巧避材料暗示 促進(jìn)深度學(xué)習(xí)
——《三角形的面積》教學(xué)實(shí)踐與思考

文 許燕萍 俞 軍（特級(jí)教師）

【課前思考】

隨著課程改革的不斷深入，教師的教學(xué)理念也在不斷更新。《三角形的面積》一課教學(xué)，廣大教師已將重點(diǎn)從三角形面積公式的掌握和熟練運(yùn)用轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蚊娣e公式的理解上，也看到很多案例中安排了大量的實(shí)踐操作活動(dòng)去探究面積公式的由來。

但如何在這些探究活動(dòng)中充分暴露學(xué)生的原生態(tài)思維，拓寬他們的思維廣度，最大限度地挖掘解決問題的多種策略，從而讓學(xué)生深刻體驗(yàn)到知識(shí)產(chǎn)生的過程，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生，顯然還有待深入研究。因此，筆者將從探究材料入手，不再提供給學(xué)生可操作的兩個(gè)完全一樣的三角形（分三類），而是讓學(xué)生先想一想，然后再在《學(xué)習(xí)單》上畫一畫思考過程，并借助表達(dá)想法、動(dòng)手操作、課件演示來更直觀、更多元地展示圖形的轉(zhuǎn)化過程，從而拓展學(xué)生的思維空間，發(fā)展學(xué)生的空間想象力。

【教學(xué)目標(biāo)】

1．經(jīng)歷三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，理解三角形面積計(jì)算公式的由來，并正確運(yùn)用三角形面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。

2．進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間想象力，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

3．在自主探究中獲得積極的情感體驗(yàn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【教學(xué)過程】

一、激活已有經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)導(dǎo)入課題

上課伊始，教師借助多媒體直接出示上面三類三角形（先不給數(shù)據(jù)），問學(xué)生：你看到了什么？（生：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形）

（然后課件出示數(shù)據(jù)）你又看到了什么？（生：三角形的底和高分別是多少）好的，今天我們就一起來研究三角形的面積。（板書課題）

【思考：上課伊始，教師直接出示三種不同類型的三角形，在沒有數(shù)據(jù)的干擾下，促使學(xué)生回憶起三角形的分類，有效激活已有經(jīng)驗(yàn)，為本節(jié)課將要從這三類三角形展開研究做鋪墊。另外，開門見山引入課題，有效激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，使他們迅速將思維轉(zhuǎn)移到本節(jié)課的研究內(nèi)容上。】

二、直面挑戰(zhàn)性任務(wù)，暴露學(xué)生思維

師：同學(xué)們，如果讓你任選一類三角形來研究，你會(huì)選哪個(gè)？（生:直角三角形）現(xiàn)在我們要研究直角三角形的面積，你會(huì)怎么想？先把你的想法在這個(gè)直角三角形上畫一畫，然后再算一算，請完成《學(xué)習(xí)單》的第一題。（學(xué)生獨(dú)立探究，教師關(guān)注學(xué)生探究的情況，及時(shí)了解學(xué)生的探究過程及計(jì)算背后的思考過程）

【思考：以上教學(xué)環(huán)節(jié)，看似無意，實(shí)則別有用心。在以往的教學(xué)過程中，教師通常會(huì)為學(xué)生準(zhǔn)備好類似這樣的學(xué)具：提供兩個(gè)完全一樣的三角形（分三類）。從前期的磨課中發(fā)現(xiàn)，這樣的安排無意中局限了學(xué)生的思維，使其在想到拼組的方法后很難再去思考別的方法。因此，我們決定不再為學(xué)生提供兩個(gè)完全一樣的三角形，而是讓學(xué)生先想一想，再把思考過程在《學(xué)習(xí)單》上的直角三角形中畫出來，由于學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思考的角度不同，解決問題的策略也不盡相同，故此環(huán)節(jié)為學(xué)生有效創(chuàng)設(shè)了探究的時(shí)空，能充分暴露學(xué)生的原生態(tài)思維。】

（教師巡視并找到學(xué)生的以下三種轉(zhuǎn)化方法，并逐個(gè)投影反饋）

師：同學(xué)們，請看大屏幕，有同學(xué)是這么做的（指著圖1），誰能看明白？

師：（追問）隨便兩個(gè)直角三角形都能拼嗎？（兩個(gè)完全一樣的直角三角形才可以拼）

師：老師這里就有兩個(gè)完全一樣的直角三角形，按照你的意思把它拼成長方形（緊接著教師用實(shí)物演示，并貼到黑板上）。剛才我們這樣拼是拼成了（生：長方形），如果這樣拼就拼成了（生：平行四邊形）。

