追溯“源頭” 撥開云霧見“真身”

摘要：本文以書本幾道典型習題為“源頭”，撥開云霧去看看考試中那些題目的“真身”，望有助于學生在以后的學習中能有效地處理此類問題.

關鍵詞：圓;直線;位置關系;最值問題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0084-03

收稿日期：2022-03-05

作者簡介：陳龍（1989.10-），男，湖北省武漢人，碩士，中學一級教師，從事中學數學教學研究.[FQ）]

源題1已知圓C：（x-4）2+（y-3）2=25，求過點M（2，1）的直線l被圓C截得的最短弦長和最長弦長.

解析因為（2-4）2+（1-3）2=8<25，

所以點M在圓C內.

當弦繞著點M轉動時，如圖1，最長弦即過點M的直徑

AB，長為10;最短弦則為與CM垂直的弦CD，長為217.

點評此題目屬于考查直線與圓相交時弦長的最值問題，可以借助弦長公式：L=2R2-d2（其中L為弦長，R為圓的半徑，d為圓心到直線的距離）很容易知道d最小時L最大，d最大時L最小.

變式已知C：（x-1）2+（y-2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，求直線l被圓C截得的弦長的最大值和最小值.

解析我們注意到直線l恒過定點M（3，1）且點M在圓C內部，則后面的做法就如上題一致.最長弦為過點M的直徑，長為10，最短弦為45.

源題2已知點P（x，y）是圓C：（x-3）2+（y-3）2=4任一點，求點P到直線l：2x+y+6=0距離的最大值和最小值.圖2

解析由題知圓心C（3，3）到直線l距離d=35>R，則直線l與圓C相離.

如圖2，易知點P1到直線l距離最小為d-R=35-2;

點P2到直線l距離最大為d+R=35+2.

點評此題屬于考查直線與圓相離時圓上點到直線距離的最值問題.最大值為d+R，最小值為d-r.

變式1由直線l：y=x+1上的一動點P向圓C：（x-3）2+y2=1引切線切于點D，求切線PD長的最小值.

解析由圖3易知直線與圓相離，且PD2=PC2-R2，只有當PC長最小值時切線PD長才取得最小值，此時又回到我們熟悉的問題，即PC長的最小值為點C到直線l的距離d=22.

所以此時切線PD長的最小值為7.圖3圖4

變式2已知點P為直線y=x+1上的一動點，過點P作圓C：（x-3）2+y2=1的切線PA，PB，A，B為切點，求cos∠APB的最小值.

解析由圖4知cos∠APB=cos2∠APC=1-2sin2∠APC，

而sin∠APC=RPC=1PC，要想cos∠APB

最小，sin∠APC要最大，即PC最小的時候.

此問題就迎刃而解了，又回到“源題2”中的問題，PC長的最小值為22，所以cos∠APB最小值為34.

源題3已知實數x，y滿足x2+y2-4x+1=0.

（1）求m=yx的最大值和最小值;

（2）求n=y-x的最大值和最小值;

（3）求t=x2+y2的最大值和最小值.

解析（1）因為點P（x，y）滿足圓C：（x-2）2+y2=3方程，即點P在圓C上.

將m=yx=y-0x-0視為點P（x，y）與原點O（x，y）連線的斜率，如圖5，最大值為kOP1=3，

最小值為kOP2=-3.

（注：利用點C到直線y=kx距離等于半徑求出相切時的k值）圖5圖6

（2）要求n=y-x的最值即視為我們熟悉的線性規劃問

題，即直線l：y=x+n的縱截距的最值，如圖6，當直線l1與直線l重合時，n取最大值6-2

;當直線l與直線l2重合時，n取最小值-6-2.（注：用圓心到直線l：y=x+n

距離等于半徑求出相切時n的值）

（3）t=x2+y2=（（x-0）2+（y-0）2）2可視為點P（x，y）與點O（0，0）距離的平方，如圖7，t的最小值為OP21=（OC-R）2=7-43，最大值為OP22=7+43.

點評此類題屬于考查直線與圓相切時相關的最值問題.處理時要考慮所求式子的幾何意義.

變式1實數x，y滿足方程（x+1）2+y2=14，試求μ=x2+y2-4x-6y的最小值和最大值.

解析M+13=（x-2）2+（y-3）2可視為點P（x，y）和點A（2，3）距離的平方，即M=PA2-13，故最大值為

214+32，最小值為214-32.

變式2若實數x，y滿足x2+y2+2x-4y=0，求x-2y的最大值.

解析（x+1）2+（y-2）2=5，令x=-1+5cosθy=2+5sinθ（θ∈R），

則x-2y=-5+5cosθ-25sinθ=5cos（θ+φ）-5（其中cosφ=55，sinφ=255）.

所以當cos（θ+φ）=1時，（x-2y）max=5-5=0.故x-2y的最大值為0.

點評本題是典型的用圓的參數方程解決的題型，利用圓的參數方程將所求式轉化為三角函數求最值，利用輔助角公式即得最大值，此法在后續圓錐曲線的學習中會有所推廣.

變式3 平面上有兩點A（-1，0），B（1，0），P為圓x2+y2-6x-8y+21=0上的一點，試求S=|AP|2+|BP|2最小值.

解析把已知圓的一般方程化為標準方程，得

（x-3）2+（y-4）2=4.

設點P的坐標為（x0，y0），則

S=|AP|2+|BP|2

=（x0+1）2+y20+（x0-1）2+y20

=2（x20+y20+1）

=2（OP2+1）.

要使S=|AP|2+|BP|2最小，需|OP|最小，即使圓上的點到原點的距離最小.

容易知道|OP|min=OC-r=5-2=3.

所以Smin=2（32+1）=20.

點評設P（x，y），使要求的式子轉化為求圓上的點到原點的距離問題，利用數形結合法求最值，實質上是利用初中學過的“連接兩點的線段中，直線段最短”這一性質.

變式4過直線y=1上一點P（x，y）作圓（x+1）2+（y+1）2=1的切線，求切線長的最小值.

解析切線長PM=PC2-CM2=PC2-1，所以要求PM的最小值，只需求PC的最小值.

PC是直線上一點到圓心的距離，由于經直線外一點所引直線的垂線段的長度是該點到直線的距離的最小值，所以當PC垂直于直線時，PCmin=2，此時，切線長最小為3.

以上列舉了幾道“源題”和若干變式題目，說明了一些看似復雜的題目的真身依然是我們熟悉的知識點.

圓的知識在初中與高中都要學習，是一典型的知識交匯點.現在的數學高考非常重視初高中知識的銜接問題，所以同學們在處理與圓有關的小題時，一定要數形結合，多聯想一下與之有關的平面幾何知識，以免“小題大作”.由于圓的對稱性，在與圓有關的最值問題中，應把握兩個“思想”：幾何思想和代數思想.所謂幾何思想，即利用圓心，將最值問題轉化為與圓心有關的問題.所謂代數思想，即利用圓的參數方程.同時，由于最值問題從代數意義上講和函數的最值聯系緊密，因此在解題過程中靈活地應用函數、不等式等代數思想使問題代數化、簡單化也是需要注意的.

參考文獻：

[1]?趙志巖.高考中與圓相關的最值問題＼[J＼].數理化解題研究，2018（10）：2-4.

[2] 曹方圓.基于核心素養指向有效教學——以“與圓相關的“最值問題”為例＼[J＼].數學教學研究，2019，38（06）：22-25.

[責任編輯：李璟]