數學實驗
——學習數學的一種重要方式

文|劉德宏 劉倩飴

數學實驗是一種重要的學習方式。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：讓學生充分經歷觀察、猜想、實驗、交流、推理等過程，從中感悟數學思想、積累活動經驗，發展思維能力。數學實驗在小學數學的各個年級段、各個內容領域、各種類型知識的學習中都發揮著重要的作用。因此，必須得到高度的重視。

一、數學實驗的內涵詮釋

數學實驗是為了建構數學概念、驗證數學猜想、獲得數學結論、探索數學規律、解決數學問題，借助實物和工具，對實驗素材進行“數學化”操作的一種學習方式。數學實驗是認知、思維、情感等作用于現實環境并進行交互作用的“做思共生”“手腦并用”的具身認知活動。它具有下面幾個特征：

1.基于數學問題的解決；

2.借助一定的實物和工具；

3.具有一定的活動場域；

4.需要主體的積極參與；

5.指向思維能力的培養。

數學實驗具有較強的直觀性和探索性，對幫助學生深刻理解數學知識，培養學生創新意識和實踐能力具有積極的促進作用。

二、數學實驗的教學價值

數學實驗要求教師遵循學生的認知規律，精心設計問題，激發學生的探究熱情，引領學生積極主動地參與到猜想、驗證、交流、推理等數學活動之中，真正實現從“被動”走向“主動”，從“重結果”走向“重過程”，從“接受”走向“創新”，從“離身學習”走向“具身學習”，達到“做學玩一體”“學思創共生”的教學質態。

1.運用數學實驗，建構抽象概念。

數學概念比較抽象，而兒童的思維以具體現象思維為主。教學中，通過實驗讓學生經歷知識的發生、發展和形成的過程，從而真正理解數學概念，訓練思維的深刻性。例如，學習“體積”時，為了讓學生理解“體積”這一抽象的概念，組織下面的實驗：在兩個同樣大的玻璃杯里，第一個裝滿水，第二個放一個桃，將第一個杯子里的水倒入第二個杯子，倒滿后，第一個杯子里還剩一些水，說明桃子占了一部分空間，也就是物體占有一定的空間；接著繼續進行實驗，兩個同樣大的杯子，一個放一個桃，另一個放一個荔枝，往這兩個杯子里倒滿水，發現放桃子的杯子裝的水少，放荔枝的杯子裝的水多，說明物體占的空間有大小，在此基礎上有機地揭示出體積的概念：物體所占空間的大小叫作物體的體積。通過這樣的分步實驗，學生真正理解了“體積”這一抽象的概念，建立了空間觀念，收到了較好的教學效果。

2.運用數學實驗，驗證數學猜想。

猜想是發現的前奏，沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現。教學中，引導學生大膽猜想，然后組織實驗，驗證猜想，發現數學結論。例如，教學“圓的周長”時，教師讓學生根據下圖猜想圓的周長與直徑有什么關系？有的猜出圓的周長比直徑的4倍少，有的猜出圓的周長比直徑的3倍多，究竟有什么關系呢？教師組織學生實驗，讓學生拿出課前教師發的材料，選擇三種材料量出圓形物體的周長和直徑，再算一算周長除以直徑的商（得數保留兩位小數），填寫實驗報告表。實驗結束后，組織交流展示，發現圓的周長總是直徑的三倍多一些，從而驗證了同學們的猜想，在此基礎上，揭示“圓周率”的概念，推導出圓的周長的計算公式。這樣的教學，學生經歷了觀察、猜想、操作、計算、驗證、交流的過程，自主發現了數學結論。