師：（追問）但這兩種拼法都可以用哪個(gè)算式來計(jì)算？（16×10÷2）

師：下面我們來看第二種想法（指著圖2），先請主人來說說他是怎么想的。（生：我是沿高的一半剪開，然后把它拼成一個(gè)長方形）

師：（追問）高的一半怎么找呢？誰有好辦法！（生：對(duì)折）好，那老師把它沿著高對(duì)折，（教師沿著高剪開）誰來幫老師拼一拼？（指名學(xué)生拼貼到黑板上）

師：現(xiàn)在我們把這個(gè)直角三角形轉(zhuǎn)化成了長方形，這個(gè)長方形的長是（16），寬是（10÷2），面積是16×（10÷2），這樣算出來的也就是（生：三角形的面積）。

師：同學(xué)們，這里還有第三種方法（指著圖3），猜猜他又是怎么想的？（他是沿著底的一半剪開，再把剪下來的左邊部分拼到上面，也拼成了一個(gè)長方形）

師：（追問）那底的一半怎么找啊？（生：也用對(duì)折）好，老師就照著你的意思對(duì)折并剪下來（教師演示），這次誰來幫我拼？（指名學(xué)生貼到黑板上）

師：（追問）這個(gè)長方形的面積怎么計(jì)算呢？（生：16÷2×10）這樣也就算出了（生：三角形的面積）。

小結(jié)：我們在研究直角三角形面積的時(shí)候，可以用兩個(gè)完全一樣的直角三角形拼成一個(gè)長方形或者平行四邊形，也可以將一個(gè)直角三角形割補(bǔ)成一個(gè)長方形，但是不管哪種方法，都是轉(zhuǎn)化成了我們已經(jīng)學(xué)過的圖形。

【思考：以上教學(xué)過程，教師利用印在《學(xué)習(xí)單》上的直角三角形這一探究材料，促使學(xué)生多角度地思考問題，激活了學(xué)生的多元思維，體會(huì)到了解決問題策略的多樣化，有效提高了學(xué)生解決問題的能力。同時(shí)，還適時(shí)滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。另外，在師生、生生間的交流、互動(dòng)、碰撞中，學(xué)生的思維從模糊到清晰，從殘缺到完整，甚至從錯(cuò)誤到正確，從而不斷完善了學(xué)生的思維。】

三、緊扣數(shù)學(xué)本質(zhì)，完善學(xué)生思維

師：同學(xué)們，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)，請看大屏幕，現(xiàn)在還剩下哪兩類圖形？（生：銳角三角形和鈍角三角形）同桌商量一下，一人選一個(gè)，先畫一畫，再算一算。請拿出《學(xué)習(xí)單》來試一試，做完后可以同桌交流一下各自的想法。

教師在巡視中有意識(shí)地選擇銳角三角形的三種典型計(jì)算方法，并請學(xué)生板書到黑板上，具體如下：

方法①：14×12÷2 方法②：14×（12÷2）

方法③：14÷2×12

師：好，同學(xué)們，請停下來！我們先來交流銳角三角形。你能看懂哪一種？

（學(xué)生交流到方法①時(shí)投影《學(xué)習(xí)單》的相應(yīng)思考過程，出示圖4）

師：（交流到方法②時(shí)）猜猜他是怎么剪的？還有不同的剪拼方法嗎？（教師根據(jù)學(xué)生匯報(bào)交流，適時(shí)呈現(xiàn)如圖5的兩種方法）

師：（繼續(xù)引導(dǎo)）不難發(fā)現(xiàn)這兩種方法都是沿著高的一半剪開，拼好的圖形和原來的三角形面積是（生：相等的），所以這個(gè)三角形的面積該怎么算？（生：12÷2×14）。

師：（交流到方法③時(shí)）他又是怎么想的呢？（生：沿底的一半剪開，但是不能對(duì)折，要兩邊分別對(duì)折剪開）（教師適時(shí)出示圖6）所以這個(gè)長方形的長是（生：14÷2），寬是（生：12），算式是（生：14÷2×12）。

