等效法解復合場中帶電粒子運動問題

華興恒

由于電場力做功與重力做功有一個共同的特點：只與初末位置有關，與運動的路經無關. 即電場與重力場的性質非常相似. 因此當一個質量為m、帶電量為q的物體同時處于重力場和場強為E的勻強電場中時，可以將兩者的疊加場等效為一個重力場. 若合力的方向與重力mg的方向間的夾角為α，則g′可表示為g′=. 利用等效重力場，不僅可以把復雜的疊加場變成簡單的單一場，而且可以把陌生的問題轉化為熟悉的重力場中的問題，這樣既可避開復雜的運算，使解題過程極大地簡化，又可提升我們的思維品質，提高解題技能與技巧. 下面請看幾例.

【例1】如圖1所示，斜面和水平面都是絕緣的粗糙的平面，有一帶電量為+q、質量為m的物體，從斜面上A點由靜止釋放，它在水平面上運動s1后靜止. 若在此范圍內加一豎直向下的勻強電場，而將該物體從A點由靜止釋放，它在水平面上運動s2后靜止，則（ ）

A. s2 > s1?? B. s2 = s1?? C. s2 < s1?? D. 無法確定

解析：當不加電場時，物體在運動的過程中受到重力、支持力和摩擦力的作用. 設A距水平面的高度為h，斜面傾角為α，則由動能定理得：

mgh-μmgcosαsAB-μmgs1=0，即

h=μcosαsAB+μs1???????????????? ①

若加豎直向下的勻強電場時，物體還受電場力共四個力的作用，但可把重力與電場力等效為重力場，加速度為g′=，方向豎直向下.

由動能定理同樣可以得出：mg′h-μmg′cos αsAB-μmg′s2= 0，即

h=μcosαsAB+μs2???????????? ②

比較①、②兩式，不難得出s2=s1，故本題應選B.

【例2】（2016全國卷I）如圖2所示，一帶負電荷的油滴在勻強電場中運動，其軌跡在豎直面（紙面）內，且相對于過軌跡最低點P的豎直線對稱. 忽略空氣的阻力，由此可知（ ）

A. Q點的電勢比P點高

B. 油滴在Q點的動能比它在P點的大

C. 油滴在Q點的電勢能比它在P點的大

D. 油滴在Q點的加速度大小比它在P點的小

解析：根據帶負電的油滴在豎直面內的軌跡在豎直平面內相對于過P點的豎直線對稱可知，油滴在水平方向上所受合力為零，豎直方向上油滴受重力和電場力的作用，結合曲線軌跡的特點可知，電場力一定向上，且電場力大于重力，油滴受力及電場線方向如圖中所示，故勻強電場的方向豎直向上. 又沿電場線方向電勢逐漸降低，可知Q點的電勢比P點高，則選項A正確;油滴從P點運動到Q點，根據動能定理，合外力做正功，動能增大，所以油滴在Q點的動能比它在P點的動能大，則選項B正確;油滴從P點運動到Q點，電場力做正功，電勢能減小，油滴在Q點的電勢能比它在P點的小，則選項C錯誤;由于帶電油滴所受的電場力和重力均為恒力，所以油滴在Q點的加速度和它在P點的加速度大小相等，則選項D錯誤. 故應選A、B.

【例3】如圖3所示的虛線為勻強電場的等勢面，一帶電微粒以速度v0從A點飛入電場，沿圖中所示的直線軌跡由下而上飛向B點并返回A點. 若AB與豎直方向的夾角為α，求此過程中帶電微粒所用的時間.

解析：由圖2可知，帶電微粒做直線運動，因此等效重力場的重力加速度與AB在一條直線上. 由于重力的方向是豎直向下的，故帶電微粒做類豎直上拋運動，等效重力加速度為g′=.

根據豎直上拋運動整個過程時間t=，可得所求時間為t=.

