核心素養背景下初中數學變式教學探究

王睿潔 浙江省寧波市寧海縣一市中學

《義務教育數學課程標準》指出：“為了培養學生發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力，教師在課堂教學中，要有意識地引導學生通過獨立思考、自主探索和合作交流等學習方式，使學生掌握數學的基本知識和基本技能。”變式教學，通過有效問題串的形式帶領學生層層遞進，引發學生進行深度思考，揭示數學知識的發展過程和本質，讓學生厘清知識脈絡，深入了解數學思維的變化過程，有助于學生數學知識體系的自我構建，凸顯課堂教學的有效性。

二次函數綜合題是在學習其他簡單函數以及初中階段代數和幾何基礎上，同時與方程、不等式、特殊三角形、特殊平行四邊形、三角形的全等、相似或面積相等等知識有機結合，對學生綜合分析問題以及解決問題的能力要求較高。因此，在學習二次函數綜合題的時候，很多學生會產生畏難情緒，題目稍加改變就不知如何下手。本文通過對一道二次函數簡單習題進行變式教學，通過改變條件、改變問題、改變情景，一題多變，讓學生有更多的思考空間，有更多的機會挖掘和發現問題之間的聯系，更深入地發現應用問題之間的區別、內在聯系、解法的共性等，從而拓展學生的思維，達到減負提質的目的。在變式教學中，讓學生學會解決問題的方法，并加以歸納、總結，形成技巧，學會用這些方法解決其他問題，培養學生知識、方法的遷移能力，激勵學生透過現象抓住本質，以“不變”應“萬變”，從“萬變”中探索“不變”。

題目：如圖1 所示，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸直線x=2 交x軸于點D，已知點A的坐標為（-1，0），點C的坐標為（0，5）。求該拋物線的解析式與頂點E的坐標。

圖1

筆者圍繞這道題目進行變式，從不同角度進行拓展和延伸，把分散的知識點串成一條線，總結出了七類題型。

一、二次函數與線段最值問題的綜合

變式1：在線段BC上有一點P，過點P作x軸的垂線與拋物線相交于點Q，當線段PQ長度最大時，求點的坐標。

變式2：在線段BC上有一點P，過點P作x軸的垂線與拋物線相交于點Q，當ΔBCQ面積最大時，求P點的坐標。

變式3：在線段BC上有一點P，過點P作x軸的垂線與拋物線相交于點Q，當點P運動到什么位置時，四邊形CDBQ的面積最大？求出四邊形CDBQ的最大面積及此時點的坐標。

第一類問題是以二次函數為背景，求線段最值的綜合題。變式2 與變式3 都可以轉化為變式1 求解。只要建立我們熟悉的“鉛垂高，水平寬”模型，通過求二次函數以及直線BC 的解析式，設出點P的坐標，表示出點Q的坐標，再利用二次函數求解線段的最值即可解決問題。其中，變式2 里ΔBCQ面積最大可以看成是變式1里鉛垂高PQ長度最大；變式3 四邊形CDBQ的面積可以看成是ΔBCQ和ΔBCD的面積之和，而ΔBCD的面積不變，也就轉化為變式2中ΔBCQ面積最大的問題。

二、二次函數與線段和、差最值存在性問題的綜合

變式4：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使PA+PC取到最小值？如果存在，求出P點坐標以及最小值；如果不存在，請說明理由。

變式5：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使ΔCAP的周長取到最小值？如果存在，求出P點坐標以及最小值；如果不存在，請說明理由。

變式6：在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使｜QB-QC｜取到最大值？如果存在，求出Q點坐標以及最大值；如果不存在，請說明理由。

第二類問題是以二次函數為背景，求線段和、差最值存在性問題的綜合題。變式4 利用拋物線的軸對稱性質，找到A點的對稱點B點，PA+PC就轉化為PB+PC，當P、B、C三點共線時，由兩點之間線段最短可知PB+PC取到最小值，即PA+PC取到最小值，最小值為線段BC，這就轉化為熟知的“將軍飲馬”問題。變式5由于AC是定值，所以變式5 要使ΔCAP周長最小，只要PA+PC最小，轉化為變式4 中的問題，當然也可以利用三角形兩邊之和大于第三邊這一性質來說明。為進一步熟悉三角形三邊關系，達到觸類旁通，增加了變式6 兩條線段差的絕對值最大問題，由三角形兩邊之差小于第三邊這一性質來說明。解法都是作其中一個定點關于對稱軸的對稱點來求解。

