橡膠混凝土受壓破壞機理的余能基面力元分析

付 毓，馬東翼，王 耀

(北京工業大學 城市建設學部，北京 100124)

當今社會汽車更新速度很快，造成了大量輪胎的廢棄，對環境造成了嚴重的污染。將廢舊輪胎切碎、粉磨制成的橡膠混凝土是一種滿足可持續發展的綠色建筑材料，如果將其充分應用，不僅解決了大量廢舊輪胎堆積問題，還可以保護環境。橡膠粒或橡膠粉作為澆筑材料制備成的橡膠混凝土具有抗沖擊性能好、韌性強、抗腐蝕能力強的優點，因而受到國內外學者的廣泛關注，并漸漸被應用于工程中。

宏觀試驗是研究橡膠混凝土的基本手段，1993年，Eldin等[1]首先討論了橡膠顆粒對混凝土抗壓和抗折強度的影響，研究表明，橡膠混凝土的強度隨橡膠含量的增加而降低，但韌性和吸能能力顯著增加。2004年，熊杰等[2通過試驗也得到了相同結論。Toutanji[3]通過試驗研究了橡膠含量和粒徑對混凝土受壓性能的影響，表明橡膠粒徑的影響占主導地位。劉峰等[4]通過大量試驗提出了橡膠混凝土的強度公式，并根據實測應力-應變曲線，提出了有參數的單軸受壓本構方程。相對宏觀試驗，橡膠混凝土的數值分析研究起步較晚。2006年，劉春生等[5]在細觀層面上將橡膠混凝土看成由粗骨料、橡膠骨料和水泥漿組成的三相復合材料進行計算分析。2016年，王娟等[6]在前人基礎上考慮了骨料與砂漿的界面和初始缺陷，建立了考慮初始缺陷的橡膠混凝土計算模型。楊朝霞[7]在此基礎上研究了橡膠摻量、粒徑和界面缺陷含量對橡膠混凝土力學性能的影響。薛剛等[8]利用ABAQUS模擬橡膠混凝土內部裂紋的發展過程。

以往對橡膠混凝土的模擬都是基于常規的勢能原理有限元法，而基于余能原理有限元方法的研究尚未見報道。基于余能原理基面力元法[9]研究橡膠混凝土力學性能，既擴展了該方法的應用范圍，也為橡膠混凝土的模擬提供一種新的可能。本文將橡膠混凝土視為由粗骨料、橡膠顆粒、砂漿、粗骨料與砂漿界面、橡膠與砂漿界面組成的五相介質復合材料。使用Fortran程序生成橡膠混凝土二維混合隨機骨料模型。基于余能原理基面力元法進行受力分析，獲得了壓縮應力-應變曲線圖，并將數值模擬結果與試驗數據進行對比。研究了橡膠顆粒大小和含量對橡膠混凝土抗壓強度的影響，繪制了縫紋發展過程圖，分析其破壞機理。

1 余能原理基面力元法

傳統的余能原理有限單元法構造單元的應力插值函數需要滿足的平衡條件較多，積分求解單元的柔度矩陣計算量大，效率低，導致余能有限元法的應用受限。2003年，高玉臣[10]提出了基面力的概念，與傳統的應力張量比較，它的表達簡潔，采用直接表達法表示柔度矩陣，避免了復雜的運算。彭一江[9]基于這個理論思路建立了基于余能原理的基面力元法，提高了計算效率。

余能原理基面力單元法的核心是單元柔度矩陣的生成[9]，本文采用四邊形邊中節點基面力單元，如圖1所示。

圖1 四邊形邊中節點單元Fig.1 Quadrilateral element with node at midpoint

TI，TJ，TM，TN為作用在各邊中節點上的面力的合力。柔度矩陣顯式表達式推導過程如式(1)—(5)所示。平面單元的平均應力為

(1)

式中：PI—原點指向邊中節點的徑矢。

單元余能為

(2)

式中：E—彈性模量，GPa；v—泊松比；U—單位張量。

二維單元余能為

(I,J=1,2,3,4)

(3)

式中：A—單元面積；I、J—單元的第I邊與第J邊；pIJ—PI和PJ的點積。

TI對應的廣義位移δI為

(4)

