高考數(shù)學填空題解法綜析

高慧明

高考數(shù)學填空題的特征是不要求寫出計算或推理過程，只需要將結論直接寫出的“求解題”. 填空題與選擇題也有質的區(qū)別：第一，填空題沒有備選項，因此，解答時有不受誘誤干擾之好處，但也有缺乏提示之不足;第二，填空題的結構往往是在一個正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內容（既可以是條件，也可以是結論），留下空位，讓考生獨立填上，考查方法比較靈活. 從歷年高考數(shù)學成績看，填空題得分率一直不是很高，因為填空題的結果必須是數(shù)值準確、形式規(guī)范、表達式最簡，稍有毛病，便是零分.因此，解填空題要求在“快速、準確”上下功夫，由于填空題不需要寫出具體的推理、計算過程，因此要想“快速”解答填空題，則千萬不可“小題大做”，而要達到“準確”，則必須合理靈活地運用恰當?shù)姆椒?，在“巧”字上下功?解填空題的基本原則是“小題不能大做”，基本策略是“巧做”. 解填空題的常用方法有：直接法、數(shù)形結合法、特殊化法、等價轉化法、構造法、合情推理法等.

方法一：直接法

直接法就是從題干給出的條件出發(fā)，運用定義、定理、公式、性質、法則等知識，通過變形、推理、計算等，直接得出結論. 這種策略多用于一些定性的問題，是解填空題最常用的策略. 這類填空題是由計算題、應用題、證明題、判斷題改編而成的，可直接從題設的條件出發(fā)，利用已知條件、相關公式、公理、定理、法則等通過準確的運算、嚴謹?shù)耐评?、合理的驗證得出正確的結論，使用此法時，要善于透過現(xiàn)象看本質，自覺地、有意識地采用靈活、簡捷的解法.

例1. 已知雙曲線C1：-=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，第一象限內的點M（x0，y0）在雙曲線C1的漸近線上，且MF1⊥MF2，若以F2為焦點的拋物線C2：y2=2px（p>0）經(jīng)過點M，則雙曲線C1的離心率為_______.

思路分析：由題意可得y0=x0，又由MF1⊥MF2，可得y02+x02=c2，聯(lián)立得x0=a，y0=b，又由F為焦點的拋物線C2：y2=2px（p>0）經(jīng)過點M，化簡得c2-4ac-a2=0，根據(jù)離心率e=，可得e2-4e-1=0，即可求解.

【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為y=±x，焦點為F1 （-c，0），F(xiàn)2 （c，0），可得y0=x0……①

又MF1⊥MF2，可得·=-1，即為y02+x02=c2……②由a2+b2=c2，聯(lián)立①②可得x0=a，y0=b，由F為焦點的拋物線C2：y2=2px（p>0）經(jīng)過點M，可得b2=2pa，且=c，即有b2=4ac=c2-a2，即c2-4ac-a2=0，由e=，可得e2-4e-1=0，解得雙曲線C1 的離心率e=2+.

【點評】本題考查了雙曲線的幾何性質——離心率的求解，其中根據(jù)條件轉化為圓錐曲線的離心率的方程是解答的關鍵. 求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出a，c的值，代入公式e=;②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，轉化為a，c的齊次式，然后轉化為關于e的方程（不等式），解方程（不等式），即可得e（e的取值范圍）.

例2. 設球的半徑為，該球的內接圓錐（頂點在球面上，底面為某平面與球的截面）的體積為V，則V的最大值為___________.

【解析】依題意可知，圓錐與球的軸截面如圖，

設圓錐的底面圓半徑為r，高為h，

則（h-）+r2=（），即r2=h-h2，

所以V=？仔r2h=？仔（h2-h3）（0

求導可得V′（h）=？仔（h-h2），當00，當1

于是V（h）在（0，1）上單調遞增，在（1，）單調遞減，所以當h=1時，體積取得最大值為.

故答案為.

例3. 如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，已知△A′DE（A′？埸平面ABC）是△ADE沿DE翻折過程中的一個圖形，給出下列命題：

①平面A′FG⊥平面ABC;

②BC∥平面A′DE;

③三棱錐A′-DEF的體積的最大值為a3;

④動點A′在平面ABC上的射影恒在線段AF上;

⑤直線DF與平面A′FG所成角為60°.

