支持學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出的教學(xué)策略

李新

【摘 要】支持學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出的教學(xué)策略，旨在通過教學(xué)，充分激活學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提供豐富的課程資源，創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)情境，促進(jìn)學(xué)生主動建構(gòu)有意義的數(shù)學(xué)問題。基于問題解決引導(dǎo)學(xué)生提出問題，通過引問、追問、續(xù)問，使問題提出與問題解決相互促進(jìn)、協(xié)同前行。指向數(shù)學(xué)理解啟發(fā)學(xué)生提出問題，既要提高學(xué)生工具性理解的有效性，也要促進(jìn)其向關(guān)系性理解的轉(zhuǎn)變。圍繞學(xué)生問題提出能力的提升促進(jìn)學(xué)生提出問題，要注重激發(fā)學(xué)生問題提出的內(nèi)在動機(jī)，促進(jìn)提問能力和水平的有效進(jìn)階。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問題提出 教學(xué)策略 問題解決 數(shù)學(xué)理解 問題提出能力

數(shù)學(xué)問題提出是指學(xué)生在已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對具體的情境給出自己的理解，并建構(gòu)有意義的數(shù)學(xué)問題。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)通過義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生能“初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)并提出問題”。正如愛因斯坦所說的“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”，問題提出對于數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性也是不言而喻的，蔡金法教授認(rèn)為“問題提出是一個教學(xué)目標(biāo)、一種認(rèn)知活動、一種教學(xué)手段”，而且“如果一定要我挑出一個最主要的研究問題，那就是數(shù)學(xué)問題提出的課堂教學(xué)研究”。從教學(xué)目標(biāo)的角度講，與分析、解決問題的能力一樣，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力也需要教師在教學(xué)中有目的、有意識、有計劃、有步驟地加以培養(yǎng);從認(rèn)知活動的角度講，問題提出能促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，激發(fā)學(xué)生的好奇心、成就感，使學(xué)生產(chǎn)生積極的情感體驗(yàn)，提高參與學(xué)習(xí)活動的積極性;從教學(xué)手段的角度講，問題提出能促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)高層次的教學(xué)目標(biāo)。支持學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出的教學(xué)策略，旨在通過教學(xué)，充分激活學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提供豐富的課程資源，創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)情境，促進(jìn)學(xué)生主動建構(gòu)有意義的數(shù)學(xué)問題。

一、基于問題解決引導(dǎo)學(xué)生提出問題

如果把問題解決看成一個周期，問題提出就是問題解決的開始，而一個問題的解決又預(yù)示著一個新問題的開始，甚至往往在問題解決的過程中，問題解決者（這里主要指學(xué)生）也會提出問題，或者指向并促進(jìn)原來問題的解決，或者孕育新的問題。從這個意義上講，問題提出與問題解決是相互促進(jìn)、協(xié)同前行的。

（一）引問：提出初始問題

引問，有兩層含義，一是引導(dǎo)學(xué)生提出問題;二是使學(xué)生在問題的引領(lǐng)下展開積極的思維活動。為引導(dǎo)學(xué)生提出問題，教師要注重情境的創(chuàng)設(shè)。指向問題提出的情境創(chuàng)設(shè)，既要激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生把所提出的也是要解決的問題和已有經(jīng)驗(yàn)之間聯(lián)系起來的興趣，也要切實(shí)幫助學(xué)生能夠在所提出的也是要解決的問題和已有知識結(jié)構(gòu)之間建立實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。為使問題能引領(lǐng)學(xué)生積極思考，教師要注重讓學(xué)生理解問題，具體來講就是使學(xué)生理解已知和未知之間的距離，并能直覺地體悟由已知到未知應(yīng)經(jīng)由怎樣的路徑、采取何種可能的策略。