師：還有同學(xué)選擇了鈍角三角形來研究，我們一起來交流（快速簡單交流）。

教師逐一呈現(xiàn)學(xué)生中典型的三種轉(zhuǎn)化方法（如圖7）：

師：同學(xué)們，你們真了不起！現(xiàn)在我們一起以動(dòng)態(tài)的方式來回顧剛才的這幾種轉(zhuǎn)化過程。（教師課件動(dòng)態(tài)演示轉(zhuǎn)化過程，如圖8）

師：同學(xué)們，你們很厲害！想到了那么多的轉(zhuǎn)化方法，那么現(xiàn)在你們說一說三角形的面積可以怎么計(jì)算呢？（生：底×高÷2）這個(gè)呢？［生：底×（高÷2）］這個(gè)呢？（生：底÷2×高）其實(shí)，這三個(gè)公式的本質(zhì)是一樣的，一般情況下，三角形的面積公式就寫成：底×高÷2；其字母公式可表示為：S＝ah÷2。

【思考：在探究完直角三角形之后，引導(dǎo)學(xué)生自主探究其余兩類三角形的面積，學(xué)生在已有的直角三角形的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)上，能夠自主利用方法再次遷移，由特殊到一般，從而讓推理過程更嚴(yán)密。另外，通過大量的對(duì)三角形面積轉(zhuǎn)化過程的體驗(yàn)與感悟，使學(xué)生對(duì)三角形面積公式的理解更為清晰和深刻，真正構(gòu)建起了三角形面積計(jì)算的模型，從而進(jìn)一步有效促進(jìn)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。】

四、延長體驗(yàn)過程，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維

師：（課件呈現(xiàn)基本練習(xí)）同學(xué)們，你們學(xué)得都很棒！現(xiàn)在老師要來考考你，請看屏幕（課件出現(xiàn)原始三角形，如圖9）。

師：如果讓你計(jì)算這個(gè)三角形的面積，你會(huì)想到哪些轉(zhuǎn)化方法？靜靜地想一想。（讓學(xué)生只在腦海中想，不作交流）

師：（課件出示圖10-①）這種轉(zhuǎn)化方法你想到了嗎？（課件出示圖10-②）這種轉(zhuǎn)化方法你又想到了嗎？（課件出示圖10-③）現(xiàn)在呢？（課件出示圖10-④）最后一個(gè)呢？

師：（再出示圖10中右邊三個(gè)算式）現(xiàn)在請你將轉(zhuǎn)化的方法和匹配的算式連一連。

師：同學(xué)們，請看大屏幕，和你連的一樣的請舉手。很棒！為你們點(diǎn)贊！

【思考：通過先想象，后找到轉(zhuǎn)化的方法，并和匹配的算式連一連，旨在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)、強(qiáng)化解決“三角形的面積是多少”這個(gè)問題的思維方式，而不是簡單、機(jī)械地套用公式，學(xué)生感悟到的是一種數(shù)學(xué)本質(zhì)，而非一個(gè)冷冰冰的公式。】

五、適時(shí)拓展延伸，提升學(xué)生思維

（課件呈現(xiàn)拓展練習(xí)）請你在下圖中畫一個(gè)三角形，使得它的面積與平行四邊形的面積相等。（每相鄰兩點(diǎn)之間的距離為1）

師：看來，這些數(shù)學(xué)問題都難不倒大家！下面我們繼續(xù)研究。請看大屏幕，自由地讀一讀要求。

師：同學(xué)們，題目讀完了，會(huì)嗎？請?jiān)凇秾W(xué)習(xí)單》上試一試。

反饋預(yù)設(shè)：

1.展示底是4，高是6的作品（圖略）。我們先來看這位同學(xué)的作品，先請他說說是怎么想的？

生：當(dāng)三角形的面積和平行四邊形的面積相等，并且底也相等時(shí)，那么三角形的高必須是平行四邊形的高的2倍，這樣才能保證它們的面積相等。

2.展示高是3，底是8的作品（圖略）。我們再來看第二位同學(xué)的作品，誰能猜猜他是怎么想的？

生：當(dāng)三角形的面積和平行四邊形的面積相等，并且高也相等時(shí)，三角形的底必須是平行四邊形的底的2倍，這樣才能確保它們的面積相等。

3.展示底×高＝24的作品（圖略）。我們再來看這位同學(xué)的作品，請作者說說他又是怎么想的？

生：要保證三角形的面積與平行四邊形的面積相等，只要做到“底×高＝24”，然后再÷2就可以了。

【思考：表面上這是一個(gè)實(shí)踐操作題，但是考查的卻是學(xué)生的空間想象能力，萬變不離其宗的思維方式，以及逆向思考的能力。即無論怎樣想象及如何畫圖，只要三角形的面積算出來等于12就行；同時(shí)，還可以逆向思考，三角形的底乘高除以2等于12，那么底乘高只要等于24即可；還有當(dāng)三角形的底和平行四邊形的底相等時(shí)，高必須是兩倍關(guān)系才能保證它們的面積相等，從而有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和關(guān)鍵能力。】