其中正確命題的序號是________.（寫出所有正確命題的序號）

【解析】由已知可得四邊形ADEF是菱形，則DE⊥GA，DE⊥GA′，DE⊥GF，所以DE⊥平面A′FG，所以平面A′FG⊥平面ABC，①正確;

又BC∥DE，所以BC∥平面A′DE，②正確;

當平面A′DE⊥平面ABC時，三棱錐A′-DEF的體積達到最大，最大值為××a2×a=a3，③正確;

由平面A′FG⊥平面ABC，可知點A′在平面ABC上的射影恒在線段AF上，④正確;

在翻折過程中，DF與平面A′FG所成角是∠DFG=30°，⑤不正確.

所以正確命題的序號是①②③④.

【點評】直接法是解決計算型填空題最常用的方法，在計算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化從而得到結果，這是快速準確地求解填空題的關鍵.

方法二：特例法

當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當特殊值（或特殊函數(shù)，或特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等）進行處理，從而得出待求的結論. 這樣可大大地簡化推理、論證的過程.

例4. 已知函數(shù)f（x）=1+（a∈R）為奇函數(shù)，則a=________.

【解析】根據(jù)奇函數(shù)的特點，帶入特殊值即可求出a的值.

函數(shù) f（x）的定義域為R，又因為 f（x）為奇函數(shù)，所以 f（0）=0，即1+=0，解得a=-2.

【點評】（1）已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，一般采用待定系數(shù)法求解，根據(jù) f（x）± f（x）=0得到關于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程（組），進而得出參數(shù)的值;（2）已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，首先抓住奇偶性討論函數(shù)在各個區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關于f（x）的方程，從而可得f（x）的值或解析式.

求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結論只有一種的填空題，對于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解. 本題中的發(fā)現(xiàn)函數(shù)過一個定點是本題的運用特值法的前提條件，從而減少了計算量.

方法三：數(shù)形結合法

對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以借助圖形的直觀性，迅速作出判斷，簡捷地解決問題，得出正確的結果，Venn圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖像及方程的曲線等，都是常用的圖形.

例5. 定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（e+x）=f（e-x），且f（0）=0，當x∈（0，e]時，f（x）=lnx. 已知方程f（x）=sin（x）在區(qū)間[-e，3e]上所有的實數(shù)根之和為3ea. 將函數(shù)g（x）=3sin2（x）+1的圖像向右平移a個單位長度，得到函數(shù)h（x）的圖像，則a=__________，h（8）=__________.

【解析】根據(jù)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)且f（e+x）=f（e-x），所以f（x）的周期為2e，f（x）=sin（x）的實數(shù)根是函數(shù)f（x）和函數(shù)y=sin（x）的圖像的交點的橫坐標，在平面直角坐標系中畫出函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)的對稱性可得所有實數(shù)根的和為6e，從而可得參數(shù)a的值，最后求出函數(shù)h（x）的解析式，代入求值即可.

因為f（x）為偶函數(shù)且f（e+x）=f（e-x），所以f（x）的周期為2e. 因為x∈（0，e]時，f（x）=lnx，所以可作出f（x）在區(qū)間[-e，3e]上的圖像，而方程f（x）=sin（x）的實數(shù)根是函數(shù)f（x）和函數(shù)y=sin（x）的圖像的交點的橫坐標，結合函數(shù)f（x）和函數(shù)y=sin（x）在區(qū)間[-e，3e]上的簡圖，可知兩個函數(shù)的圖像在區(qū)間[-e，3e]上有六個交點. 由圖像的對稱性可知，此六個交點的橫坐標之和為6e，所以6e=3ea，故a=2.

因為g（x）=3sin2（x）+1=-cos+，

所以h（x）=-cos[（x-2）]+=cos（x）+. 故h（8）=cos（4？仔）+=4.

故答案為2;8.

【點評】圖解法實質上就是數(shù)形結合的思想方法在解決填空題中的應用，利用圖形的直觀性并結合所學知識便可直接得到相應的結論，這也是高考命題的熱點.準確運用此類方法的關鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對應關系，利用幾何圖形中的相關結論求出結果.

