更好理解一邊靠墻面積最大的問題

文|沈 勤

用籬笆圍菜地，當一邊靠墻時，長和寬越接近，面積不一定越大。如何打破學生的思維定勢，幫助學生更好地理解一邊靠墻時面積最大的數學本質？可以采用以下教學過程。

一、喚醒“周長相等，正方形面積最大”的經驗

情境：小明媽媽要在花園里種菜，用12米的籬笆圍出一塊長方形菜地（整米數），怎樣圍菜地的面積最大？學生列式解決，集體反饋。喚醒學生已有經驗“周長相等，圍成正方形時面積最大”。

二、探究“一邊靠墻，面積最大”的規律

情境：用12米的籬笆圍出一塊長方形菜地，一邊靠墻（墻足夠長），怎樣圍菜地的面積最大（整米數）？學生猜測，預設學生認為圍成正方形時面積最大。借助表格和畫圖，組織學生進行探究活動（如圖1）。

圖1

反饋交流，預設學生發現：一邊靠墻，圍成正方形時面積不是最大的。發現圍成長6米、寬3米的長方形時面積最大。追問：長6米，寬3米時，長與寬有什么關系？引導學生發現：長是寬的2倍。

更換籬笆的長度，改為20米和32米（籬笆總長度為4的倍數），當長和寬分別是多少時面積最大？讓學生借助畫圖和表格，通過計算發現仍然當“長是寬的2倍”時，面積最大。

三、明晰“一邊靠墻，面積最大”的原理

提出思考：一邊靠墻，為什么當長是寬的2倍時，長方形面積最大？以籬笆的長度12米為例進行探究（如圖2）。教師提供鏡子，學生以四人小組為單位進行探究，觀察鏡子里外所拼成的圖形（如圖3），并在組內討論自己的發現。

圖2

圖3

借助鏡面觀察，發現鏡子里的三條邊和鏡子外的三條邊可以組成一個周長為24米的長方形。當鏡子外的長方形，長是寬的2倍時，鏡子里和鏡子外正好組成一個正方形。當周長都是24米時，正方形面積最大，鏡子外是正方形面積的一半，也是最大的。

教師呈現圖4的兩種圍法，計算其面積，說一說有什么發現？學生再次感悟到只要鏡子里和鏡子外拼起來是一個正方形，圍出的面積就是最大的。

圖4

用籬笆圍四面和一邊靠墻，看似結論不一樣，其實是有關聯的，都是運用“周長相等，正方形面積最大”這一規律。