例談一類含參數恒成立問題的難點突破

卓曉萍

摘要：文章從一道高三質檢試題談起，從不同的角度進行思路分析，對含參數恒成立的解題難點進行分析突破，領悟其中的方法與規律，揭示求解這類問題的基本策略.

關鍵詞：含參數;恒成立;難點突破

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0022-03

含參數恒成立問題在近年高考及各地市高三質檢試題中頻頻出現，這類問題常常與導數結合起來考查，解法靈活多變，難度不小.本文以一道高三質檢試題為抓手，從不同的角度進行思路分析，對解題難點進行分析突破，領悟其中的方法與規律，揭示求解這類問題的基本策略.

1 題目呈現

題目已知函數gx=x3+mx+2，若對任意實數x，均有g（ex+1）≥g（x），求m的取值范圍.

2 解法賞析

解法1（參變分離）由g（ex+1）≥g（x） ，得

ex+13+mex+1≥x3+mx.

即-mex+1-x≤ex+13-x3

=ex+1-xex+12+xex+1+x2.

易證ex+1>x.

上式可化為-m≤ex+12+xex+1+x2.

令h（x）=ex+12+xex+1+x2，

則h′（x）=2e2x+2+xex+1+ex+1+2x=2ex+1-1ex+1+1+（x+1）ex+1+2.

因為h′（-1）=0，

當x>-1時，ex+1-1>0，

x+1>0，ex+1+1>0，

ex+1+2>0，

得h′（x）>0;

當x<-1時，ex+1-1<0，

x+1<0，

ex+1+1>0，

ex+1+2>0，

得h′（x）<0.

所以h（x）在區間-1，+

SymboleB@

上單調遞增，h（x）在區間-

SymboleB@

，-1上單調遞減.

所以h（x）≥h（-1）=1.

即-m≤1.

即m≥-1.

評析本法解題策略是完全分離參數，難點是分參過程中要注意觀察不等式兩邊的結構特點，發現有相同因式“ex+1-x”，從而轉化為-m≤ex+12+xex+1+x2，則把問題轉化為新函數h（x）=ex+12+xex+1+x2的最小值，對h（x）求導后得h′（x）=2e2x+2+xex+1+ex+1+2x，若繼續進行求導有h″（x）=4e2x+2+xex+1+2ex+1+2，h（x）=8e2x+2+xex+1+3ex+1都難以確定導函數的零點和符號.故先觀察h′（x）式子的特點，發現到h′（-1）=0，則轉換為對h′（x）進行變形h′x=2e2x+2-2+（x+1）ex+1+2（x+1）=2（ex+1-1）（ex+1+1）+（x+1）（ex+1+2），實現了部分因式分解，有利于進一步分析x=-1兩側h′（x）的符號，從而突破了本題的難點.

解法2（巧妙放縮）由g（x）=x3+mx+2，

記hx=ex+1-x，

易證ex≥x+1，

ex+1-x≥x+2-x=2

當且僅當x=-1時等號成立.

令ex+1-x=t，則

g（ex+1）-g（x）

=（x+t）3+m（x+t）+2-（x3+mx+2）

=t3x+t22+14t2+m

對t≥2恒成立，

當t=2，x=-t2=-1時，

t3x+t22+14t2+m取最小值1+m.

所以1+m≥0.

解得m≥-1.

評析本法是基于不等式g（ex+1）≥g（x）的結構特點，結合不等式“ex≥x+1”，利用換元法，令ex+1-x=t，把問題轉化為三次不等式恒成立t3x+t22+14t2+m≥0，把超越式轉化為非超越式，問題即不難解決了.

3 解題反思

3.1含參數不等式f（x）≥0x∈D恒成立問題切入點

（1）區間的端點值為a，若f（a）=0，可借助f ′（a）≥0探尋必要條件;

（2）區間中間值為m，若f（m）=0，可轉化為x=m是f（x）的極值點;

（3）特殊值x0代入f（x0）≥0，探尋必要條件;

（4）優化不等式的結構，有利于后續對導函數的進一步分析.

3.2 含參數不等式f（x）≥0x∈D恒成立問題常見解法

（1）把問題轉化為求函數y=f（x）的最小值;

（2）完全分離參數得a≥g（x），求函數y=g（x）的最大值;

（3）部分分離參數F（x）≥G（x），數形結合或分析函數y=F（x）與y=G（x）的最值.

3.3 求解函數f（x）最值過程的關注點

（1）f（x）的最值在端點處取到可能利用洛必達法則;

（2）f（x）的最值在顯極值點處取到，需要觀察f ′（x）的零點，以及因式分解或對f ′（x）結構分析;

（3）f（x）的最值在隱極值點處取到，需要用零點存在定理分析f ′（x）的零點x0，以及對f ′（x0）=0整體代換以便化簡f（x0）.

4 變式訓練

變式1已知fx=（x+3）e-x+2x，若fx≤ax2+3，求a的取值范圍.

解析令Fx=（x+3）e-x+2x-ax2-3，

觀察F0=0，

分析知x=0是Fx的極大值點，

從而F′x=-（x+2）ex+2-2ax在0附近的小鄰域-δ，δ單調遞減，

進一步逆推

F″x=x+1ex-2a在-δ，δ內F″x≤0.

由Fx=-xex知道

F″x在x=0處取到最大值，

從而確定出分類討論的界點是F″0≤0與F″0>0，即a≥12與a<12.

另外，由F1≤0，得

a≥4e-1>0，

縮小了參數的范圍，減少了分類討論的情況.

變式2已知e是自然對數的底數，函數

fx=ex+sinx-2x的導函數為gx.若對任意x∈-π3，0，都有x·gx≥x2+m，求實數m的取值范圍.

解析特數值代入不等式探尋必要條件：

0·e0+0·cos0-0-0≥m，

解得m≤0.

再證明當m≤0時，

xex+xcosx-2x-x2=xex+cosx-2-x≥m.

變式3已知函數fx=ex+ax2-x.當x≥0時，fx≥12x3+1，求a的取值范圍.

解析fx≥12x3+1，得

x=0時，f0=1=12×0+1.

x≠0時，

a≥12x3+x+1-exx2.

令hx=12x3+x+1-exx2，

則h′x=12x3-x-2-ex（x-2）x2.

觀察h′2=0，

從而對h′x因式分解，

分析出x=2是h（x）的極小值點.

參考文獻：

[1] 范選文，唐秋萍.例談一類不等式恒成立求參數范圍的解題策略[J].中學數學研究（華南師范大學版），2017（23）：20-21.

[2] 阮征，龐颯.分離參數求解一類不等式恒成立問題[J].中學生數理化，2020（Z1）：31.

[責任編輯：李璟]