比如，教學(xué)“平行四邊形的面積”時，教師可以這樣引問：教師出示木條制作的長方形框架，告知學(xué)生其長7分米、寬5分米，讓學(xué)生提出問題。學(xué)生會問“周長是多少、面積是多少”并解決。接著，教師演示，將長方形框架“壓扁”成平行四邊形，“壓扁”的過程是動態(tài)的、連續(xù)的，從中選取兩個平行四邊形呈現(xiàn)出來（如圖1），再讓學(xué)生提問，學(xué)生仍問“平行四邊形的周長是多少、面積是多少”。求周長容易解決，而且，周長不變;求面積時則出現(xiàn)爭議，有學(xué)生認(rèn)為其面積和長方形的相同，也就是7×5=35平方分米;有學(xué)生認(rèn)為其周長比長方形的小，而且兩個平行四邊形的面積也不同。于是，問題產(chǎn)生了：這兩個平行四邊形的面積到底是多少平方分米？

（二）追問：提出深度問題

追問，是教師激發(fā)、啟發(fā)學(xué)生深入、持續(xù)思考常用的教學(xué)策略。指向問題提出的教學(xué)，應(yīng)努力提供機(jī)會（比如時間、空間以及必要的啟發(fā)、引導(dǎo)），促進(jìn)學(xué)生在問題解決過程中展開追問。從追問的主體看，可以是學(xué)生自我追問、相互追問;從追問的目的看，可以是有疑而問（即在問題解決過程中，確有疑惑，想要問老師或同學(xué)），也可以是為證而問（即在問題解決過程中，自己有所思考、有所心得，想向老師或同學(xué)求證，想聽聽他們是否有同樣的想法）;從追問的作用看，可以是促進(jìn)對具體問題的更深入理解，也可以是推動具體問題向一般化、抽象化方向發(fā)展。

還是以“平行四邊形的面積”的教學(xué)為例。在“引問”階段提出了具體問題“這兩個平行四邊形面積各是多少”，學(xué)生運(yùn)用已有的知識經(jīng)驗(yàn)（主要是對面積意義的理解、對數(shù)方格求面積方法的掌握、對圖形通過“剪、移、拼”轉(zhuǎn)化后面積不變原理的直覺感悟等），借助工具和材料（剪刀、畫在方格紙上的平行四邊形等）解決了這兩個具體問題，也證實(shí)在“壓扁”的過程中平行四邊形面積要比原來長方形的面積更小。教師讓學(xué)生思考：“能想到什么新的問題？”經(jīng)過獨(dú)立思考、小組討論，學(xué)生提出“四條邊長度沒有變，為什么這樣得到的平行四邊形面積比要原來長方形的小”“平行四邊形的面積和什么有關(guān)”“如果任意給出一個平行四邊形，面積怎樣求 ”等問題。

（三）續(xù)問：提出后繼問題

續(xù)問，是解決“引問”“追問”環(huán)節(jié)所提出的問題后，學(xué)生反思解決這些問題的過程，提煉所能獲得的知識、技能，所感悟的思想、經(jīng)驗(yàn)，通過舉一反三、以此類推等策略，提出可以繼續(xù)研究的問題。

仍以“平行四邊形的面積”的教學(xué)為例。在本堂課快要結(jié)束的時候，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本課是如何研究“平行四邊形的面積”的，并選取一些關(guān)鍵活動場景再次呈現(xiàn)出來（展示當(dāng)時的PPT并配合語言講解、師生互動），強(qiáng)化其中“研究了什么問題”“是怎樣提出這些問題的”“是怎樣解決這些問題的”“通過解決問題得到什么結(jié)論”等關(guān)鍵信息，之后問大家：“關(guān)于今天的學(xué)習(xí)，大家還有什么問題？”“受今天學(xué)習(xí)的啟發(fā)，接下來大家想研究什么問題？” 經(jīng)過獨(dú)立思考、小組討論，學(xué)生提出：“長方形壓扁變成平行四邊形，面積變小，跟角度變小了有沒有關(guān)系？”“我想研究三角形的面積怎么求、梯形的面積怎么求。”

需要指出的是，無論引問、追問、續(xù)問，還是其他激發(fā)提問的策略，都需要教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，比如，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)提問的情境、搭建提問“支架”，可以運(yùn)用材料或工具、發(fā)揮語言的作用，采用疑問、設(shè)問、反問甚至暗示、提醒等策略，引導(dǎo)學(xué)生提出有價值的問題。長期堅持，能幫助學(xué)生形成提問的習(xí)慣。

