一節好課

吳軼泓

一、提高學習勾股定理的目標

勾股定理在初中數學的圖形與幾何部分有著重要地位。勾股定理既是平面幾何中的重要定理，又是數形結合思想的一次生動展現。在實際教學中，我們需要讓學生知道什么是勾股定理，如何運用勾股定理解決實際問題，還需要讓學生真正經歷勾股定理的“再發現”過程，讓學生作為課堂的主體來推動教學，將我國古代勾股定理的發現和畢達哥拉斯發現勾股定理的過程，結合起來介紹，幫助學生感受數學文化并培養學生的民族自豪感。

二、引入勾股定理背景

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在“教材編寫建議”所述：數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中。因此，教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數學發展史的有關材料等，但是在介紹背景材料時，由我國發現或證明的數學定理和結論比較少，甚至在蘇教版的課本中，引入情景是畢達哥拉斯發現勾股定理的郵票圖案。

選擇我國歷史上的趙爽證法來引入，讓學生了解到，

在我國古代的幾何學中，已經記載了能夠如火純情應用的面積方法，總結出的面積“出入相補”原理運用到許多幾何圖形的研究中，而著名的勾股定理趙爽證法就是這一原理的經典應用，介紹歷史背景可以很好地培養學生的學習熱情，讓學生感受到中國歷史上的數學成就，培養學生的民族自豪感和愛國主義情感。

三、勾股定理中的數學思考

教師引導學生進行勾股定理的再發現過程，建立直角三角形的三條邊的平方與長方形面積的聯系。在格點紙上的正方形面積，雖然可以直接數格子解決，但是其他兩個正方形的面積不能直接數出小方格的個數。通過設計問題，讓學生發現已有的知識不能解決問題，產生矛盾來引起學生思考。讓學生進行幾次實際操作，來發現三個正方形面積之間的聯系，總結其中的規律。在這個觀察、猜想、驗證的過程中，教師應保持引導者的身份，發現勾股定理的主體始終應該是學生自己。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在“課程內容”中針對“勾股定理及其應用”指出：探索勾股定理，并能運用它解決一些簡單的實際問題，那么，站在學生的角度，可以通過設置有一定思維量的問題。學生通過努力得到見解，讓學生更有成就感，體會探究的樂趣。同時要兼顧后進生的學習情況，將綜合性較強的題目分階梯，

設置多小問的形式。可以利用一些特殊情況來引導學生發現數學規律。筆者設計了一個問題串：“在直角三角形中兩直角邊的長分別為6和8，求斜邊的長。”進行變式——變式1：將條件中“兩直角邊”改為“兩邊”其他不變？繼續將數學問題與生活模型相結合。變式2：已知有一根16米高的竹子，折斷后竹梢著地與竹子底部相距8米，求折斷處離地面的高度？變式3：超強臺風將路邊大樹吹斷，樹尖著地與地面成45度，同時和樹干底部距離6米，樹干與地面成30度，則大樹原來高多少米？以上4個問題從簡單的公式運用到實際問題的運用層次遞進，將來源于教材中的例題進行變形，同時借助勾股定理在解決幾何問題時的通用特點，便于學生發現勾股定理的運用環境，在已知和未知之間產生思維的碰撞。

通過學生自己的歸納發現了勾股定理之后，去掉在直角三角形中這個條件，如果不在直角三角形中，三角形的三條邊關系是否也有一樣的結論呢？如果不是，那能不能找到它們的三條邊長度的關系？教師將問題階梯化，讓每一層的學生都能思考。普通學生可能通過舉例說明勾股定理在銳角三角形和鈍角三角形中不成立。基礎更好的學生可以獨立完成探究，通過同樣的從特殊到一般的探索過程，歸納出銳角三角形和鈍角三角形中的三條邊平方的關系。優秀的學生還可能在三種不同的三角形邊長平方的關系中，嘗試探究其中的內在關聯。

四、提高課堂效率

“雙減”背景下需要減少課外作業，也就需要教師進一步提高課堂的教學效率，減少其他因素對學生課堂時間的浪費。例如，借助一題多變，上文提及的問題串形式，或是將勾股定理中的在直角三角形換成在其他種類的三角形中，來引起學生思考。合理運用好問題串，減少學生花費在閱讀題目和理解題目上的精力。

在教學過程中，很多教師都是把我國古代勾股定理的證明和畢達哥拉斯勾股定理的證明看成兩個獨立的方法，分別進行講解，而沒有去嘗試發現其中的內在聯系，減少學生的精力浪費。勾股定理應該是一次很好的數形結合機會，在以往教學中教師很少讓學生感知代數證明過程中的圖形變化，每一步都是在代數運算而不存在幾何意義的講解，用數形結合的方法讓學生感知勾股定理，也能更好地利用學生在課堂中的精力，從而提高課堂的效率。

參考文獻：

李文林.數學史概論[M].北京：高等教育出版社，2011.