線圈在通電直導線旁平移過程中磁通量的變化量求解

王偉民

摘要：分析線圈穿越通電直導線的“理想”過程中，穿過線圈磁通量的變化量為無窮大的原因;對三角形線圈在無線長通電直導線產生磁場中沿確定方向平移運動一段確定距離（但沒有穿過通電直導線）的過程中穿過線圈磁通量的變化量進行求解.

關鍵詞：線圈;磁通量;微元;平移;磁場強度

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0115-03

例1如圖1所示，無限長絕緣直導線L通入的電流為I，與邊長為a的正△ABC線圈共面，且BC∥L，線圈沿其所在的平面按垂直于直導線的方向向上運動.求從線圈頂點A剛接觸直導線L到BC邊離開直導線L的過程中，穿過正△ABC線圈磁通量的變化量.

上面這道題目是早前有老師在某個物理QQ群內詢問的一個問題，我們嘗試分析一下可否求解.

△ABC線圈穿越通電直導線L某一時刻的情形如圖2所示，設此時頂點A到直導線L的距離為x，因為在線圈按題目要求向上平移穿越通電直導線的過程中，其平移運動方向的變化不影響穿過線圈磁通量的變化量，所以，為便于分析，我們可以按線圈沿AB邊所在直線的方向平移進行求解.

圖2中，線圈斜向上運動一個豎直微元距離dx達到△A′B′C′位置，由于通電直導線L上下兩側的磁場方向相反，所以，若取垂直紙面向外的方向為磁通量的正方向，跟原來處于△ABC位置時穿過線圈的磁通量相比，線圈到達△A′B′C′位置后，穿過線圈磁通量的增量dΦ將等于穿過面S3的磁通量dΦ3減去分別穿過面S1和S2的磁通量dΦ1和dΦ2之和：

dΦ=dΦ3-（dΦ1+dΦ2）

因為空間內到無限長通電直導線距離為r位置點的磁場強度為B=kIr（I為導線中的電流，k為比例系數），所以

dΦ1=S1B1

=a·dx·kI32a-x

=akI32a-xdx.

由于面S2和S3的縱向長度較大，不像S1那樣縱向長度是一段微元，而這兩個面上到通電直導線L距離不等的點磁場強度不等，所以無法用上述求解dΦ1的方法那樣去求解dΦ2和dΦ3.我們不妨將dx視為常量，采用定積分的方法來求解dΦ2和dΦ3

如圖3所示，在面S3上到通電直導線L距離為y的位置取一段豎直寬度為dy的微元，則有：

dΦ3=∫32a-x0233dx·dy·kIy

=233kI·dxlny32a-x0

=233kI·dx[ln（32a-x）-ln0]

這里ln0是一個沒有意義的數，求解將無法再繼續進行下去.那么，問題出在何處？

由無限長通電導線周圍空間的磁場強度公式B=kIr可以看出，當三角形線圈上的某點運動到通電導線位置時r=0，則線圈該處的磁場強度B成了一個無窮大的數值了，所以，穿過線圈某一個確定平面的磁通量也將變得無窮大，而ln0雖然沒有意義，它卻表示負無窮大，所以-ln0表示無窮大.看起來，線圈穿越通電直導線時，穿過線圈的磁通量的變化量為無窮大，這在實際操作中是不可能發生的狀況——實際的導線和組成線圈的導線都有一定的粗細，線圈與通電直導線最近的情況也只是線圈導線與通電直導線的側面相切的情形，此刻它們的軸心有一定的距離，所以，實際情形中是無法完成“線圈穿過通電直導線”這樣的“理想”操作的.為使問題有實際意義，我們不放將例題1給出的問題條件適當更改，對題目進行如下改編——

例2如圖4所示，邊長為a的等邊△ABC線圈與無限長通電直導線L共面，L中電流為I，且BC∥L，初始時刻線圈邊BC與L間的距離為332a，求將△ABC線圈向上平移32a的過程中穿過線圈磁通量的變化量？

解析無論是傾斜向上平移還是豎著向上平移，在△ABC線圈豎直向上運動同樣距離的過程中，穿過三角形線圈磁通量的變化量相同，所以，我們可讓線圈沿AB邊所在直線斜向上平移進行求解.設平移過程中線圈在某一時刻的位置如圖5所示，此時三角形線圈的頂點A到通電直導線L的距離為x，接下來讓線圈向上平移一段微元距離dx（dx是線圈傾斜平移過程中在豎直方向運動的微元距離），跟△ABC線圈原來所在位置相比，平移微元距離dx到達△A′B′C′位置之后，穿過線圈磁通量的變化量dΦ等于穿過面S2的磁通量dΦ2與穿過面S1的磁通量dΦ1之差：

dΦ=dΦ2-dΦ1

而dΦ1=S1B1=adx·kIx+32a=akIx+32adx

為表示dΦ2，將x和dx視為常量，在面S2上到線圈頂點A豎直距離為y處取一豎向微元dy，則有：

dΦ2=∫32a0233dx·dy·kIx+y

=233kIdxln（x+y）32a0

=233kI[ln（x+32a）-lnx]dx

∴dΦ=dΦ2-dΦ1

=233kI[ln（x+32a）-lnx]dx-kIax+32adx

=kI[233ln（x+32a）-233lnx-ax+32a]dx

所以，將△ABC線圈向上平移32a過程中穿過線圈磁通量的變化量ΔΦ為：

ΔΦ=∫32a3akI[233ln（x+32a）-233lnx-ax+32a]dx

=kI{233[（x+32a）ln（x+32a）-（x+32a）]

-233[xlnx-x]-aln（x+32a）}32a3a

=kI{233[（3a）ln（3a）-（3a）]-233[32aln32a-32a]-aln（3a）}

-kI{233[（332a）ln（332a）-（332a）]-233[3aln（3a）-3a]-aln（332a）}

=kI[2aln（3a）-2a-aln（32a）+a-aln（3a）]

-kI[3aln（332a）-3a-2aln3a+2a-aln（332a）]

=3kIa[ln（3a）-ln（332a）]

運用上述方法，我們可以對其它具有固定幾何形狀的平面狀線圈，在一條無限長通電直導線產生磁場中沿確定方向平移運動確定距離過程中（平移過程中線圈的任何部位不觸碰通電直導線），穿過線圈磁通量的變化量.

參考文獻：

[1]?吳秀欽.對高中物理解題思維方法的有效探討＼[J＼].數理化解題研究，2021（22）：84-85.

[2] 李習凡.例談數學方法解決高中物理最值問題＼[J＼].中學生數學，2014（5）：45-46.

[責任編輯：李璟]