淺談如何培養學生的幾何直觀能力

佘勤

摘要：義務教育階段的小學數學日常教學中，數學教師要注重幫助學生提升畫圖能力，主要體現在會用圖形工具，加深對數形結合的理解，善于圖形變換，感受畫圖的價值，讓學生逐步養成畫圖的好習慣，從而切實提高學生獨立解決問題的能力，更加符合新課標倡導的教學要求。

關鍵詞：畫圖數學課堂教學數形結合

引言

“數學是對于客觀現象抽象概括而逐步形成的科學語言與工具。”這就決定了數學知識相較于其他學科知識來說，更具有抽象性、概括性和基礎性。這樣的特性，使數學知識、概念理解起來沒有那么直觀，問題解決起來稍顯復雜。對于義務教育階段的小學學生來說，其生理和心理特點都決定了他們更善于具體的形象思維的思考過程。如何能將數學知識和概念的理解轉變得更加直觀形象、數學問題的分析轉化得更加簡單清晰、數學的思維更加易于發生？數學課程標準中提出的“幾何直觀”概念，說明了數形結合是解決這些問題的有效途徑，也是不可或缺的手段。下面我將從畫圖和圖形兩個角度來闡述我的觀點。

一、把握基礎會用基本圖形工具

20世紀最偉大的數學家希爾伯特在《幾何直觀》中說過：“圖形可以幫助我們尋求解決問題的思路。”在義務教育階段學習數學時，很多時候都要用到基本的圖形工具，例如，數軸、方格紙、直角坐標等。在我們平時的教學中，要注重培養學生對基本圖形工具的運用，要利用多種途徑讓學生運用這些基本圖形工具去認識數學、解決數學問題。數軸這一基本圖形工具，在數學學習中經常用到，它可以很好地幫助學生理解數與數之間的直接的大小關系。例如，按從小到大的順序排列下面各數：1.1、4/3、-2、0。學生讀完題目后會覺得這個題目中既有小數，又有分數，還有負數，比較起來需要注意的地方很多。因此，可以結合數軸來比較：首先數軸是以0為參照點的，所有的負數都在0的左邊，正數在0的右邊。而數軸上的數越往左越小，越往右就越大，因此可以確定-2<0，1.1和4/3大于0，接下來只要考慮1.1和4/3的位置，因為1.1在4/3的左邊，所以-2<0<1.1<4/3。這只是學生借助數軸的思考過程，如果能夠把數軸這一基本圖形中的每個數標出來，這個問題解決起來會更快，如圖1所示。

方格紙在認識圖形時是不可或缺的工具，認識圖形的周長和面積都離不開方格紙。例如，三角形的面積公式的推導，正是借助方格紙讓學生直觀看出，兩個完全一樣的三角形所拼成的平行四邊形，與原來的三角形是等底等高的，從而幫助學生理解三角形面積公式。直角坐標系在小學階段用到得不多，不過還是可以找到相對應的內容有：用數對確定位置和用方向與距離確定位置，它是后續的解決函數問題的重要工具。因此，我們在課堂教學中要注意培養學生掌握基本的圖形工具，并會用這些基本工具解決數學問題。

二、運用畫圖加深數形結合的理解

數學家笛卡爾曾說過：“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦海的了。”畫圖不僅可以使復雜的數量關系變得直觀、簡單，更重要的是，可以讓數學中的虛無縹緲的數具體起來，從而幫助學生理解數的意義，這就是數形結合。在學生剛剛接觸到數的認識時，數形結合便如影隨形。從一年級認識10以內的數時，學生通過數不同物體的個數，發現不同物體的數量相同，然后讓學生動手畫出和物體數量相同的圓，逐步抽象成可以用同一個數字來表示。再到學生認識20以內的數11時，通過把10個物體圈在一起，學生就在這個圈一圈的動作中，體會并理解十位上的1和個位上的1表示的含義是不一樣的。后面認識分數、小數都是采用數形結合的方式去認識和理解數的產生和發展的。

