凸顯內核 豐盈思想
——《打電話》教學例談

文|夏向陽 張磊銘

一、教材分析

人教版五年級下冊《打電話》屬于綜合與實踐內容，設置的目的在于培養學生綜合運用有關知識與方法解決實際問題，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累活動經驗，提高學生解決現實問題的能力。基于此，本課時的教學目標定位：

1.創設學生熟悉的“打電話”生活情境，指導學生用畫圖、列表格等方式，找到“打電話”的最優方案，經歷有目的、有設計、有步驟、有合作的實踐活動。

2.進一步體驗數學與生活的密切聯系，經歷針對具體問題提出設計思路、制定簡單方案解決問題的過程，培養學生運用數學知識解決實際問題的能力。

3.用畫圖、列表格等方式發現事物隱含的規律，體會數形結合、推理、優化、模型等數學思想，進一步培養學生的歸納推理和解決簡單實際問題的能力。

二、教學過程

1.閱讀理解，自主解決。

師：同學們，四年級上冊我們學過了烙餅問題，知道了如何合理安排時間，今天我們要繼續學習合理安排時間的問題——打電話。

師：一個合唱隊共有7人，暑假期間有一個緊急演出，老師需要盡快通知到每一位隊員。如果用打電話的方式，每分鐘通知1人，請幫助老師設計一個打電話的合理方案。

師：同學們，從題目中你獲得了哪些數學信息？

生1：老師需要通知7人，每分鐘通知1人。

生2：需要盡快通知到每一位隊員。

師：通知的人數是7人，通知的用時是每分鐘1人，通知的要求是盡快。

師：請你根據題目的要求，設計一個打電話的方案。請同學們把方案記錄在《學習單》上，比一比誰設計得更合理。

2.展示評價，探究規律。

（1）交流方案，對比優化。

師：請同學們一起來看這位同學的設計方案。

生1：

師：這位同學用了7分鐘的時間。第1分鐘通知第1人，第2分鐘通知第2人，這樣依次通知，我們就給它取個名字叫逐個通知，也就是一個個通知，一共花了7分鐘時間。對他的這種設計方案，同學們有想法嗎？

生2：我覺得上面這種方法太慢，我是這樣設計的。

先花3分鐘打給組員①、組員②、組員③，打給組員②的時候組員①可以打給組員④。

師：這樣設計的方案需要幾分鐘？

生2：4分鐘。

師：這位同學的方法是分成了3個小組進行通知，那么我們就稱為分組通知。需要的時間是4分鐘。

師：接下來請同學們比較一下這兩種方法，想一想為什么分組通知比逐個通知花的時間更少？

生3：先通知的組員可以通知別的組員，比老師一個一個通知組員要快。

生4：我覺得逐個通知就只有老師一個人在打電話，但分組通知是很多人在打電話。

師：說得真好。逐個通知只有老師一個人通知，而分組通知的時候有多人同時在打電話。

師：下面這位同學只用了3分鐘，我們一起來討論一下這位同學的設計方案。

請這位同學結合自己設計的方案向同學們作一下介紹。

生5：老師先打給同學①花費一分鐘，第2分鐘的時候同學①打給第2個同學，同時老師打給第3個同學，第3分鐘的時候接到通知的同學和老師又可以打給4個同學。

師：這位同學的方法你們看懂了嗎？我們一起再來回顧一下（略）。

師：有沒有比3分鐘更少的方案？

生：沒有。

師：為什么？

生：每一個人都在打電話，沒有人出現空余。

（2）厘清思路，感受優化。

師：這位同學不僅畫了圖，而且還在線上注明了時間，讓我們一看就很清楚。下面老師要提高難度了，請同學們不畫圖，在頭腦中想一想，第4分鐘可以通知到幾個學生？

生：我覺得可以通知8個人。

師：大家都同意這位同學的想法嗎？接下去我們借助圖示一起來驗證一下。

師：上圖顯示的和同學們所說的8人是完全一致的。同學們，像這位同學通知的方法我們也取個名字，叫做最優化通知，時間只要3分鐘。那么請同學們想想看為什么最優化通知只要3分鐘，比分組通知4分鐘還少了1分鐘，這又是什么道理呢？

生：因為分組通知只是3個人在同時打，出現了有空余的人不在同時打電話，而最優化通知是所有已經知道的人都在打電話，沒有空余。

師：說得真好。最優化通知正如這位同學所說的，知道的每個人都在打電話，這樣設計的方案時間就會少。

（3）歸納推理，建立模型。

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師：誰來回答一下你覺得第5分鐘新收到通知的學生人數有幾人？