式中：CIJ—單元柔度矩陣顯式表達式。

(I,J=1,2,3,4)

(5)

2 細觀數值模型

2.1 橡膠混凝土混合隨機骨料模型

本文在細觀層次上將橡膠混凝土視為由天然骨料、橡膠、砂漿、骨料-砂漿界面、橡膠-砂漿界面組成的五相復合材料。其中粗骨料是混凝土的重要組成部分，骨料形狀作為骨料重要特征之一，對混凝土力學性能的影響不可忽視。目前已有的橡膠混凝土隨機骨料模型，通常將骨料簡化成圓形[5-8]。雖然這種簡化在一定程度上是合理的，但與骨料實際形狀仍有很大差異，無法表征骨料棱角位置的應力集中現象。

本文建立了尺寸為100 mm×100 mm橡膠混凝土二維模型，將粗骨料分為20～15 mm、15～10 mm、10～5 mm三個粒徑范圍，由Walraven公式[11]確定橡膠混凝土模型中各粒徑范圍圓形骨料的面積，并根據代表粒徑計算圓形骨料數量。現分別用平均粒徑4 mm和2 mm的橡膠粒按10%、20%、30%摻量等體積替代細骨料，細骨料含量由實驗[12-13]計算得到，如式(6)，從而算出橡膠顆粒數量。各粒徑范圍粗骨料數及橡膠顆粒數見表1、表2。隨后根據蒙特卡羅法投放骨料，生成隨機圓骨料模型，如圖3(a)所示。

表1 粗骨料顆粒數Tab.1 Number of coarse aggregate particles

表2 不同粒徑及摻量下橡膠顆粒數Tab.2 Number of rubber particles under different particle size and content

Ps=ms/ρs=780/2 650≈0.3

(6)

式中：Ps—細骨料占混凝土體積分數；ms—單位體積中細骨料質量，kg/m3；ρs—細骨料表觀密度，kg/m3。

隨后，在圓形骨料試件模型的基礎上，利用多邊形骨料生成方法[14]，僅在粗骨料的圓內生成內接多邊形，形成基框架，控制各邊的最小長度Lmin，使骨料圓心在生成的多邊形內部。

Lmin=2R·sin(π/2(n-1))

(7)

式中：Lmin為最小邊長；R為骨料半徑；n為多邊形基框架頂點數。

之后從基框架較長邊開始延展，在以邊長為直徑的圓內插入隨機點P，P點坐標為

(8)

式中：E、F為(0,1)內的隨機數。

依次將每個圓的基框架向外延展，保證延展后的骨料不與其他骨料和橡膠顆粒重合，直至達到圓的面積。凸骨料生成過程如圖2所示，橡膠混凝土凸骨料與圓形橡膠混合投放隨機骨料模型如圖3(b)所示。

圖2 凸骨料生成過程Fig.2 Convex aggregate formation process

圖3 橡膠混凝土隨機骨料模型Fig.3 Random aggregate model of rubber concrete

本文選取二維四邊形單元網格剖分方法，為盡量準確模擬界面單元，網格剖分尺寸取0.5 mm。將網格投影到隨機骨料模型中，根據單元節點在網格內的數量對單元進行判斷并賦予單元屬性。

2.2 本構模型

骨料與橡膠顆粒在小變形下為線彈性，采用線彈性本構關系。

砂漿及界面在接近峰值應力時，會出現非線性特征，為更好模擬其力學性能，采用多折線受壓損傷本構模型[15]如圖4 所示。

圖4 多折線受壓損傷本構模型Fig.4 Multi polygonal line compression constitutive model

在受壓損傷本構模型中，材料的受壓損傷變量記為Dc，Dc見式(9)：

(9)

式中：εc0為峰值應變，λ為彈性應變系數，γ為殘余應變系數，η為極限應變系數，α為彈性抗壓強度系數，β為殘余抗壓強度系數。

2.3 材料參數

骨料和橡膠顆粒的材料參數由文獻[16,17]確定，砂漿的材料參數由參考文獻[18]中的經驗公式確定：先將試驗[12]中橡膠混凝土水灰比代入式(10)，求得抗壓強度，再將抗壓強度代入式(11)、(12)，求得砂漿彈模和抗拉強度。根據文獻[19-20]，骨料與砂漿界面參數為砂漿材料參數的65%，橡膠與砂漿界面參數為砂漿材料參數的35%。各相介質材料參數取值見表3。