【例4】一條長為L的細線上端固定在O點，下端系一質量為m的帶電小球，將它置于一個很大的勻強電場中，電場強度為E，方向水平向右. 已知小球在B點時平衡，細線與豎直線的夾角為α，如圖4所示. 試求當懸線與豎直方向的夾角為多大時，才能使小球由靜止釋放后，細線到達豎直位置時，小球的速度恰好為零.

解析：由題意可知，等效場與豎直方向的夾角為α，所以等效重力加速度為g′=. 可以把懸線小球看作是等效場中的單擺，其平衡位置就是與豎直方向成α角的位置. 由單擺的對稱性，擺幅相等. 故當懸線與豎直方向的夾角為2α時，才能使小球靜止釋放時到豎直位置靜止.

【例5】如圖5所示，一絕緣細圓環的半徑為r，其環平面固定在水平面上. 場強為E的勻強電場與環平面平行，環上穿有一電量為+q、質量為m的小球，可沿圓環做無摩擦的圓周運動. 若小球經過A點時的速度vA的方向恰與電場垂直，且與環間無相互作用，則速度vA=____. 當小球運動到與A點對稱的B點時，小球對圓環在水平方向的作用力NB= ___.

解析：小球在豎直方向上受到的合外力為零，在水平方向僅受到電場力F=qE的作用，因此可以等效為g′=的重力場. 將E的方向轉至豎直向下，就成了我們熟悉的豎直圓周軌道上的變速圓周運動. 因為小球在A點的臨界速度為vA ==，利用類似于機械能守恒定律，小球在B點的運動速度可表示為v2B=v2A+2g′×2r.

根據牛頓第二定律可得NB=mg′+=6mg′=6qE.

【例6】 半徑為r的絕緣光滑圓環固定在豎直平面內，環上套有一質量為m帶正電的珠子，空間存在著水平向右的勻強電場，如圖6所示. 珠子所受的靜電力是其重力的倍，將珠子從最低位置A點靜止釋放. 珠子在何處的動能最大？珠子獲得的最大動能是多少？

解析： 珠子受到的靜電力與重力的合力，即等效重力為：F ==mg. tanθ==，則θ=37°，即等效重力場的方向與豎直方向成37°，如圖6中所示.

珠子在等效重力場中做圓周運動的“最低點”是B點，故珠子在B點時，速度最快，動能最大，根據動能定理可得Ek=Fr（1-cosθ）=mgr.

【例7】在水平向右的勻強電場中，有一質量為m帶正電的小球，用長為l的絕緣細線懸掛于O點，當小球靜止時細線與豎直方向的夾角為α. 現給小球一個瞬時沖量，使小球恰能在豎直平面內做圓周運動. 問：

（1）小球在做圓周運動的過程中，在哪一位置速度最??？最小值為多少？

（2）小球在B點受到的沖量是多大？

解析：小球在做圓周運動的過程中，所受的重力與電場力均為恒力，這兩個力的合力大小為F=. 小球在疊加場中的重力加速度為：g效==，其方向斜向右下方，且與豎直方向成α角. 小球在豎直平面內做勻速圓周運動的過程中，由于只有等效重力做功，細線的拉力不做功，所以動能與等效重力勢能可以互相轉化，且總和保持不變. 與重力勢能類比可知，等效重力勢能Ep=mg效h，其中h為小球距等效重力零勢能面的高度.

（1）設小球靜止時的位置B點為零勢能點，據動能與等效重力勢能的總和不變可知，小球位于B點對應的同一直徑上的A點時等效重力勢能最小，速度也最小.

設小球在A點時速度為vA，此時細線拉力為0，等效重力提供向心力，即mg效=，所以小球的最小速度為：vA=.

（2）設小球在B點的初速度為vB，據能量守恒有：mv2B=mv2A+mg效×2l，解得vB=.

根據動量定理，小球所受沖量的大小為I=mvB= m.

責任編輯 李平安