享受數學詩意美

摘 要：高中學生最大的學習問題是數學核心素養的缺失。在高中數學教學中滲透數學文化是一種提高學生數學核心素養的嘗試。數學詩意美對高中學生的數學學習興趣能產生較大的影響，詩詞中所蘊含的美好情感、數量形狀、數學概念、數學方法等，都會激發高中學生的巨大興趣，讓學生通過學習詩意美中蘊含的數學知識方法和概念原理提高自身的學習能力，具有潤物無聲的效果。學生可在文理兼修中追求詩意美、數學美。

關鍵詞：數學文化 數學核心素養 詩意美 DOI：10.12278/j.issn.1009-7260.2022.06.015

一、高中生現狀分析

高中學生在學習數學的過程中困難重重，有知識體系方面的難度，比如函數性質、立體幾何、圓錐曲線、排列組合等知識;有知識邏輯嚴密性方面的難度，比如算法、導數等知識;而最大的障礙是數學核心素養的缺失。讓高中生逐漸喜歡數學并且形成較為系統的數學核心素養，是數學教育工作者需要探究和解決的重要問題。

二、數學詩意美的理解

張奠宙先生認為，數學教學中的美學教育有以下4個層次：美觀、美好、美妙、完美。無獨有偶，筆者認為每個同學必須要經歷數學學習的四種情緒境界，在長期數學教學中根據學生的狀態，概括引用四個動詞和四句詩詞來描述這四種境界：

第一境界：遭受。一川碎石大如斗，隨風滿地石亂走。

第二境界：忍受。此情無計可消除，才下眉頭卻上心頭。

第三境界：感受。忽如一夜春風來，千樹萬樹梨花開。

第四境界：享受。悠然心會，妙處難與君說。

數學與詩詞本不是一家，數學是抽象思維活動，詩詞是闡述心靈的文學藝術。在數學教學中，如果能恰到好處地將詩詞引用到課堂上，能夠幫助學生理解概念，掌握原理，提高解題效率。本文結合教學實際，簡單梳理在數學教學中如何滲透數學的詩意美。

三、數學詩意美的類型及簡單分析

（一）詩詞蘊含美好情感

1.百歲山廣告“水中貴族百歲山”

百歲山廣告參考了1650年發生在斯德哥爾摩街頭的一件事，52歲的笛卡爾邂逅了18歲瑞典公主克里斯汀。笛卡爾落魄又不愿接受別人施舍，每天只是拿著紙筆演算數學題，被路過的公主克里斯汀發現，隨后她得知笛卡爾有過人的數學天賦。不久笛卡爾收到國王邀請，成為公主的數學教師。在隨后的日子里笛卡爾和克里斯汀相愛了，國王驅逐并最終處死了笛卡爾，在笛卡爾死后，克里斯汀從國王扣留的回信中發現了笛卡爾寫給她的情書中有r=a（1-sinθ）的數學坐標方程，這就是著名的“心形線”。她終于讀懂了笛卡爾對她至死不渝的愛情。

在這個故事里，廣告詞“水中貴族百歲山”、以形表愛的著名圖案“心形線”、對“愛情價更高”的絕妙詮釋，無不顯示出美妙而偉大的愛情力量，這是真正意義上的數學詩意美，不僅能讓學生對數學產生濃厚的興趣，更會給學生帶來美的享受體驗。

2.如泣如訴的情詩——歐拉公式

歐拉公式：eiπ+1=0

心中既有i，何故不表白？

夢里合如1，醒時各分離。

春去春又來，e人空等待。

忍看花凋0，不是浪漫π。

數學插上了聯想的翅膀，歐拉公式竟變成如泣如訴的情詩。詩中0、1、e、i、π等極具魅力內涵的數字或字母，在形式上若即若離，以諧音巧妙表達悲戚的感情。在冪的形式中，指數與底數的層級錯位形象表達“e人空等待”的無奈。而“忍看花凋0”一語雙關，既突出了公式左重右輕、化繁為簡的走向特點，又突出從過程的煎熬到結果的不忍。在本詩中，學生能體會到諸如公式的內容與形式、過程與結果，巧妙的諧音、豐富的聯想。尤其是“聯想”恰好體現了“數學抽象”“直觀想象”兩個數學核心素養。

（二）詩詞蘊含數量形狀

1.著名的百羊問題

甲趕羊群逐草茂，乙拽一羊隨其后。戲問甲及一百否？甲云所說無差謬。

所得這般一群湊，再添半群小半群。得你一只來方湊，玄機奧妙誰猜透？（《算法統宗》程大位）

該詩是著名的百羊問題。意思是一個牧羊人在放牧，有人牽著一頭羊從后面趕來，問牧羊人“你這群羊有100只嗎？”牧羊人說：“如果我再有這樣一群羊，加上這群羊的一半又一半，連同你的這只羊，就剛好滿100只，請問這群羊有多少只？”