3.運用數學實驗，獲得數學結論。

數學教學不僅要關注結果，更要關注獲取結果的過程。運用數學實驗，實施問題驅動，讓學生借助學具，通過計算、測量、操作等活動，自主發現數學結論，從而使深度學習真實發生。例如，學習“三角形的內角和”這一知識時，教師精心設計實驗步驟，組織學生分步實驗，逐步得出數學結論。先讓學生拿出兩種三角尺，計算三角尺中三個內角和是多少度？接著讓學生再測量計算其他直角三角形的內角和，有的學生算出181°，有的學生算出179°，有的學生算出180°，教師指出，由于測量的誤差，所以算出來的內角和不一定一樣，有沒有避免這種誤差的方法呢？在問題的引領下，學生想到撕拼、折拼的方法得出直角三角形的內角和是180°，但是拼的時候有縫隙，有的時候不能拼成平角，教師設疑：能不能不破壞原來的三角形，推出直角三角形的內角和是180°？學生想到把長方形分成兩個直角三角形，根據長方形內角和推出直角三角形內角和：90°×4÷2＝180°，有了發現“直角三角形內角和”的經驗，教師再讓學生探索銳角三角形內角和、鈍角三角形內角和，有的學生想出撕拼、折拼的方法，更有學生運用轉化的方法，把已知三角形分成兩個直角三角形，從而根據直角三角形的內角和推理得出銳角三角形、鈍角三角形的內角和（180°×2－90°×2=180°），這樣也避免了操作的誤差，同時進行了“思想”上的實驗，得出三角形的內角和是180°。

4.運用數學實驗，培養創新思維。

數學實驗不只是簡單的操作活動，而是在問題的引領下，讓學生經歷“再發現”和“再創造”的過程，從中積累思維活動的經驗，培養創造性思維。例如，教學“圓的面積計算公式”時，組織學生動手將圓形紙片平均分成16個小扇形，拼成近似的平行四邊形，接著借助信息技術手段，演示將圓平均分成32份、64份、128份，拼成近似的長方形，學生發現分的份數越多，拼成的圖形越接近長方形。接著組織學生討論3個問題：①長方形的面積與圓的面積有什么關系？②長方形的長與圓的周長有什么關系？③長方形的寬與圓的半徑有什么關系？在此基礎上，根據長方形的面積公式，推導出圓的面積計算公式，但也有學生想到把圓形紙片平均分成16個小扇形拼成三角形或梯形，根據三角形、梯形的面積公式，推導出圓的面積計算公式。這是一種創造性的思維，在這個實驗過程中，學生身心一體、心智統一，感悟到了數學思想，積累了活動經驗，創造性思維得到了有效的發展。

三、數學實驗的教學策略

1.培養問題意識，讓數學實驗有目標。

問題是數學的心臟。有了問題，思維才有方向、才有動力。數學實驗要培養學生的問題意識，要用問題激發學生的實驗熱情，引領學生的數學思考。要圍繞問題設計方案、開展實驗、分析數據、得出結論。實驗前，創設問題情境，設置認知沖突，激發學生的實驗欲望；實驗中，鼓勵學生提問，對同伴、對方案進行質疑；實驗后，發散聯想，由此及彼，引發新的問題。例如，學習“三角形的內角和”時，學生已經通過實驗得出“直角三角形的內角和為180°”，這時引導學生提問：是不是所有的三角形內角和都是180°呢？在這一問題的驅動下，學生積極地展開了“銳角三角形的內角和”“鈍角三角形的內角和”的探索。