三、二次函數與特殊三角形存在性問題的綜合

變式7：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使ΔPCB為等腰三角形？如果存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由。

變式8：在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使ΔQCB為直角三角形？如果存在，求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由。

從幾何的角度來看，等腰三角形存在性的基本模型是“兩圓一線”，直角三角形存在性的基本模型是“兩線一圓”，通過畫出不同的圖形進行分類討論，數形結合利用方程思想、解析幾何等知識求解。等腰三角形主要利用三線合一重要性質、直角三角形主要利用兩條直線互相垂直k1·k2=-1 以及構造一線三垂直模型求解。從代數的角度來看，根據動點的特殊位置，設出動點坐標，利用兩點之間距離公式分別求出特殊三角形三條邊的長度，再根據題意進行分類求解即可。等腰三角形分別以誰為腰三種情況進行討論，即PB=PC、BP=BC、CB=CP；而直角三角形分別以誰為斜邊三種情況進行討論，即QB2+QC2=BC2、BC2+QC2=QB2、QB2+BC2=QC2。

第三類問題是以二次函數為背景，求特殊三角形存在性問題的綜合題。此類題型中可以抓住動點P出現在不同的位置，比如坐標軸上進行變式，達到異題同構，提升歸納，從變中發現不變，總結解題規律。當然也可以延伸到矩形、菱形存在性問題，實質上就是矩形先找到直角三角形存在，菱形先找到等腰三角形存在，再利用平行四邊形對角線互相平分的性質，利用中點公式求解。

四、二次函數與平行四邊形存在性問題的綜合

變式9：在x 軸上是否存在點M，對稱軸上是否存在點N，使得以點B、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出N點的坐標；如果不存在，請說明理由。

變式10：在x軸上是否存在點M，拋物線上是否存在點N，使得以點B、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出N點的坐標；如果不存在，請說明理由。

變式11：在y軸上是否存在點M，拋物線上是否存在點N，使得以點B、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出N點的坐標；如果不存在，請說明理由。

從幾何的角度來看，平行四邊形存在性依據平行四邊形對邊平行且相等的性質通過已知點作平行線畫出草圖，數形結合進行求解。從代數的角度來看，利用中點公式，由平行四邊形對角線互相平分的性質可以得到對角線兩端點坐標之和相等，我們只要將所有未知點的坐標設出來，根據對角線的不同情況進行分類討論求解即可，當BC是對角線時，即B+C=M+N；當BM是對角線時，即B+M=C+N；當BN是對角線時，即B+N=M+C。

第四類問題是以二次函數為背景，求平行四邊形存在性問題的綜合題。此類題型中主要抓住動點M、N出現在不同的位置滿足不同的條件，可以是y軸，甚至也可以是平面上的任意一點。這幾個變式分別使動點出現在對稱軸及坐標軸上等不同位置，但是平行四邊形存在性問題不變，不論是幾何法還是代數法都還能繼續使用，經過這幾個變式讓學生學會并掌握解決此類問題的通式通法。

五、二次函數與方程、不等式問題的綜合

變式12：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，若關于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0有實數根，求t的取值范圍。

變式13：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，若關于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0在-1＜x＜4的范圍內有實數根，求t的取值范圍。

變式14：若二次函數的解析式為y1=ax2+bx+c的圖像如圖1 所示，直線BC的解析式為y2=mx+n，請直接寫出當x滿足何值時，ax2+bx+c≤mx+n。

變式15：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如上圖所示，點Q（m，n）在該二次函數圖像上，若點Q到y軸的距離小于3，請根據圖像直接寫出n的取值范圍。

第五類問題是以二次函數為背景，主要是用函數的思想來解決方程、不等式問題的綜合題。變式12～變式14，無論是方程還是不等式，我們只需要將其看成是兩個函數，利用函數的圖像與性質求解即可。變式12 中將方程ax2+bx+c-t=0 變 形為ax2+bx+c=t，看 成y1=ax2+bx+c與y2=t，把一元二次方程有實數根轉化為兩個函數有交點這一問題求解；變式13是在變式12的基礎上，只是二次函數y1不是整個拋物線，而是在-1＜x＜4拋物線的這一部分來判斷交點情況；變式14 是平時作業考試中經常出現的，我們只要抓住臨界點（即交點）來判斷即可。變式15 是近幾年寧波中考的一個趨勢，從函數圖像的本質出發，根據確定的x（或y）的取值范圍，從數到形，結合圖像，再從形到數求得對應的y（或x）的取值范圍，體現了數形結合這一非常重要的數學思想。