現在來看，這是一道非常簡單的數學題，設這群羊有x只，根據題意可得：

2x+x+x+1=100，解得x=36。

數學有三種語言：文字語言、圖形語言、符號語言。熟練進行數學語言之間的轉化，是學生應具備的基本素質。本詩反映出古人表達數學問題時語言的高度概括，能較好地考查學生對數學實際問題的閱讀抽取能力、文字語言向符號語言轉化的能力，也考查了具有四兩撥千斤功效的方程思想。題目不難，意義重大。

2.數學點線面體

（1）兩個黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天。窗含西嶺千秋雪，門泊東吳萬里船。（杜甫《絕句》）

全詩一句一景，對草堂周圍明媚秀麗的春景進行了細致入微的刻畫。從點線面體的遞進緯度，勾畫出四幅獨立又相關的冬日和諧的立體畫卷。把數學中的點線面體刻畫得淋漓盡致。

（2）大漠孤煙直，長河落日圓。（王維《使至塞上》）

詩中既有直線“孤煙”和平面“大漠”的線面垂直關系，又有平面視覺的落日圓和地平線相離、相切、相交的直線和圓的位置關系，從中可以讓學生形象地理解直線和圓的位置關系、理解線面垂直關系。詩中有畫，形神兼備。

3.時間與空間

前不見古人，后不見來者;念天地之悠悠，獨愴然而涕下。（陳子昂《登幽州臺歌》）

詩人站在歷史長河中，以自己為原點畫出一維數軸，瞻前顧后刻畫了時間綿長，天地悠悠刻畫了空間遼闊，呈現出三維立體幾何空間。全詩將時間和空間放在一起思考，能讓學生感受到自然的偉大，個體的渺小，能對大自然產生敬畏之心，以至于愴然涕下。同一首詩里，時間與空間的概念，有限與無限的概念，一維到三維的遞進，都呈現在眼前，體現出詩人陳子昂是時空構圖方面的高手。

4.陰陽平衡對稱美

空山新雨后，天氣晚來秋。明月松間照，清泉石上流。（王維《山居秋暝》）

王維為我們勾畫出一幅美妙的太極圖，表達了你中有我的和諧之美與數學的對稱美，這首詩是在表達秋天雨后傍晚清新濕潤的清爽氣候，同時，大自然安靜和諧太極圖的中心對稱美，更具有哲學層面的禪意。

（三）詩詞蘊含數學概念

1.極限概念

（1）故人西辭黃鶴樓，煙花三月下揚州。孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流。（李白《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》）

本詩第三句“孤帆遠影碧空盡”描述了隨著時間的推移，好友的船漸漸地消失在海平面上，由大到小最后徹底消失。其實那船還依然存在于江面，只是已不在李白的視野中，比較形象地描述了極限的概念。該句已經成為廣大教師在極限教學中最常引用的詩句。

（2）無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來。（杜甫《登高》）

該詩中，前一句是“具象無限”，“所有的落木”這個看得見摸得著的具象無限被我們一覽無余。而后一句是“抽象無限”，不可數名詞長江水沒完沒了“滾滾”而來，盡管到現在為止還是有限的，卻永遠不會停止。兩種無限，卻都共同體現出悲壯的人文情懷。

2.整體與局部概念

天街小雨潤如酥，草色遙看近卻無。最是一年春好處，絕勝煙柳滿皇都。莫道官忙身老大，即無年少逐春心。憑君先到江頭看，柳色如今深未深。（杜甫《早春呈水部張十八員外二首》）

“草色遙看近卻無”這句詩相當傳神和有哲理。整體的草色只能遙看，一旦近了，處于局部狀態，那種“草色”就“近看無”了。刻畫的是整體和局部的關系。在高中數學解題過程中，學生經常會遇到審完題無從下手的困惑。如果能將問題化整為零各個擊破“先到江頭看”，往往會打通思路，使問題迎刃而解。

3.零點存在定理

松下問童子，言師采藥去。只在此山中，云深不知處。（賈島《尋隱者不遇》）

作者從文學角度描述的是“云深不知處”的蒼茫意境，而從數學的角度來看，我們會更加關注隱者在山中的不確定性。他到底在哪里？云深不知處，但是他確實就在此山中，這不就是數學中的零點存在定理么？那個x0在哪里，我們不知道，但是的確存在于山中，存在于x0∈[a，b]中。想象一下，學生在這首詩的啟發下去理解零點存在定理，會更加形象直觀，豁然開朗。