二、指向數(shù)學(xué)理解啟發(fā)學(xué)生提出問題

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)理解已經(jīng)成為廣大教師的共識。英國數(shù)學(xué)教育家斯根普將理解分為工具性理解和關(guān)系性理解。工具性理解是表面的、外部的、形式上的理解，它解決是什么、做什么、怎么做;關(guān)系性理解涉及事物內(nèi)部結(jié)構(gòu)意義等的理解，反映事物內(nèi)在的本質(zhì)規(guī)律，解決為什么，以及活動的有效性、合理性。從教學(xué)實(shí)踐看，學(xué)生在認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)的初期，往往是工具性理解，再逐步走向關(guān)系性理解。啟發(fā)學(xué)生提出問題，既能提高學(xué)生工具性理解的有效性，也能促進(jìn)其向關(guān)系性理解轉(zhuǎn)變。

（一）促進(jìn)發(fā)現(xiàn)：提出優(yōu)化工具性理解的問題

傳統(tǒng)教學(xué)中，對工具性理解的定位較為機(jī)械，采用“概念（定義、定理）—實(shí)例—練習(xí)（習(xí)題）”的教學(xué)模式，使學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識、基本技能時過于依賴模仿、記憶、操練。但是，“就對概念或法則的學(xué)習(xí)過程而言，工具性理解應(yīng)當(dāng)是其中一個重要的甚至是不可缺少的環(huán)節(jié)”。雖然工具性理解指向“是什么、做什么、怎么做”，但是這些知識（包括數(shù)學(xué)的陳述性知識、程序性知識）的獲得，可以采用發(fā)現(xiàn)的方式進(jìn)行，使工具性理解得以優(yōu)化，而問題提出恰好是發(fā)現(xiàn)的起點(diǎn)。

比如，教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”時，從工具性理解的角度看，學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)是知道“3的倍數(shù)的特征”是什么，以及“3的倍數(shù)的特征”怎么用（如通過計算2+8+3+2=15，判斷2832是3的倍數(shù)）。為促進(jìn)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)這些知識，教師可以這樣啟發(fā)學(xué)生提問：首先讓學(xué)生運(yùn)用類比、發(fā)揮“學(xué)習(xí)2、5的倍數(shù)的特征時所用方法”的定式作用，提出“3的倍數(shù)的特征也看個位”的猜想，并從百數(shù)表中圈出3的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)猜想錯誤，進(jìn)而提出“3的倍數(shù)的特征看什么”的問題;接著，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過“在計數(shù)器上用珠子表示3的倍數(shù)”（數(shù)感強(qiáng)的學(xué)生，不借助計數(shù)器而直接看這些數(shù)就能有所發(fā)現(xiàn)），初步發(fā)現(xiàn)“百數(shù)表中的3的倍數(shù)，各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)”，此時，教師說：“100以內(nèi)，3的倍數(shù)，各位上數(shù)的和都是3的倍數(shù)。這個發(fā)現(xiàn)，能否就作為3的倍數(shù)的特征？”教師說這句話時，“100以內(nèi)”“3的倍數(shù)”交替讀重音，并配合身體語言進(jìn)行啟發(fā)乃至暗示，讓學(xué)生提出問題“100以上的3的倍數(shù)，各位上數(shù)的和是否是3的倍數(shù)？”“不是3的倍數(shù)，各位上數(shù)的和會是3的倍數(shù)嗎？”在這兩個問題的引領(lǐng)下，學(xué)生繼續(xù)開啟發(fā)現(xiàn)之旅，并最終獲得結(jié)論。

（二）深入探究：提出實(shí)現(xiàn)關(guān)系性理解的問題

就數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)而言，斯根普明確指出更多的理解應(yīng)當(dāng)定位于“關(guān)系性理解”，即最終我們應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生獲得的是關(guān)系性理解。如何促進(jìn)工具性理解向關(guān)系性理解轉(zhuǎn)化？一是要使學(xué)生理解與把握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性、典型實(shí)例及相互關(guān)系;二是使學(xué)生能將所學(xué)知識自覺與已有的知識經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，完善和改組認(rèn)知結(jié)構(gòu);三是讓學(xué)生在問題解決過程中，培養(yǎng)知識的遷移能力，通過反思提高元認(rèn)知水平。

