生的認知發展將覆蓋決定、表征、實施等層次，整體處于“應用”水平。3.重組階段。考驗學生的數據分析素養及善于將結果用數學語言進行表述的能力，并得到初步結論，與數學化的形式層次（數學對象已引用至規范化的步驟和符號范疇內，允許學習者進行純粹思維活動）相互關聯。4.評價階段。不僅包含對真實情境問題解決方案的合理性評估及改進思路，也囊括對學生學習過程及最終展示成果的多方位定量兼定性評價。此階段映射至數學化的應用層次，即終究回歸現實，保持和內化有效的認知結構、策略及方案，投入到更為廣泛的應用情境中。在重組階段和評價階段，分析、整合、評估、一般化等高階的認知層次將自始貫徹，學生的認知發展達到“推理”水平。

值得注意的是，為了打破數學學科長期被冠以“封閉有余、開放不足、習慣固守邊界以維護所謂的學科‘純粹”的刻板印象，裨補人文因素的式微，STEAM理念視角下的數學拓展課堂應在保證凸顯數學學科本質的前提條件下，適時推倒關聯學科的“局限墻”，合理融入人文藝術的元素。其包含兩方面的含義：一是以歷史、語言、社會學等內容作為情境要素，對學生的知識儲備進行擴容;二是通過創意展示、藝術表達、審美鑒賞等方式，考查學生將內在想法傳達給外部世界的“舞臺”張力與渲染力，以及對外部形象和美的感知、鑒賞與評價能力，亦可作為多維評價的有力參考指標之一，實現STEAM教育在價值觀上從“識知”到“育人”的突破。

因此，本文立足于STEAM理念的視角，基于上述設計理念，以“曲線縫合：以‘直造‘曲”為例，對初中數學拓展課教學進行研究探討（此節拓展課可設置在“二次函數”章節之后，授課對象為九年級學生）。旨在實現如下教學目標的同時進行相關拓展性討論：利用GeoGebra等幾何畫圖軟件或代數方法求得直角坐標系內“曲線縫合”圖形中的曲線方程，提升學生的運算能力，感悟技術在數學發展中的不可或缺性;根據“曲線縫合”圖形所蘊含的規律，總結歸納出“用直線創造曲線”的一般作圖流程，讓學生體會由特殊到一般的數學思想方法;欣賞并創造“曲線縫合”藝術作品，領略數學的審美價值、應用價值、文化價值;創意展示，藝術表達，讓學生學會用數學的眼光欣賞美，會用數學的思維思考問題，會用數學的語言統一、簡約地表達和諧美。

二、“曲線縫合：以‘直造‘曲”教學設計E9ED0054-F5F4-4A35-8EF5-70E6320CD2FC

（一）激活階段

環節1：引入情境，探測信息

師生活動：教師讓學生簡單地回憶已學二次函數的性質、圖象等相關內容。隨后，教師提問激疑，啟發學生思考拋物線和直線這兩種平面圖形之間的關系，激發學生的求知欲望。

問題1：請同學們回憶自己踢足球的經歷或者觀看球賽的場景，如圖1，GA表示A方球門，PB表示預設將球S一腳射入對方球門的B方運動員，PA表示試圖攔截球S的A方運動員[7]。

（教師用PPT動態演示，明確3個起始位置。）

問題1-1：當PA第一眼看到球S時，他最希望做什么？（在PB處截下球S）

師生活動：連接PAPB（S）以此代表PA最初的想法，并確定球S和PA在每一時間單位內運動的恒定距離，分別為S→S1和PA→PA1，以此類推。

問題1-2：球S的最終歸宿是在尚未被PA攔截之前順利抵達GA[連接PB（S）GA]。但是，當球S滾動到S1處，PA運動到PA1處時，此時運動員仍然會按照原來的路徑繼續運動嗎？他是否會改變自己的想法，即改變追及方向？請通過作圖對此運動過程進行分析。[當球從S滾動到S1時，運動員沿著代表最初想法的PAPB（S）軌跡從PA運動到PA1，但此時他看到球已不再位于PB（S），而是位于S1，于是他改變了想法，即順著PA1S1軌跡運動，希望在S1處實施攔截，以此類推]

