多視角切入 擇方法妙解

摘要：本文從多個視角對2021年新高考Ⅰ卷第19題進行了剖析，旨在提升教師的專業水平，更好地落實數學核心素養.

關鍵詞：新高考;解三角形;數學核心素養

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0065-04

收稿日期：2022-03-05

作者簡介：楊偉達（1973.10-），男，廣東省興寧人，中學高級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

縱覽2021年高考數學卷，細細品讀，一道新高考Ⅰ卷第19題解三角形試題引起筆者的注意，冥思苦想的解答過程，感受著不一樣的數學味道.

1 展示考題，綻放別樣的解法

題目（2021年新高考Ⅰ卷19）如圖1，記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）證明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

分析主要考查三角形正、余弦定理的綜合運用.第（1）問與傳統設問不同，依托已知條件，要么從正弦定理入手，要么作輔助線入手，利用三角形相似即可;

第（2）問設問常規，方法較多，入口容易.要么列方程組，利用余弦定理，要么利用三角形相似找到邊角關系等即可.1.1 第（1）問解析

解法1（邊角互化公式）由正弦定理，得

b=2RsinB，c=2RsinC.

代入BDsin∠ABC=asinC，得BD·b=ac，且b2=ac ，所以BD=b.

解法2（面積公式）因為BDsin∠ABC=asinC，所以12b·BDsin∠ABC=12b·asinC.

因為S△ABC=12acsinB=12absinC，

所以b·BD=ac且b2=ac，所以BD=b.

解法3（三角形相似）如圖2，過點B作BH⊥AC交于點H，則BH=BDsin∠BDA=asinC.圖2

因為BDsin∠ABC=asinC，

所以sin∠BDA=sin∠ABC.

經檢驗，若∠ABC，∠BDA為一個銳角一個鈍角時，則AD<CD與AD=2DC矛盾;若同為鈍角時，b最大，與b2=ac矛盾，舍去.

所以∠BDA=∠ABC（同為銳角），∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

所以ABAC=BDCB.

即cb=BDa.

所以b·BD=ac且b2=ac，

所以BD=b.

解法4（正弦定理公式）如圖2，過點B作BH⊥AC交于點H，則BH=BDsin∠BDA=asinC.

因為BDsin∠ABC=asinC.

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

經檢驗，∠ABC，∠BDA為一個銳角一個鈍角或同為鈍角時，都與已知條件矛盾，舍去.

所以∠ABC=∠BDA（同為銳角），∠ABD=∠C.

在△ABD中，BDsinA=ABsinB.

即BDa=cb.

所以b·BD=ac且b2=ac，

所以BD=b.

1.2 第（2）問解析

解法1（方程組（兩個三角形共角的余弦定理）+余弦定理）由AD=2DC，得CD=13b，BD=b.

在△ABC中，cosC=a2+b2-c22ab，①

在△BCD中，cosC=a2+（13b）2-b22a（13b）

=9a2-8b26ab， ②

因為b2=ac，③

由①②③，得6a2-11ac+3c2=0.

解得a=32c或者a=13c（舍去）.

當a=32c時，代入③，得 b=62c.

所以cos∠ABC=a2+c2-b22ac=712.

解法2（列方程（向量+余弦定理）+余弦定理）

因為AD=2DC，BD=b，

所以BD=13BA+23BC.

所以BD2=19BA2+49BC2+49BA·BC.

即9b2=c2+4a2+4accos∠ABC④

在△ABC中，cosB=a2+c2-b22ac，⑤

因為b2=ac，⑥

由④⑤⑥，得6a2-11ac+3c2=0.

下面部分與解法1后面部分相同.

解法3（高+正弦定理+方程組）如圖2，過點B作BH⊥AC交于點H，若∠B為銳角，則CH=DH+CD.

即acosC=bcosD+b3.

若∠B為鈍角，b為最大，與b2=ac矛盾，舍去.

因為BH=BDsin∠BDA=ainC，

又因為BDsin∠ABC=asinC，

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

經檢驗，若∠ABC，∠BDA為一個銳角一個鈍角時，則AD<CD與b2=ac矛盾，舍去.

所以∠ABC=∠BDA（同為銳角），∠ABD=∠C.

在△ABD中，BDsinA=ADsinC.

即ba=2b3c.

得 c=23a， 則b2=ac=23a2.

又因為∠ABC=∠BDA，BDsin∠ABC=asinC，

所以acosC=bcosB+b3，asinC=bsinB.⑦⑧

⑦2+⑧2化簡，得 cosB=9a2-10b26b2=712.

解法4（作輔助線）如圖2，過點B作BH⊥AC交于點H，則BH=BDsin∠BDA=asinC.

因為BDsin∠ABC=asinC，

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

經檢驗，∠ABC，∠BDA為一個銳角一個鈍角或同為鈍角時，都與已知條件矛盾，舍去.