4.詩詞表達函數

白日依山盡，黃河入海流。

欲窮千里目，更上一層樓。（王之渙《登鸛雀樓》）

這絕對是一首美妙的好詩，字字有詩意，句句是函數。讓學生產生對數學的無限向往。下面以幾個具體的函數表達式來粗線條解讀詩句所描述的函數圖像。

白日依山盡。函數f（x）=│3sinx+│sinx，x∈[0，2π]的圖像猶如兩座高低不一的大山，太陽從兩山之間落下，描述了黃昏白日依山盡的畫面。

黃河入海流。函數f（x）=sin4x的圖像如滾滾波濤，奔騰入海流。

欲窮千里目。橢圓（x-2）2+y2≤1與圓（x-2）2+4y2=4的公共區域恰如一只眼睛，非常形象地勾畫出一只千里目。

更上一層樓。取整函數f（x）=[x]是左開右閉的分段函數，層層遞進，更上一層樓。

在中學時代，教師除了給我們分析這首詩句的函數特點之外，還與學生一起追問，更上一層樓是多高？是我們現代人一層樓3米高么？不妨做個估算：

我們把地球近似看作球體，PA為視線，與球面相切于點A，于是OA⊥PA，根據題意PA=1000里=500公里，地球半徑為OA=R=6370公里，設樓高PB=x，則有（x+R）（x+R）2=R2+PA2，解得x=19.6公里。所以千里目就是19.6公里，按當前每層樓3米計算，需要登上6534層樓的高度才可窮千里目。大家熟悉的上海東方明珠塔高468米，所以折合下來相當于418個東方明珠塔的高度。可見古人的想象力之豐富，氣魄之龐大。

（四）詩詞蘊含數學方法

1.反證法

若言琴上有琴聲，放在匣中何不鳴？若言聲在指頭上，何不于君指上聽？（蘇軾《琴詩》）

該詩頗有特色，以疑問句形式表述，還蘊含著數學反證法。如果“琴上有琴聲”是正確的，那么放在匣中應該“鳴”。現在既然不鳴，那么原來的假設“琴上有琴聲”就是錯的。由此可見，人文的論辯和數學的證明，都需要遵循邏輯規則。數學解題中的反證法運用的是正難則反的思路，若正面求解困難，則可以從結論的反面出發，先否定原結論不成立，然后順著否定的假設推理，直到推出矛盾，即意味著假設的結論不成立，于是原命題成立。

2.多角度看問題的轉化思想

橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。（蘇軾《題西林壁》）

詩中蘊含著化歸與轉化思想、發散思維、一題多解;同時還蘊含著三視圖。從不同視角看幾何體，會得到不同的直觀圖，即立體幾何三視圖。本詩前兩句給學生的啟示是要善于從不同視角看數學問題，可建構一題多解策略，訓練學生思維的發散性和靈活性。后兩句是說解題局部受阻時不妨從整體去把握，模糊地分析可能會有更好的效果。

3.變與不變的思想

朱雀橋邊野草花，烏衣巷口夕陽斜。舊時王謝堂前燕，飛入尋常百姓家。（劉禹錫《烏衣巷》）

滄海桑田，物是人非。舊時達官顯貴早已煙消云散，曾經居住的地方也變成尋常老百姓的院落，可燕子卻不管這些，依舊飛回原來的棲息地筑巢。人生易老天難老，物質是永恒不變的，所以要珍惜當下。該詩還蘊含著數學中的變與不變的思想，也就是常量與變量思想。

數學文化的魅力一旦滲入到學生學習活動中，數學就會變得更加平易近人;當數學詩意美一旦融入數學文化活動中，詩詞中所蘊含的美好情感、數量形狀、數學概念、數學方法等，就會激發高中學生的巨大興趣。詩意的凝練寄托、巧妙寓意就會讓學生在感性中喜歡數學、實踐中理解數學、整體上熱愛數學。

參考文獻：

[1] 尤善培《追求詩意的數學課堂》，《基礎教育參考》2014年第1期。

[2] 鄭毓信、王憲昌、蔡仲《數學文化學》，四川教育出版社1999年。

[3] 張奠宙、木振武《數學美與課堂教學》，《數學教育學報》2001年第11期。

[4] 尤學慧《HPM視角下的初中數學課堂教學實踐》浙江師范大學2009碩士論文。

（賈會新，中學高級教師，碩士，研究方向：數學解題、數學文化）

（本文為作者主持的甘肅省教育科學“十四五”規劃2021年度一般課題“基于核心素養的數學文化在高中數學教學中的實踐研究”階段成果之一，立項號：GS[2021]0701）