2.優化方案設計，讓數學實驗有實效。

數學實驗要有實效，優化方案設計非常重要。在實驗前，教師要精心設計實驗方案，確保實驗取得實效。一是積極開發實驗材料。教師要根據教學內容，有計劃地積極開發實驗材料。可用生活中簡易的、便于操作的材料，如塑料吸管代替小棒、紙盒代替立體圖形，也可以在網上購買一些質量較好的學具，還可以進行適當的改造加工，自制教學具。教師要提供豐富的材料，提升實驗的價值。如，學習“圓錐的體積”時，教師可不受教材的束縛，提供的材料可以是等底等高的長方體和圓錐體；可以是等底等高的圓柱和圓錐；也可以是等高不等底的圓柱和圓錐；還可以是等底不等高的圓柱和圓錐，讓學生根據自己的需求，選擇材料進行實驗，增加實驗的體會，豐富實驗的經驗，提升實驗的品位。二是提出具體明確的實驗要求。讓學生明確實驗活動的要求是確保實驗取得實效的重要前提。實驗前提出活動的要求，明確人員的分工，讓學生明目標、知要求、懂方法、會分析、能總結，掌握實驗的步驟，有序地開展數學實驗。三是及時組織表達交流。實驗結束后，要及時組織學生進行表達交流，梳理自己的實驗過程，交流做法想法。怎樣得到實驗數據的？從數據中發現了什么？有什么收獲？有什么體會？要注意什么？還可以怎樣表達？通過這樣的表達交流，有助于提高學生的語言表達能力和思維能力。例如，學習“長方形和正方形的認識”時，組織學生動手操作，發現正方形邊的特征。學生交流方法：有的是左右對折，得出左邊和右邊相等；有的是上下對折，得出上邊和下邊相等；有的斜著對折，說明相鄰的兩條邊相等，（如下圖）由此得出正方形四條邊都相等。這樣的表達，學生講出了得到結論的思考過程，其實也是一種推理過程的展示。四是重視實驗結果的分析運用。實驗結束后，要組織學生對實驗結果進行分析，從數據中得出結論。例如，學習“可能性”時，將三張紅桃撲克牌和一張黑桃撲克牌打亂后，反扣在桌子上，從中任意摸一張，摸到哪種牌的可能性大？學生猜想后，教師及時組織學生進行分組實驗，要求每組摸40次并及時做好實驗記錄。實驗結束后，教師逐一讓每個組匯報摸到兩種牌的次數，并適時在課件上輸入數據，現場匯總，統計表和復式條形統計圖同步顯示，隨著數據的增加，統計表中匯總數同步增加，復式條形統計圖中兩種直條同步上升，匯報結束，讓學生觀察統計圖、統計表，形象直觀地驗證了猜想，在實驗中、在圖表中得出了“摸到紅桃的可能性大”這一數學結論。

3.給足實驗時空，讓數學實驗有過程。

不少教師在課堂上組織實驗，流于形式，沒有給足實驗的時空，未照顧到不同層次的學生，實驗結論還未得出或部分學生才完成，就讓學生停止實驗。這種實驗不是真正意義上的實驗，沒有讓學生得到真正的體驗，課堂效率低下。因此，要創設人人參與實驗操作的機會，給學生充足的實驗時空，讓學生充分經歷觀察、猜想、實驗、交流、評價、推理等活動過程，讓全班學生都有時間去設計方案、操作實驗、匯總結果、小組交流、補充修正、分析結果、得出結論。個體能獨立完成的，盡量讓個體獨立完成；需要合作的，協調好個體之間的關系，做好人員分工。有些學習內容，需要長時間實驗，教師可以適當采取長短課結合的形式組織實驗；對于測量一類的數學實驗，有時需要更大的實驗空間，可以延伸到教室外甚至校園外進行，如，100米、1000米有多長？1公頃有多大？需要在室外測量體驗。這樣的實驗，才是真正經歷探索過程的實驗，才有真過程、真體驗、真收獲。

4.善于溝通聯系，讓數學實驗有深度。

數學實驗不能滿足于操作的完成、結論的獲得、方法的掌握，還要注重溝通不同方法之間的聯系，異中求同，在發散思維的基礎上尋求方法的一致性和思維的聚合性，從而讓深度學習真正發生。例如，在教學“多邊形的內角和”這一知識時，組織學生實驗操作，想辦法求出“五邊形的內角和”，學生想出了下面幾種方法：