方法四：構造法

構造型填空題的求解，需要利用已知條件和結論的特殊性構造出新的數(shù)學模型，從而簡化推理與計算過程，使較復雜的數(shù)學問題得到簡捷的解決，它來源于對基礎知識和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈感，構造出相應的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學模型，使問題快速解決.

例6. 設 f（x）是定義在R上的函數(shù)，其導函數(shù)為f′（x），若f（x）+ f′（x）<1，f（0）=2018，則不等式ex f（x）>ex+2017（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為______.

【解析】構造函數(shù)g（x）=exf（x）-ex，通過求導及已知不等式可得出g（x）為遞增函數(shù)，再將原不等式化為g（x）>g（0）可解得.

令g（x）=exf（x）-ex，則g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=ex（f（x）+f′（x）-1），

∵f（x）+f′（x）<1，∴ f（x）+f′（x）-1<0，∴g′（x）<0，g（x）在R上為單調遞減函數(shù).

∵g（0）=f（0）-1=2018-1=2017，∴原不等式可化為g（x）>g（0），根據(jù)g（x）的單調性得x<0，∴不等式ex f（x）>ex+2017（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（-∞，0），故答案為（-∞，0）.

【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及單調性的應用，關鍵是構造函數(shù)，考查了分析問題的能力，屬于難題.

方法五：歸納推理法

做關于歸納推理的填空題的時候，一般是由題目的已知可以得出幾個結論（或直接給出了幾個結論），然后根據(jù)這幾個結論可以歸納出一個更一般性的結論，再利用這個一般性的結論來解決問題.歸納推理是從個別或特殊認識到一般性認識的推演過程，這里可以大膽地猜想.

例7. 圖中是應用分形幾何學做出的一個分形規(guī)律圖，按照圖甲所示的分形規(guī)律可得圖乙所示的一個樹形圖，我們彩用 “坐標”來表示圖乙各行中的白圈黑圈的個數(shù)（橫坐標表示白圈的個數(shù)，縱坐標表示黑圈的個數(shù)）比如第一行記為（0，1），第二行記為（1，2），第三行記為（4，5），照此下去，第四行中白圈與黑圈的“坐標”為_________.

【解析】本題中如何求出第四行中白圈與黑圈的“坐標”是解題的一個關鍵，也是一個難點，觀察所給條件不難發(fā)現(xiàn)運用特殊到一般的規(guī)律進行處理，進而求解.

由圖甲所示的分形規(guī)律，1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為2個黑圈1個白圈，記某行白圈X個，黑圈y個為（x，y），則第一行記為（0，1），第二行記為（1，2），第三行記為（4，5），第四行白圈數(shù)為2×5+4=14，黑圈數(shù)為5+2×4=13，第四行中白圈與黑圈的“坐標”為（13，14），故答案為（13，14）.

【點評】這類問題是近幾年高考的熱點. 解決這類問題的關鍵是找準歸納對象. 如本題把函數(shù)的前幾個值一一列舉出來.觀察前面列出的函數(shù)值的規(guī)律，歸納猜想一般結論或周期，從而求得問題.

從考試的角度來看，解填空題只要做對就行，不需要中間過程，正因為不需要中間過程，出錯的概率大大增加. 我們要避免在做題的過程中產(chǎn)生筆誤，這種筆誤很難糾錯，故解填空題要注意以下幾個方面：

（1）要認真審題，明確要求，思維嚴謹、周密，計算有據(jù)、準確;

（2）要盡量利用已知的定理、性質及已有的結論;

（3）要重視對所求結果的檢驗;

（4）注意從不同的角度分析問題，從而比較用不同的方法解決題目的速度與準確度，從而快速切題，達到準確解題的目的.

填空題的主要特征是題目小，跨度大，知識覆蓋面廣，形式靈活，突出考查考生準確、嚴謹、全面、靈活運用知識的能力. 近幾年來全國新課程高考數(shù)學填空題作為命題改革實驗的一個窗口，出現(xiàn)了一些創(chuàng)新題，如閱讀理解型、發(fā)散開放型、多項選擇型、實際應用型等，這些題型的出現(xiàn)，使解填空題的要求更高、更嚴了.

【本文系北京市教育科學 “十三五” 規(guī)劃課題 “基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學核心概念課堂教學的反思與重構研究” （編號：CDDB19238）階段性研究成果】

責任編輯 徐國堅