仍以“3的倍數(shù)的特征”的教學(xué)為例。在學(xué)生獲得工具性理解的基礎(chǔ)上，教師創(chuàng)設(shè)一個“矛盾情境”：以111為例，學(xué)生根據(jù)1+1+1=3，判斷其是3的倍數(shù);教師提醒學(xué)生注意111中三個“1”的實(shí)際數(shù)值，分別是1個百、1個十、1個一，此時教師停止講課，期待學(xué)生能發(fā)現(xiàn)其中的問題。果然，學(xué)生意識到：3個“1”的計數(shù)單位不同，為什么能相加呢？這個問題的發(fā)現(xiàn)和提出，給學(xué)生的認(rèn)知和心理都形成強(qiáng)烈的沖突。當(dāng)然，問題的解決需要教師提供“支架”、給予引導(dǎo)。比如，給學(xué)生如下方塊圖（如圖2），讓學(xué)生“圈圈畫畫，表示出1+1+1的意思，說明1+1+1是合理的”。學(xué)生經(jīng)過研究，發(fā)現(xiàn)“1個百，圈掉33個3，也就是99，留下1;1個十，圈掉3個3，也就是9，留下1;還有個位的1（如圖3）。所以1+1+1，是3個1相加，不是1個百、1個十、1個一相加”。在此基礎(chǔ)上，教師再提供幾個數(shù)和方塊圖，如12、223等，讓學(xué)生圈、畫，加深理解。在之后的練習(xí)課上，教師再次提供這樣的素材：2的倍數(shù)，個位上是2、4、6、8或0;5的倍數(shù)，個位上是5或0;3的倍數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)之和是3的倍數(shù)。啟發(fā)學(xué)生思考：能想到什么問題？學(xué)生提出：“為什么2和5的倍數(shù)特征看個位，而3的倍數(shù)的特征要看各數(shù)位上數(shù)的和？”學(xué)生通過對這個問題的深入探究及獲得的認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)對2、5、3的倍數(shù)的特征更高水平上（聯(lián)系和結(jié)構(gòu)的水平）的關(guān)系性理解。這種理解，可以引導(dǎo)學(xué)生探究（比如推理）25、4、125、8、9的倍數(shù)的特征。

三、圍繞能力提升促進(jìn)學(xué)生提出問題

這里所說的能力，是指學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出的能力。正如“在游泳中學(xué)會游泳”，學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力也是在提出問題的學(xué)習(xí)、實(shí)踐與反思中提升的，反過來，能力的提升使學(xué)生在學(xué)習(xí)中更為主動地提出有效的數(shù)學(xué)問題。

（一）激發(fā)內(nèi)在動機(jī)，促進(jìn)主動提問

雖然培養(yǎng)學(xué)生“四能”（發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力、分析和解決問題的能力）的課程目標(biāo)已提出十多年，但是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“重解題輕問題”的思想意識在教師和學(xué)生中仍普遍存在。培養(yǎng)學(xué)生的問題提出能力，首要任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生在面對具體情境時，能主動提出問題來表達(dá)自己對這個情境的理解。一種可行的教學(xué)策略，是通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生能提出問題并從提問的過程中清晰地感受自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的不斷進(jìn)步，以此激發(fā)成就感，形成數(shù)學(xué)問題提出的內(nèi)在動機(jī)。

比如，一年級學(xué)生對于問題“樹上有10只鳥，先飛走2只，再飛走5只。一共飛走了幾只鳥”常因思維定式做出錯誤的回答。教師改變教學(xué)策略，只提供情境“樹上有10只鳥，先飛走2只，再飛走5只”讓學(xué)生提出問題，學(xué)生提出“第一次飛走后樹上還剩幾只鳥”“一共飛走幾只鳥”“（兩次后）還剩幾只鳥”等問題。幾次的提問練習(xí)，使學(xué)生消除思維定式，能正確解題，初步感受發(fā)散、靈活思維的作用，對提問的興趣大大增強(qiáng)。