方法一：從五邊形的一個頂點出發，分成三個三角形；

方法二：從一條邊上的一點出發，將五邊形分成四個三角形；

方法三：從五邊形中間一點出發，將五邊形分成五個三角形。

教學不能到此為止，要抓住這一生成資源，及時溝通方法之間的聯系，深度理解多邊形的內角和的探究方法，其實第二種、第三種與第一種有著密切的內在聯系，存在著一致性。

方法一：180°×（5－2）=180°×3

方法二：180°×4－180°=180°×3

方法三：180°×5－360°

=180°×5－180°×2

=180°×3

如果用上面的三種方法，繼續進行“思想”的實驗，推導n邊形內角和，同樣存在一致性。

方法一：從一個頂點出發，將多邊形分成（n-2）個三角形。

n邊形內角和=180°×（n－2）

方法二：從一條邊上的一點出發，將n邊形分成（n-1）個三角形。

n邊形內角和

=180°×（n－1）－180°

=180°×n－180°×1－180°

=180°×（n－2）

方法三：從n邊形中間一點出發，將n邊形分成n個三角形。

n邊形內角和

=180°×n－360°

=180°×n－180°×2

=180°×（n－2）

5.延續實驗熱情，讓數學實驗有長效。

數學實驗不僅僅滿足于結論的獲得，獲得了結論并不代表著實驗探索的結束。課堂教學僅是實驗的一部分，我們要把實驗從課內延伸到課外，從校內延伸到校外，讓課內學到的方法延伸到課外，使其常態化、長效化，讓學生受益終身。得出實驗結論后，可以引出新的問題，讓學生帶著問題，繼續走向探索的征程，也可以啟發學生用不同的方法繼續深入探究。例如，學習“三角形的面積計算公式”時，課內用兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形，根據平行四邊形的面積公式推導出三角形面積公式，下課前教師可以提出這樣的問題：能不能就用一個三角形，把三角形轉化成其他的圖形，推導出三角形的面積計算公式呢？請同學們課后繼續思考，大膽實驗。這樣的問題引領，讓學生感悟到實驗中的轉化思想、積累的活動經驗能夠在后續的實驗中繼續發揮作用，從而增強學生的實驗熱情，促進學生的思維能力不斷得到發展。

6.加強學科融合，讓數學實驗有廣度。

數學實驗不僅要用到數學知識，還要用到其他學科的知識。實驗中，要加強學科之間的融合，培養學生綜合運用所學知識解決實際問題的能力。例如，學過“正比例”后，組織學生進行“大樹有多高”的實驗，需要學生測量桿高、桿子的影長、大樹的影長，其實在這個實驗中，還用到科學學科的知識，即“不同的太陽高度，物體的影長不一樣；同樣的太陽高度，不同高度物體的影長不一樣”，因此，要同時同地測量，才能準確計算出大樹的高度。

7.重視回顧反思，讓數學實驗有經驗。

數學實驗結束后，要及時組織學生進行回顧反思，總結提煉實驗方法，感悟數學思想，交流實驗困惑及解決的途徑，從中積累活動經驗，讓學生在數學實驗活動中真正從“經歷”走向“經驗”。例如，在學習“長方形面積公式的推導”時，讓學生用邊長1厘米的小正方形擺3個不同的長方形，并在表格中填寫長、寬、小正方形的個數、長方形的面積，實驗結束后，組織回顧反思，交流擺的過程和發現。有的學生說：“沿著長一排一排地擺，擺滿后數一數”；有的學生說：“沿著寬一排一排地擺，擺滿后數一數”；有的學生說：“沿著長擺一排，沿著寬擺一排，不需要擺滿，只要用長邊擺的個數乘短邊擺的個數就可以知道擺滿的個數，也就是長方形的面積。這樣既方便，又省時間。”這真是創造性的思維！通過這樣的回顧反思、交流啟發，學生得到了好的經驗，創新意識也得到了培養。

數學實驗，作為一種重要的學習方式，在學生的數學學習中發揮著重要的作用。教師要結合具體的教學內容，精心設計實驗方案，有效組織數學實驗，引領學生經歷實驗過程、獲得數學結論、感悟數學思想、積累活動經驗、提升數學素養，從而為學生的終身發展奠基。