所以∠ABC=∠BDA（同為銳角），∠ABD=∠C.

下面部分有幾種思路：

（1）正弦定理+余弦定理.

因為AD=2DC，所以CD=13b.

在△ABD中，ABsin∠BDA=ADsin∠ABD.

即csinB=23bsinC.

化簡，得 c2=23b2，且b2=ac，

得 a=32c，b=62c.

所以cos∠ABC=a2+c2-b22ac=712.

（2）相似三角形+余弦定理.

所以∠ABC=∠BDA（銳角），∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

所以ABAC=ADAB=BDCB.

即cb=23bc=ba.

得 a=32c，b=62c.

所以cos∠ABD=a2+c2-b22ac=712.

（3）相似三角形+方程組.

所以∠ABC=∠BDA（銳角），∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

所以ABAC=BDCB=ADAB.

即cb=23bc=ba.

得 a=32c，b=62c.

不妨設c=2x，a=3x，b=6x，

由三角形射影定理，得a=ccosB+bcosC，⑨

bsinB=asinC.⑩

由⑨⑩列方程3-2cosB=6cosC，6sinB=3sinC，

解得 cosB=712.

2 解后反思，緊扣數學核心素養

解三角形常常涉及到有關角度、長度、周長、面積等問題，主要運用正、余弦定理，試題入手容易、難度不大，但在解題中用到的公式、定理多、變化大，對計算能力、思維能力的要求比較高，學生稍有不慎，就容易出錯.為改變這種“會而不對，對而不全”的局面，學生必須做到：（1）要樹立做對的信心，對相關題目不能滿足會做，更不能滿足“似曾相識”;（2）對典型的例題、做過的高考題進行分析總結，找出規律，掌握方法;（3）關注細節，對解題過程中暴露的問題精準定位，弄清楚哪一個環節出問題，及時有效地解決.

新教材不再將《解三角形》作為一章，安排在人教版高中數學第二冊第六章向量應用之后，成了一線教師對新教材新教學的熱門話題，其作用和地位是否減弱？今年新高考第19題的出現正好回答了一線教師的疑云，一切水落石出、煙消云散.具體如下：（1）題號順序靠后，以前是容易題，一般放在解答題的第17題，而這次安排在第19題;（2）題設條件全部用字母形式，設問的問法也不同.傳統的題設條件一般有數值表示，第一問常常是求角的大小（常常30°，45°，60°中取舍）或長度.

新高考新在哪？命題專家們結合《深化新時代教育評價改革總體方案》考查學生關鍵能力，緊緊圍繞數學核心素養做文章，走開放創新之路.目的是避免刷題、套路，改變相對固化的試題形式，減少死記硬背和“機械刷題”現象，讓學生真正理解數學、體驗和探索數學問題的過程.

3 變式題組， 拓展主體框架體系

當前有一種比較認可的有效課堂，那就是變更條件、編寫變式題組，然后進行題組化訓練. 其目的是讓學生熟悉考試題型，在短時間內記住題型的解題方法，對提高學生數學素養很有幫助.

3.1 變更題設條件，結論不變

變式1（2021年高考Ⅰ卷19改編）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c分別成等比數列，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC

（1）證明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

變式2（2021年高考Ⅰ卷19改編）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且它們分別成等比數列，點D在邊AC上，AC邊上的高為

BDsin∠ABC.

（1）證明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

變式3（2021年高考Ⅰ卷19改編）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b2=λac（λ≠0為常數），點D在邊AC上，∠ABC=∠BDA.

（1）證明：BD=bλ;

（2）若AD=2DC時， 求cos∠ABC.

3.2 變更題設條件、結論

變式4（2021年高考Ⅰ卷19改編）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點D在邊AC上，且邊AC上的高為bsin∠ABC.

（1）求證：b2=ac;

（2）若AD=λDC（λ為常數），BD=b，求cosC.

變式5（2021年高考Ⅰ卷19改編）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=3，c=2，點D在邊AC上，且邊AC上的高為bsin∠ABC.

（1）求AC的長度;

（2）若AD=2DC，求BD的長度.

4 鏈接高考，拓寬解題視野

鏈接高考，尋找似曾相識題，比對感悟，觸類旁通，歸納出一類題，形成一個系統塊，進而拓寬解題視野.

題1（2013年福建）如圖3，在△ABC中，點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC=223，AB=32，AD=3，則BD的長為.

題2（2016年廣州理數一測17）在△ABC中，點D在邊BC上，AD⊥AC，

AB=53，AD=5，CD=2BD.

（1）求BD的長;

（2）求△ABC的面積.

參考文獻：

[1] 林國紅.2021年新高考全國Ⅰ卷第19題的探究[J].理科考試研究，2021，28（17）：2-5.

[責任編輯：李璟]