生1：我覺得是12人。

生2：我覺得是16人。

師：她覺得是12人，你覺得是16人。下面我們來進行一下表決，同意12人的請舉手，同意16人的請舉手。

師：看來同學們都同意16人。那誰來說說看這16人是怎樣得到的？你能不能把其中的道理和同學們說一說。

生：人數一直都是在2倍2倍地增加。

師：你能不能說得更加清楚一些？

生：第1次新通知到的人數是1人，第2次新通知到的人數是2人，第3次新通知到的人數是4人，第4次新通知到的人數是8人。

師：所以第5次你覺得是幾人？

生：16人。

師：想法和這位同學一樣的請舉手。老師有一個問題，收到通知的學生總人數第4分鐘是15人？為什么第5分鐘新收到通知的學生人數是16人？這又是什么道理？

生：因為老師也可以通知1人。

師：第6分鐘誰來說一說，收到通知的學生總人數是幾人？

生：我覺得是63人。

師：第7分鐘新收到通知的學生人數是多少？

（4）探索規律，深化突破。

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師：看了這個表格之后，剛才同學們說的新收到通知的人數呈2倍的倍數關系遞增外，你還有什么新的發現？

生：總人數是乘2加1。

師：請你結合表格說一說怎樣乘2加1。

生：1×2+1=3（人），3×2+1=7（人）。

師：所以你就覺得是乘2加1，是嗎？那么這個加1是什么意思？

生：多出來的1人是老師通知的學生。

師：下面我們一起來驗證一下這位同學的發現。誰能結合7和15來說一說。

生：因為7×2=14，14+1=15。

師：聽得明白嗎？說得真好。誰能解釋一下7×2=14表示什么意思？

生：7是指之前通知到的學生總人數，接下去這7個人都會打電話通知學生，所以一共有7×2=14（人）知道，老師還會再通知1人，所以還要加1人，等于15人。

師：真了不起。從畫圖到列表你們找到了這樣的規律。

生：還有一個規律，新收到通知的人數是前一分鐘收到通知的總人數加1。

師：你能不能結合表格說一說？

生：1+1=2，3+1=4，7+1=8……

生：我還找到一個規律。第4分鐘新通知的人數是8人，第3分鐘收到通知的總人數是7人，8+7=15（人），就是第4分鐘收到通知的總人數。

師：這里的7加這里的8正好是15。我們再來找一找。

生：15+16=31（人），31+32=63（人）。

師：你們覺得這個規律成立嗎？我們班的同學真聰明，很會動腦筋。

3.應用規律，類比思想。

師：同學們，我們今天這節課學習了打電話，接下來請同學們完成《學習單》上的練習題。

孫悟空去西天取經的路上遇到妖精，于是它每次拔一根毫毛就能變成一個孫悟空，變出的孫悟空每次拔一根毫毛也能變成一個孫悟空，每次變化需要的時間是2秒鐘。10秒鐘最多能變化出多少個孫悟空？

4.回顧反思，課堂總結。

師：同學們，今天這節課我們學習了打電話的數學問題。請同學們想一想，打電話這一數學問題和我們四年級上冊學習的烙餅問題、沏茶問題有什么聯系？

師：學了打電話這一數學問題后，你還有什么問題呢？

生1：需要知道他人的電話號碼。

生2：需要準備好打電話的方案。

師：同學們，我們打電話采用最優化的方案，前期我們也要做一些準備工作。比如哪位同學打給哪位同學，事先要有一個示意圖，這樣誰打給誰就很清楚了。

三、教學反思

1.緊扣核心，培養高階思維。

盡快通知的核心是“每個接到通知的隊員都不空閑”，規律的核心是“第n分鐘新接到通知的隊員數等于前（n-1）分鐘內接到通知的隊員和老師的總數”。教學時，緊緊抓住這兩個核心，借助表格引領學生發現規律，幫助學生理解。在發現規律的過程中，教師要通過觀察、思考和交流，提高學生概括、提煉和總結的能力，培養學生的幾何直觀、推理思想和模型思想，促進學生思維在更高層次上發展。

2.多元表征，彰顯數學化。

無論是逐個通知，還是分組通知和最優化通知，都原生態的讓學生用自己喜歡的方法嘗試解決。學生大膽運用語言、文字、符號、圖示、算式等不同的方式來表征自己的思維過程。即使同一種表征方式，也可以有不同的表達形式。如圖示法，學生可以畫出不同方式的示意圖，可以讓學生把每一分鐘新接到通知的隊員用不同的顏色或圖形表示出來，也可以直接用序號來表示。把打電話的設計方案抽象成示意圖，這實際是一個數學化的過程，有利于培養學生的符號意識，體會數學方法的簡約之美，幫助學生形成有序、全面思考問題的品質。