再如，教學(xué)“倍的認(rèn)識”時，課始學(xué)生面對“藍(lán)花有2朵，黃花有6朵，紅花有8朵”的情境，能提出“藍(lán)花比黃花少幾朵”“黃花和紅花一共有幾朵”“三種花一共有幾朵”等問題;到課結(jié)束時，學(xué)生再次面對這一情境，發(fā)現(xiàn)自己還能提出“紅花朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍”“黃花朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍”這樣的問題，切實(shí)感受到自己數(shù)學(xué)知識的不斷豐富、本領(lǐng)的不斷增強(qiáng)，提問也就更加積極了。

又如，教學(xué)“簡易方程”，在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，教師出示“鋼琴的黑鍵有36個，比白鍵少16個。白鍵有多少個？”“學(xué)校食堂原來有一些大米，吃掉16袋后，還剩36袋大米。食堂原來一共有多少袋大米？”學(xué)生列出方程，發(fā)現(xiàn)所列方程都是“x-16=36”。教師要求“再提出一些用x-16=36解決的問題”（讓學(xué)生根據(jù)算式或方程提出問題，是有意識的問題提出活動）。在提問中，學(xué)生加深了對方程意義的理解;全班交流后，看到那么多不同的問題能用同一個方程來表達(dá)等量關(guān)系，學(xué)生更深刻地體會到方程以及問題提出的價值。

（二）實(shí)現(xiàn)水平進(jìn)階，促進(jìn)有效提問

對于數(shù)學(xué)問題提出能力的水平劃分，學(xué)界有多種論述，其中張丹老師和吳正憲老師的觀點(diǎn)（如下表）易于一線教師在教學(xué)實(shí)踐中理解和把握。

說明：陳述性問題指的是重復(fù)情境中已經(jīng)呈現(xiàn)信息的問題;簡單性問題指的是利用現(xiàn)有知識和方法可以直接解決的問題;發(fā)展性問題指的是需要某種程度的認(rèn)知努力，選擇甚至創(chuàng)造解決問題的方法和策略的問題。

實(shí)現(xiàn)學(xué)生提問水平進(jìn)階的一種可行的教學(xué)策略，是教師創(chuàng)設(shè)開放的情境，既能讓不同水平層次的學(xué)生都能提出相應(yīng)的問題，也能讓學(xué)生在提問后的師生交流活動中感悟不同問題之間的聯(lián)系和區(qū)別，產(chǎn)生提出高水平問題的愿望，并為之努力。

比如，用同樣的小正方形按一定的規(guī)律拼出下面四個圖形（如圖4）。已知每個小正方形的邊長是1厘米，請?zhí)岢鰡栴}。

學(xué)生可以從圖形所用小正方形的個數(shù)、圖形的周長、面積等角度提問。下面，我們從圖形所用小正方形的個數(shù)角度，分析學(xué)生的提問水平：

未達(dá)到水平：第（4）個圖形有多少個小正方形？

水平1：第（5）個圖形有多少個小正方形？第（5）、第（6）、第（7）個圖形各有多少個小正方形？（所提問題，涉及的圖形和已畫出圖形是依次相鄰的）

水平2：第（10）個圖形有多少個小正方形？第（100）個呢？（所提問題，涉及的圖形不是相鄰的，已經(jīng)初步具有規(guī)律意識，并試圖加以適當(dāng)表征）

水平3：第n個圖形有多少個小正方形？（試圖將規(guī)律一般化，并用符號表征）如果有21個小正方形，拼成的是第幾個圖形？（具有逆向思考問題的意識，且能觀照每個圖形用到的小正方形是奇數(shù)個，思維具有一定的深刻性）

總之，支持學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出，需要教師持續(xù)更新觀念，給問題提出以足夠的重視，加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)，在教學(xué)實(shí)踐中積極探索，形成有效的、可供借鑒的教學(xué)策略，使問題提出成為數(shù)學(xué)教學(xué)活動的常態(tài)，從而對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極影響，學(xué)生能將問題提出作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可分割的一個環(huán)節(jié)，主動提問、善于提問，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量不斷提升。

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注：本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度立項課題“發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)及其支持體系建構(gòu)研究”（編號：D/2021/02/778）的階段性研究成果。