數與形的結合的意義遠不止于幫助學生理解數的意義，更在于對所學知識和已掌握技能的融會貫通。這主要體現在學生看到圖形想到了哪些數學知識，推理出了什么樣的數學結論。例如，一列從上海開往南京的動車（不返回），沿途分別設有蘇州、無錫、常州三站，這列列車一共要準備多少種不同的車票？解決這個問題很多學生第一個想到的方法就是一一列舉，上海到蘇州、上海到無錫……這個方法是能夠解決這個問題，但如果再增加一個站點，要增加幾種車票，學生推理起來就會覺得吃力。如果借助畫圖來實現數形結合，情況就會大不相同。把每個車站抽象成一個點，上海站和南京站之間可以用一條線段來表示，如圖2所示。

這樣借助這條線段圖就能很直觀地看出從上海開往南京的火車票的種類，用一道算式就可以解決：4+3+2+1=10（種）。學生通過對圖形和算式直觀的比較分析，很容易得到再增加一個站點，車票的種類數量只要再加上5種即可。甚至于推想出一共有n個站點的話，便會有“（n-1）+（n-2）+……+5+4+3+2+1”種不同的車票。由此可以看出，運用畫圖的方式還可以使形和數的運算結合起來，這是更深層次的數形結合。數與形的結合可以把復雜的數學問題剖析得更加直觀形象，更有助于學生思考和推理。

三、注重變換讓圖形動起來

圖形可以說是現實世界在數學中的模型，人們可以通過研究圖形進而去認識世界。很多現實世界的物體在刻畫成幾何圖形時，并非都是平面的圖形，更多是立體的幾何圖形，要認識和了解它們，通常就要用到圖形的變換。數學中的圖形變換主要是利用平移、旋轉和軸對稱三種方法使圖形在腦海中動起來，從而使學生能夠更透徹地認識、理解和記憶圖形的基本性質。例如，在六年級學習和認識長方體和正方體時，通過研究它們的平面展開圖去進一步加深學生對其基本性質的理解。在研究平面展開圖的過程中，就是讓孩子利用旋轉使圖形動起來，進而進一步體會和感悟到長方體相對的兩個面相同，正方形六個面都是同樣大的正方形等基本性質。圖形的變換在整個數學學習中占據著舉足輕重的地位，它既是學生學習數學的一種重要的方法，也是學生進行思考的一種基本的途徑。在研究圓柱體積時，讓學生把一張長方形的紙以長為固定軸旋轉一周，在這個過程中學生動手旋轉長方形是無法直接看到一個圓柱的，只有讓長方形在腦海里動起來，從而想象出一個圓柱來。學生通過想象和思考，易于弄清這個長方形和旋轉得到的圓柱之間的關系，長方形的長就是這個圓柱的高，寬是它的底面半徑。很顯然，圖形的變換在這個過程起到了決定性的作用，由基本的平面圖形變換到立體圖形，加深了學生對圖形以及它們之間聯系的認識和了解，也發展了學生的空間觀念和思考能力。0D652B42-827B-41D2-B201-DEBB6A426068

四、善用典型感受畫圖的價值

在小學階段用畫圖解決問題在數學學習中是最常用、最重要的方法，它還具備易操作性，只要有簡單的文具就可以完成。小學階段的孩子正處于具體的形象思維發達，而抽象概括能力不足的階段。畫圖能把抽象的內容用不同的圖形表示出來，使之變得直觀、形象，容易讓學生理解、接受，從而幫助他們解決復雜的問題。畫圖是一種便利的解決問題的策略，要想讓學生能夠主動地使用畫圖的策略，首先要讓他們感受到用畫圖方法解決問題的價值。教師要善于抓住時機，通過各種方法使學生切身體會到畫圖的價值。例如，二年級的題目：一只螞蟻先向東爬5分米，再向西爬4分米;又向東爬7分米，向西爬3分米，然后停下來，這時螞蟻停在起點的東面還是西面？離起點幾分米？題中的已知條件比較多，而且涉及方向的改變，如果讓學生直接回答會比較困難。這時讓孩子動筆畫一畫，先確定起點，再按照題中螞蟻每次爬行的方向和長度，標清每一次的位置。很快便能解決問題——螞蟻停在起點的東面，離起點5分米。這樣的已知條件多且雜的典型題目，是最容易讓學生感受到畫圖帶來的好處的，從而體會到在解決問題時畫圖的價值。