表3 各相介質材料參數Tab.3 Material parameters of each phase medium

(10)

Em=1 000(7.7ln(fc)-5.5)

(11)

ft=1.4ln(fc)-1.5

(12)

式中：Em—砂漿彈性模量，GPa；ft—砂漿抗拉強度，MPa；fc—砂漿抗壓強度，MPa；w/c—水灰比。

3 數值模擬及破壞機理分析

3.1 加載模型

本文對100 mm×100 mm試件進行二維單軸壓縮數值模擬。為了減少骨料分布對力學性能的影響，在骨料與橡膠顆粒含量不變的情況下，進行三次隨機投放，生成三個混合隨機骨料模型，如圖5所示。圖中灰色為砂漿，青色為骨料，黑色為橡膠顆粒，白色為界面。

圖5 模型示意圖Fig.5 Schematic diagram of model

采用如圖6所示的加載模型進行加載。限制底部所有點的豎向位移。為了避免剛體移動，限制底部中間節點的水平位移。加載方式為等位移增量加載，加載步長為0.01 mm /加載步。

圖6 受壓加載模型Fig.6 Compression loading model

3.2 試驗對比

采用余能原理基面力元法進行受力分析，獲得了應力-應變曲線。以應力與峰值應力σ0的比值為縱坐標，以應變與峰值應變ε0的比值為橫坐標，繪制橡膠混凝土歸一化應力-應變曲線圖，并與試驗結果[12]進行比較，如圖7所示。

圖7 橡膠混凝土歸一化應力-應變曲線Fig.7 Normalized stress-strain curve of rubber concrete

三個不同試件的峰值應力分別為16.07、17.01 和16.66 MPa，平均峰值應力為16.58 MPa，與胡艷麗等試驗數據[12]吻合較好，其中試驗實測值為16.45 MPa，與本文結果相差在4%以內；平均值與試驗數據僅相差0.7%。

通過對比可以發現，數值模擬結果和試驗的抗壓強度相差不大，應力-應變曲線在上升段擬合良好，但下降段數值模擬結果比試驗結果略緩，這可能是因為實際中混凝土有較多孔隙和缺陷，這些缺陷會使混凝土更易發生脆性破壞，所以強度降低較快。對比結果初步驗證了使用余能原理基面力元法計算該模型的合理性與正確性。

3.3 破壞機理分析

采用Fortran程序繪制一個橡膠混凝土模型破壞過程圖，如圖8所示。圖中砂漿為淺灰色，骨料為紅色，橡膠為藍色，界面單元為白色，損傷單元為深灰色，破壞單元為黑色。

圖8 模型破壞過程圖Fig.8 Model failure process

由圖可知，破壞單元最開始出現在橡膠與砂漿界面處。隨著進一步加載，粗骨料與砂漿的界面出現破壞，同時相鄰較近的橡膠之間的砂漿開始破壞，形成明顯的裂縫，裂縫在橡膠顆粒較為密集的區域開始發展。繼續加載，當試件到峰值強度附近時，粗骨料與砂漿的界面開始大量破壞，橡膠周圍的裂縫會和附近的粗骨料與砂漿界面的裂縫連通，形成更長的裂縫。隨后裂紋變長變寬，最后裂紋貫通呈沙漏狀，裂紋與水平夾角為45°～60°。

使用Matlab繪制橡膠混凝土模型不同加載步下最大主應變云圖與最大主應力云圖，如圖9、圖10所示。由圖可知，加載初期，由于砂漿和粗骨料的彈模遠大于橡膠的彈模，橡膠顆粒周圍的應力、應變較大。隨著加載的進行，出現應力、應變集中現象，橡膠與砂漿界面單元開始破壞。當加載到峰值應力時，應力、應變集中現象加劇，發生應力、應變重分布，破壞單元周圍單元應力、應變明顯提高，隨后開始破壞，導致裂紋擴展連通并變寬，橡膠周圍裂縫與骨料界面處裂縫連通。隨著加載繼續進行，裂縫間相互連通，發生貫穿現象，各處應力均減小，但應變繼續增大。