六、二次函數與三角形相似存在性的綜合

變式16：在線段BC上有一動點P，過點P作PF⊥x于點F，交拋物線于點Q，連接QC，是否存在點Q，使得ΔPQC和ΔPFB相似？若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由。

變式17：在線段BC上有一動點P，是否存在點P，使得ΔPOC和ΔABC相似？若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由。

第六類問題是以二次函數為背景，主要是解決三角形相似存在性問題的綜合題。此類問題是圍繞三角形相似存在性展開的，引導學生發現相似三角形存在性的必要條件，再利用相似三角形的判定定理來求解，培養學生思維的靈活性以及廣闊性。變式16 中相似三角形比較明顯能找到對頂角相等來確定ΔPQC的∠CPQ和ΔPFB的∠BPF已經對應好了，再由ΔPQC中∠PCQ和∠PQC分別為直角來進行分類討論求解即可。當∠PCQ為直角時，可以利用兩條直線互相垂直k1·k2=-1 來求出直線QC的解析式，再求出與拋物線的交點坐標Q，最后代入直線BC解析式求出P點坐標，當然也可以抓住本題中ΔBOC是等腰直角三角形這一特殊性求解；當∠PQC為直角時，此時QC∥x軸，因此利用Q點與C點縱坐標相同求出Q點坐標，再利用Q點與P點橫坐標相同求出P點坐標。而變式17 相似三角形存在的首要條件不容易發現，本題中∠PCO與∠CBA是對應角，都是45°，等確定好對應角后再進行分類討論：①②，利用相似三角形對應邊成比例來求出線段PC的長后，再求點P坐標。

這兩個變式歸納了相似三角形存在性的兩種基本情況，首先找到一組對應的點，再選擇一組角對應相等或者把對應角夾住的對應邊成比例來進行分類、討論、求解。

七、二次函數與三角形面積問題的綜合

變式18：在拋物線上是否存在一點P，使得SΔPAB=SΔABC？如果存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由。

變式19：在拋物線上是否存在一點P，使得SΔEBC=SΔPBC？如果存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由。

變式20：在拋物線上是否存在一點P，使得2SΔEBC=SΔPBC？如果存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由。

第七類問題是以二次函數為背景，圍繞三角形面積的綜合題。三角形面積相關的問題通常可以利用作平行線法，同底等高面積相等求解，要注意平行于底邊的平行線有上下兩條。變式18 比較容易就能發現相同的底是AB，因此只要滿足P點到底AB的距離等于C點到AB的距離，即P點縱坐標為±5，代入求解即可。而變式19 由于底不在水平線上，因此本題求解有較大的難度，這里介紹兩種解法，一種就是利用平行線法求解，利用兩條直線互相平行k1=k2這一性質求出過點E的關于直線BC平行的直線，再求出該平行線與拋物線的交點即可，再根據對稱性，利用一組平行線之間軸交點距離相等求出另一條平行線，同樣的方法求出該平行線與拋物線的交點即可。另一種可以用“鉛垂高，水平寬”模型求解，注意動點的位置來進行分類討論，為了體現通式通法，變式20改變了面積之前的比例系數，方法不變。

至此，通過改變條件、改變問題、改變情景，把一道二次函數習題進行了20 次的變式，從多層次的維度考查了二次函數與其他相關數學知識相結合的各種綜合題的運用。通過本題的變式教學，讓學生體會到二次函數在初中數學中的重要地位，也讓學生享受并掌握到這么多綜合題的解題技巧與解題方法，構建二次函數的知識脈絡，樹立學習二次函數綜合題的信心，培養學生的數學核心素養。

變式教學可以提高課堂教學效率，減輕學生學習的負擔。教學中通過一個問題解決一類問題，有效地擴充課堂教學容量，從而真正達到減負提質的目的。

作為教師，我們不僅要有良好的變式意識，還要遵循變式教學的一般規律，會用嫻熟的變式方法，合理安排適合變式教學的教學內容。如果教師能夠把握變式教學的正確方法和尺度，在數學教學中恰當地使用變式教學，就能夠有效地幫助學生從“題海戰役”中解放出來，建立清晰的知識體系，掌握各種解題方法與解題技巧，對培養學生創造性思維，激發學生學習數學的興趣，將起到非常積極的作用，這也是培養學生數學核心素養背景下教師需要深度思考的地方。