師生活動：師生共同作圖分析整個運動過程，指出球S的預期和實際軌跡始終保持一致，而PA卻不盡然。其中，PA1S1，PA2S2，PA3S3…代表PA的內心想法，PAPA1PA2PA3…則代表其實際發生的行為軌跡，二者均被球的實時定位所牽引、修改。

【設計意圖】以學生熟悉的踢足球情境引入，拋開以往情境中“只研究理想狀態下的情況”的常規思路，立足于現實的人和物運動的視角剖析運動員及足球的移動路徑問題，通過對比、描摹運動員PA的內心預期路線和實際行動軌跡，最大限度地引發學生的認知沖突，激發學生接續學習的熱情。同時，以PPT動態演示運動情境的發生全過程，直觀、清晰地還原曲線產生的畫面，凸顯真實問題情境的說服力和震撼力。

環節2：有序檢索，識別問題

問題1-3：PA1S1，PA2S2，PA3S3…是什么類型的線？PA，PA1，PA2，PA3…構成了什么類型的線？

問題1-4：你認為是什么元素直接促使PA創造出這個曲線運動軌跡？

師生活動：教師展示圖片，為學生介紹曲線縫合（Curve Stitching）藝術，讓直線和曲線這兩個看似毫無關聯的平面圖形產生碰撞，扭轉“不可能事件”的局面——“用直線創造出曲線”。

曲線縫合的藝術最早可以追溯到1904年，英國人Mary Everest Boole發明了這種采用直線段表現曲線的藝術形式。她采用針線和紙板進行曲線的縫合，獲得許多優美圖案。曲線縫合藝術極具感染力，是一種能給人以曲線錯覺的工藝，深受藝術家的喜愛，在世界各國的雕塑、工藝品等藝術作品中被廣泛使用。譬如，Eli Hess用繩索和樹木創作了拋物線;Cory Poole巧用正多邊形的對稱性得到由拋物線組成的星形，并用鉛筆實現了向三維空間的躍升。同時，隨著計算機技術的發展，這種曲線縫合的藝術也開始以計算機編程的方式出現在大眾視野。譬如，美國賓夕法尼亞州計算機藝術家Lionel Deimel創作了大量的曲線縫合藝術作品（如圖2）。

【設計意圖】從環節1的真實情境中，學生已初步承認直線“似乎”確實可以創造出曲線的事實。教師順勢對“曲線縫合”的相關背景知識進行介紹，讓學生體悟數學的美學價值，點明主題。但此處并不是和盤托出，而是埋下伏筆，引發學生想要驗證“以直造曲”的強烈欲望。

（二）尋求階段

環節3：集思廣益，工程設計

問題2：我們是否也能借助直線創造出曲線呢？請給出具體的實施方案。

師生活動：小組合作與師生交流并行，提出、修改并最終確定整體方案。

（1）觀察已有的曲線縫合圖片，利用直線、線性方程等內容所涉及的相關代數方法及技術手段確定其是否為曲線（或近似于曲線），并得到其曲線方程。

（2）結合步驟（1）中發現的規律，總結歸納出“用直線創造曲線”的一般作圖流程。

（3）運用發散思維，利用紙筆、GGB軟件、織物或電腦編程等方式創造曲線。

【設計意圖】STEAM理念所倡導的工程設計思維有助于全局觀念的發展，旨在讓學生從確定情境問題需求出發，構思最佳的實施方案，其中不乏包括考量技術設備利弊、選擇最優化使用工具、小組任務分配等，從而進一步指導計劃的落實，推動最終成品的產出。

環節4：協作實施，技術制作

（1）以圖3為例，學生首先通過直線上已知兩點坐標得出每條直線的斜截式，發現10條直線表達式之間存在高度對稱性[8]348-357。

在確定了10條直線的函數表達式之后，學生借助GGB軟件或利用紙筆求解9個線性方程組，確定每相鄰兩條直線的交點坐標。在此過程中，學生可以充分發揮GGB軟件在畫圖、計算等方面的優勢，直觀、精準地繪制出每條直線并標注出9個交點（見表1），其中點P1表示直線l1和直線l2的交點，點P2表示直線l2和直線l3的交點，依次類推。