五、因時施宜逐步養成習慣

在教學中，要注意根據不同年齡層次孩子思維的發展水平，設計不同的畫圖方法，使他們在解決問題中真正感受到畫圖對理解數學內容、尋求解題思路時所帶來的便捷。因此，培養學生畫圖的習慣也就至關重要，教師從一開始，就要有意識地加以引導和培養學生畫圖的習慣。畫圖的能力不是一朝一夕就可以習得的，需要教師在日常教學中運用多種途徑和方法，促使學生不斷地、逐步地養成畫圖的習慣。在一、二年級時，可以讓學生用不同的圖畫來表示題目的意思，不一定要畫線段圖，可以是圓、三角形、示意圖等。例如，有一隊小朋友，從前往后數小明排在第4個，小紅排在第8個，小明和小紅之間有幾個小朋友？這樣的題目如果讓一年級孩子直接思考出答案是有一定難度的，老師可以引導孩子動手畫一畫。可能有的孩子會畫小人圖，有的孩子會用圓來代替小朋友，這都是可以的。只要他們能用圖畫表示出小明和小紅的相對位置就是可以的。當孩子們畫出示意圖時，只要數一數便能解決這個問題了。在剛剛開始系統的數學學習時，學生就已經感受到用畫圖的方法解決問題的好處，為他們養成畫圖的習慣奠定了基礎。隨著學生年齡的增長，到了中高年級，對于他們的畫圖就要提高要求——會用線段表示出不同的數量關系，所畫的線段的長度要與已知條件之間的關系相匹配等。例如，五年級兩個班參加植樹活動，一共植樹102棵，已知二班植樹的棵數是一班的2倍還多6棵，一班植樹多少棵？這一題在不畫圖的情況下直接列式解答，學生很容易出錯。教師可以在學生出錯的情況下，有意識地引導學生用畫圖的方法。但這時的畫圖就要提高對學生的要求，先要讓學生弄清先畫一班的比較方便，再使其明白用線段表示二班的植樹數量時，線段的長度應當是一班的線段長度的2倍多一些，畫得過長或過短都不利于問題的解決。把線段圖畫準確后，除了二班多出來的6棵，剩下的三份是一樣的，這樣只要用“102-6”再除以3，問題就迎刃而解了。任何習慣的養成都是需要時間的累積的，要想幫助學生養成畫圖的習慣，是需要教師在日常的教學中，不斷引導、適時點撥、長期堅持的。學生養成了畫圖的習慣后，就可以借助畫圖來分析數量關系，從而獲得獨立解決較難問題的能力。因此，培養學生畫圖習慣，應該作為平時的教學目標來實行。

義務教育階段的小學數學中，存在著許多重要的內容、概念的本質特征都與數和形相關，如分數、速度問題等，能從數和形這兩個角度去認識數學對學生來說至關重要。“數形結合”可以說是學生認識數學的基本方法、基本要求，而“畫圖”是培養學生幾何直觀的主要方法。在日常的教學中，尤其是課堂教學中要引導學生會用基本的圖形工具，知道在什么時候要使用基本的圖形工具;要抓住時機，抓住典型題型，讓學生在借助圖形理解數學的同時感受畫圖的價值;要時刻注重學生培養畫圖的習慣，幫助他們最終形成用畫圖解決問題的能力。

參考文獻：

[1]崔玉蘭.幾何直觀能力培養的三個“著眼點”[J].學周刊，2014（24）：194195.

[2]韓毅.借助圖形巧解題[J].第二課堂（小學版），2003（Z1）：2.

責任編輯：黃大燦0D652B42-827B-41D2-B201-DEBB6A426068