圖9 最大主應變云圖Fig.9 Maximum principal strain contour plots

圖10 最大主應力云圖Fig.10 Maximum principal stress contour plots

通過應力分布圖，可以看出橡膠附近區域最先出現應力集中現象，因此在制備橡膠混凝土時應當將橡膠顆粒充分分散，以達到更高的抗壓強度。

通過應變分布云圖，可以直觀準確地看出裂紋從出現到發展的全過程，該應力分布特征和破壞圖中裂紋特征完全一致，驗證了損傷破壞圖的正確性。

4 橡膠摻量、粒徑對抗壓強度的影響

為了研究橡膠摻量、粒徑對抗壓強度的影響，采用上文建立的橡膠混凝土混合隨機骨料模型對橡膠粒徑為4、2 mm及摻量分別為0%、10%、20%、30%的橡膠混凝土試件進行單軸壓縮數值模擬。模型尺寸為100 mm×100 mm，以摻量為0%的試件作為對照組。為了降低骨料隨機性的影響，對每個類型的橡膠混凝土隨機投放三次。各試件抗壓強度模擬結果見表4。不同粒徑、摻量對橡膠混凝土抗壓強度的影響如圖11所示。

表4 不同橡膠粒徑、摻量的橡膠混凝土計算結果Tab.4 Calculation results of rubber concrete with different particle size and content

圖11 不同粒徑、摻量對橡膠混凝土抗壓強度的影響Fig.11 Effect of different rubber particle size on compressive strength of concrete

結合表4和圖11可知，普通混凝土抗壓強度為27.83 MPa，當摻入橡膠粒徑為4 mm時，橡膠摻量為10%、20%、30%的橡膠混凝土抗壓強度為20.60、16.58、12.88 MPa，分別為普通混凝土的74.02%、59.58%、46.28%；當摻入橡膠粒徑為2 mm時，橡膠混凝土抗壓強度為19.88、15.84、11.86 MPa，分別為普通混凝土的71.43%、56.92%、42.62%。

由此可見，隨著橡膠摻量的增加，橡膠混凝土抗壓強度明顯降低，最大降低幅度為58%；當摻入10%橡膠時，強度下降速率較大，隨著摻量的增加下降速率逐漸降低。橡膠摻量相同時，橡膠粒徑為2 mm時的抗壓強度略小于粒徑為4 mm的抗壓強度，并且隨著橡膠摻量的增加，這種現象愈發明顯。這是因為隨著橡膠顆粒粒徑的減小，橡膠顆粒的比表面積增大，比表面積的增大導致了橡膠與砂漿之間的界面增多，使橡膠混凝土更易破壞，所以橡膠混凝土的抗壓強度降低。

5 結論

1)本文建立橡膠混凝土二維隨機混合骨料模型，采用余能原理基面力元法對其單軸壓縮過程進行模擬，得到試件的抗壓強度與試驗數據相差在4%以內，模擬結果平均值與試驗僅相差0.7%。說明該模型可以較好模擬橡膠混凝土的力學性能。

2)在單軸靜態壓縮狀態下，橡膠與砂漿界面處發生應力集中，破壞單元最先出現，并在橡膠密集區域連通。隨著加載的進行，凸骨料較長的邊與砂漿界面開始破壞，并和橡膠密集區域裂縫連通，裂紋破壞加寬加大，裂紋主要方向為45°～60°。

3)摻入的橡膠顆粒粒徑相同時，橡膠混凝土的抗壓強度隨摻量增加而顯著降低，且隨著橡膠摻量的增加下降速率降低。當橡膠摻量相同時，橡膠粒徑4 mm時的抗壓強度略大于粒徑2 mm的橡膠混凝土，并隨著摻量的增加而愈發明顯。因此可以得知，橡膠摻量對橡膠混凝土的抗壓強度的影響程度顯著大于橡膠粒徑。