更進一步，學生可以嘗試證明直線交點是否落在曲線上，并利用P1～P9共計9個交點坐標得出曲線的表達式。根據已有二次函數的學習經驗可知，這些點看似是位于拋物線上或者落在其附近，即意味著可利用二次函數的一般表達式對其實施模型的建構。在此過程中，教師施以支架式引導，支持學生主動借助GGB軟件去挖掘“整體接近程度”的內涵，尋求“整體最接近”9個交點的拋物線，利用“雙變量回歸分析”功能建立多項式回歸模型，得到一元二次函數y=ax2+bx+c，其中a≈-0.04545，b=0，c≈-5.45455（實際也可得精確值a=-[122]，b=0，c=-[6011]），誤差平方和為0，整體擬合效果好，即認定9個點均落在二次函數的曲線圖象上，函數表達式為y=-[122]x2-[6011]。E9ED0054-F5F4-4A35-8EF5-70E6320CD2FC

（2）經由步驟（1）的探究，總結歸納出“用直線創造曲線”的一般作圖流程（如圖4）。

①建立直角坐標系，確定橫、縱坐標軸的等值間距;

②用直線將橫軸上距離原點最近的點和縱軸上距離原點最遠的點連接起來，譬如x軸上的1和y軸上的20;

③用直線將橫軸上距離原點第二近的點和縱軸上距離原點第二遠的點連接起來，譬如x軸上的2和y軸上的19;

④重復上述操作，始終確保xi+yj=21（i=1，2，3…20;j=20，19，18…1），即可得到曲線（實則為近似曲線，隨著直線數量的增加，拼接所得的圖形看起來會越來越像一條平滑的曲線）。

（3）延伸拓展，發散思維，打破直角坐標系的禁錮，同時借助多種媒介創造曲線[9]。

①反向延長橫、縱坐標軸，使拋物線向外繼續延展;

②改變兩軸的夾角度數，形成“非直角坐標系”，制作開口更大或開口更小的拋物線;

③在正三角形、正方形等多邊形內部創建曲線，構建美妙圖案;

④使用直線和圓創建同心圓、橢圓、心形圖案等;

⑤除了傳統的紙筆，還可借助織物、繪圖軟件、電腦編程以及其他實物等媒介制作更多藝術作品;

……

【設計意圖】在此教學階段，學生完成了數學化活動從現實向數學化的轉變，譬如，將視覺上的曲線進行了精細的量化處理，即探索了同組直線之間存在的數量及位置關系，試圖確定曲線的方程;歸納出“用直線創造曲線”的一般作圖流程等。學生在參與、體驗課堂的過程中收獲合作交流、共情通感的能力，駕馭復雜信息，輸出思維模式的最終產物（這既可以指富有外在具象的實體作品，也可以是理論上的觀念作品）。步驟（3）中設計創意作品是獲得學習成就感的重要方式，也是維持和激發學生學習動機、保持學習好奇心的重要途徑。在這個過程中，學生的工程設計思維及技術制作能力均受到了一定挑戰。

（三）重組階段

環節5：歸納梳理，整理成果

師生活動：此階段給予學生適當的課堂緩沖時間，平息小組“協作實施，技術制作”環節帶來的興奮感。學生整理所得成果，確定以何種方式介紹本小組作品的設計理念和藝術價值。同時，理性梳理本節課的整體學習思路，思考獲得何種學習啟示，這亦是下一教學環節的重要內容。

【設計意圖】梳理、歸納上述環節產生的成果，讓數學化活動實現由數學化到形式化的轉變，允許學生對所得成果及過程中習得的感悟進行純粹的思維活動，并思考如何用數學語言加以闡述。

（四）評價階段

環節6：創意展示，藝術表達

師生活動：學生選擇各異的藝術形式，針對數學思想觀點、創意想法、方案策劃以及最終成果的實用性與外觀、價值與功能等方面進行匯報與展示。同時交流自己本節課的學習心得與體會，譬如對于如何利用直線交點確定曲線表達式等發表自己的觀點。

【設計意圖】此環節不僅考查學生對外部形象和美的感知水平，也旨在發展學生對藝術表征的鑒賞與評價能力，即學會傾聽他組匯報，并進行對比分析，以此取長補短。評價階段的數學化活動實現了從形式化向現實的復歸。

環節7：優化改進，延伸思考

拓展思考1：除了利用GGB軟件，是否還有其他方法可以證明這些點落在拋物線上，并得到環節4步驟（1）中的二次函數表達式？[8]348-357（以次數較低、計算更為簡便的一次函數入手進行規律探究，得到初步結論，再將其類比到二次函數，以此降低思維難度，更能被學生接受）