六、滲透舉一反三，發(fā)展提問能力

師：好了，同學(xué)們，到現(xiàn)在為止我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了如何求長方形、正方形、平行四邊形和三角形的面積，此時(shí)你又有什么新的問題要問老師或同學(xué)嗎？

生1：梯形的面積怎么求？

生2：圓的面積怎么求……

【思考：通過學(xué)生的提問，構(gòu)建起長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓的整體框架，為后續(xù)學(xué)習(xí)梯形的面積、圓的面積做好鋪墊，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的知識(shí)遷移能力。】

【課后思考】

1.精設(shè)探究材料，開放學(xué)生思維。

材料引起學(xué)習(xí)、材料引起活動(dòng)，學(xué)習(xí)材料是我們解決問題和形成數(shù)學(xué)思維的基本保證。本課最大的特點(diǎn)是探究性學(xué)習(xí)材料的精心設(shè)計(jì)，沒有像大多數(shù)教師一樣給學(xué)生提供兩個(gè)完全相同的三角形（分三類提供），而是呈現(xiàn)給學(xué)生三個(gè)不同類型的三角形，引導(dǎo)學(xué)生通過想一想、畫一畫、算一算的數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成三角形面積公式的推導(dǎo)。在此活動(dòng)中，學(xué)生的思維不受學(xué)習(xí)材料的影響，可以想到用兩個(gè)完全一樣的三角形進(jìn)行拼組，也可以想到把一個(gè)三角形進(jìn)行剪拼，避免了不敢剪、剪壞了沒有材料可用的尷尬場面。另外，“先想再畫”對(duì)學(xué)生的空間想象能力提出了更高的要求，但它能充分暴露學(xué)生的原始思維，有效提升學(xué)生的想象能力和思維能力。

2.遵循學(xué)習(xí)軌跡，實(shí)現(xiàn)順學(xué)而導(dǎo)。

從學(xué)生思考的角度出發(fā),更容易發(fā)現(xiàn)問題,而問題本身往往就是教學(xué)重難點(diǎn)。本堂課，教師始終遵循學(xué)生學(xué)習(xí)的思維軌跡，通過畫一畫的獨(dú)立思考，充分暴露學(xué)生的原始思維，在與他人交流的過程中，不斷積累思維的經(jīng)驗(yàn)，逐步形成自己的合理的思維方法，真正實(shí)現(xiàn)了順學(xué)而導(dǎo)的教學(xué)理念。只有當(dāng)學(xué)生通過自己的思考，建立起自己的數(shù)學(xué)理解力時(shí)，他們才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)。

3.設(shè)計(jì)多元體驗(yàn)，促進(jìn)深度建模。

本節(jié)課中，教師設(shè)計(jì)了兩個(gè)多向思維的環(huán)節(jié)，如探究直角三角形的面積時(shí)，由思維圖式得到計(jì)算的算式，而在銳角三角形和鈍角三角形時(shí)，卻由計(jì)算的算式回憶或猜想思考的過程。又如練習(xí)設(shè)計(jì)，第一個(gè)基本練習(xí)是根據(jù)推導(dǎo)方法選擇匹配的算式，在解決問題的過程中學(xué)生不再是簡單地套用公式，而是重現(xiàn)轉(zhuǎn)化過程，進(jìn)一步理解三角形面積計(jì)算公式的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。第二個(gè)拓展練習(xí)是根據(jù)三角形的面積公式反推底和高，通過推導(dǎo)、說理等過程，找到平行四邊形和三角形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系。這樣的多元體驗(yàn)，貴在引導(dǎo)學(xué)生從多層次多角度去思考問題，不僅能強(qiáng)化教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，而且還可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分發(fā)揮出每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，有效培養(yǎng)了每一位學(xué)生的創(chuàng)造力。

總之，科學(xué)的、客觀的、具有一定開放性的學(xué)習(xí)材料，能夠讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維充分拓展，解題策略豐富多元，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生。