規律1：對于落在一次函數y=kx+b（k，b都是常數，且k≠0）圖象上的一些點，其橫軸坐標間隔相等，則其縱軸坐標的差值為一個相等的恒定常數，反之亦然（見表2），其中y1′表示y1與y2的差值，y2′表示y2與y3的差值，依次類推。

類比思考：在二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）中是否也存在此規律，能夠假以幫助我們求得已知拋物線的表達式呢？

規律2：對于落在二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）圖象上的一些點，其橫軸坐標間隔相等，則其縱軸坐標二次相減后得到的差值為一個相等的恒定常數，反之亦然（見表3），其中y1′表示y1與y2的差值，y2′表示y2與y3的差值，依次類推;y1″表示y1′與y2′的差值，y2″表示y2′與y3′的差值，依次類推。下同，不再贅述。

反過來，便可利用此性質證明環節4步驟（1）中的交點落在拋物線上，并得到二次函數表達式。若對一些橫軸坐標間隔相等的點的縱坐標進行二次作差得到恒等的常數，即可說明這些點落在二次函數圖象上。

分析表4數據可知，交點縱坐標二次作差后的數值yi″（i=1，2，3…7）恒等于-[411]，故根據規律2即可推斷這9個點均落在二次函數上。其次，比較表3和表4易知，2am2=-[411（]m=2），解得a=-[122]，且由于曲線過點[0，-6011]，說明c=-[6011]，再帶入任一點坐標亦可得b=0，即求得該二次函數的表達式為y=-[122]x2-[6011]。多重方法的比對，不僅使學生感知到技術軟件的力量，還可以實現學生思維的多向度發展。

拓展思考2：曲線與直線的碰撞充分展示了幾何圖形組合后產生的奇妙反應，體驗了一場幾何與視覺的魔術盛宴。數學中是否還存在其他有趣的幾何圖案呢？請查閱相關資料。

【設計意圖】富有彈性和開放性的拓展問題能幫助學生有效緩解思維定式的困擾，教師可提供多種截然不同的拓展思考方向，讓學生進一步展開探究。同時，教師也需注重激發學生主動提出新問題的積極性，讓學生搜集相關資料，實施后續自主研究。

環節8：多元主體，多維評價

師生活動：要求通過多元評價主體、形成性評價、面向學習過程的評價，由學生本人、同伴、教師對學生學習過程的態度、興趣、參與程度、任務完成情況以及學習過程中形成的作品等進行多方位質性及量化評估。E9ED0054-F5F4-4A35-8EF5-70E6320CD2FC

【設計意圖】就STEAM理念視角下的數學拓展課堂而言，其評價重點關注的是學生核心素養發展的長遠目標，強調激發興趣、激勵參與、促進發展、總結經驗、改進活動設計等學習活動過程的多維、多元、多樣評價。

三、結語

STEAM理念下的數學拓展課教學以跨學科作為其核心特征，在與外部環境充分交融互動的過程中，學生能最大限度地發揮主觀能動性，敏銳辨識、透視知識在不同屬性下所具有的各異表征，創造性地內化并產出情境化的知識內涵，提升靈活遷移運用的綜合素養，習得社會性成長。挖掘“曲線縫合：以‘直造‘曲”的數學教學意義并以此作為教學主題，圍繞數學學科，向內澆筑藝術、技術等其他學科領域的相關知識，將核心問題“如何借助直線創造出曲線？”轉化為一系列高投入的實踐探索，從而達到對知識的意義建構和深層次理解。縱觀整個教學過程，學生并不是在教師提供的確定思路和要求下按圖索驥，而是被給予了能充分發揮自主性、創造性的學習空間，同時也有力印證了STEAM理念是一劑優化數學拓展課的良藥。

參考文獻：

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【作者簡介】趙千惠，浙江師范大學教師教育學院在讀碩士研究生，主要研究方向為數學課程與教學論;張維忠，博士，浙江師范大學教師教育學院教授，博士生導師，主要研究方向為數學課程與教學論。

【基金項目】2021年浙江省教育廳科研項目“基于STEAM教育理念的初中數學拓展課教學研究”（Y202147153）E9ED0054-F5F4-4A35-8EF5-70E6320CD2FC